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基本不等式习题课


基本不等式习题课
学习目标:
熟练掌握基本不等式的应用.

知识回顾
a1 ? a 2 ? ? ? a n n
n

叫做这 n 个数的算术平均数

a 1 a 2 ? a n 叫做这 n 个数的几何平均数
?

如果 a , b ? R , 则
如果 a , b , c ? R , 那么
?

a?b 2

?
?

ab , 当且仅当
3

a ? b 时等号成立
a ? b ? c 时等号成立

.
.

a?b?c 3

abc 当且仅当

均值不等式的左式为和结构, 右式为积的形式, 该 不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小 关系, 运用该不等式可作和与积之间的不等变换.

最值定理:
(1) 如果积 xy 是定值 P , 那么当 x ? y 时 , 和 x ? y 有最小值
( 2 ) 如果和 x ? y 是定值 S , 那么当 x ? y 时 , 积 xy 有最大值

2

P;
1 4 S .
2

推论:

a?b?c 3

?

3

abc ( a , b , c ? R )

?

(1) abc 为定值时
( 2 ) a ? b ? c 为定值时

a ? b ? c ? 3 abc
3

当且仅当 a ? b ? c 时 , 等号成立 .
abc ? ( a?b?c 3 )
3

当且仅当 a ? b ? c 时 , 等号成立 .

一“正”、二“定”、三“相等”

基础检测
1.下列结论中,错用算术平均值与几何平均值不等式作 依据的是( B )
(A)x,y均为正数,则
a 2

x y
2 a

?

y x

≥ 2

(B)a为正数,则

(

?

)( a ?

1 a

)≥ 4

(C)lgx+logx10≥2,其中x>1 (D)
x ? 2
2

≥ 2

x ?1
2

2.若a>b>0,则下列不等式正确的是( C)
(A) (B) (C) (D)
2ab a?b a?b 2 ? a ?b 2 ? 2ab a?b ? ab ? ab

2ab a?b
ab ?

?

ab ?

a ?b 2

2ab a ?b

?

a ?b 2

3.若a,b∈R,且a≠b,在下列式子中,恒成立
的个数是(

D )

① a2+3ab>2b2;② a5+b5>a3b2+a2b3; ③

a2+b2≥2(a-b-1);④

a b

?

b a

? 2

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

4.在下列函数中,最小值是2的函数为( C
(A) y (B)y
? x 5 ? 5 x
1 lg x (1 ? x ? 1 0 )



, ( x ? R , 且 x ? 0)

? lg x ?
x

(C) y ? 3 ? 3 ( x ? R ) (D)y
? s in x ? 1 s in x (0 ? x ?

?x

?
2

)

5 .函数 y ? x ( 2 ? x )( 0 ? x ?
4 2

2 )的

最大值是 (D)
16 32

A、0 B、1 C、

27

D、 27

6 .若 x , y ? R , xy

?

2

? 4 则 x ? 2 y 的最小值是

(B)

A、4

B、3 4

3

C、6

D、非上述答案

例题讲解
例 1: 已 知 a ? b ? c ? 1 求 证 ( 1 a ? 1 )( 1 b ? 1 )( 1 c ? 1 ) ? 8。

例2、求以下解析式的最值。
y ①若 x 、 ? R 且xy ? 4 ,求x ? y 的最小值;
?

?

y z ②若 x 、、 ? R 且 xyz ? 27 ,求x ? y ? z 的最小值;

y ③若 x 、 ? R 且 x ? 2 y ? 4 ,求xy 的最大值;
?

?

y z ④若 x 、、 ? R 且x ? 2 y ? 3 z ? 1,求xyz 的最大值。

⑤已知正数x、y满足2x+y=1,求

1 x

?

1 y

的最小值

归纳延伸

1、均值定理的应用是本章的重点内容,应用定 理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一 不可,不可直接利用定理时,要善于转化,这里 关键是掌握好转化的条件,通过运用有关变形的 具体方法,以达到化归的目的。 2、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积 式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能; 创设应用均值不等式的条件,合理拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的成因在 于使等号能够成立;

课后作业

1.下周星期三早晨交,练习本上完成:必 修 5 教材 103 页 A 组 1、2、3、4、B 组 2、3、4、5、练习册 145 页 1、3、4、5、 6、7、8、10、12、13、15、17、20


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