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四川省眉山市彭山二中2014届高三12月月考数学文试题Word版含答案

眉山市彭山二中高三 12 月月考数学文科
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
1.答第Ⅰ卷前,请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目,用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案,不能答在考题卷上。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么 P(A ? B) ? P(A) ? p(B) 。 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A? B) ? P(A) ? P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为
Pn (k ) ? Cnk pk (1? p)n?k

一、选择题:本大题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的。

1.已知集合 M ??x x ?1?, P ? ?x x ? t?,若 M P ? ? ,则

(A) t ?1

(B) t ?1

(C) t ?1

(D) t ?1

2. 抛物线 y2 ? 4x 的焦点坐标是

(A) (4,0)

(B) (2,0)

(C) (1,0)

(D) (0,1)

3.若命题 p 是命题 q 的必要不充分条件,则命题 ?p 是命题 ?q 的

(A)不充分也不必要条件(B)充分必要条件(C)必要不充分条件(D)充分不必要条件

4. “a,b 为异面直线”是指:

① a b ? ? ,且 a 与 b 不平行;

②a ? 平面? ,b ? 平面 ? ,且 a b ? ? ;

③a ? 平面? ,b ? 平面 ? ,且? ? ?? ; ④a ? 平面? ,b ? 平面? ;

⑤不存在平面? ,能使 a ? ? 且 b ? ? 成立。

上述结论中,正确的是

(A)①④⑤正确 (B)①⑤正确

(C)②④正确

(D)①③④正确

5.若不等式 2x ? x2 ? a 对于一切 x ???2,3? 恒成立,则实数 a 的取值范围

(A)???, ?8?

(B) ???, ?3?

(C) ? ??,1?

(D)??8, ???

6.函数 f ? x? ? x3 ? 3x2 ? 3x ? a 的极值个数是

(A)2

(B) 1

(C) 0

(D)与 a 值有关

7.直线 ?x cos 400 ? y sin 400 ?1 ? 0 的倾斜角是

(A) 400

(B) 500

(C)1300

(D)1400

8.按 ABO 血型系统学说,每个人的血型为 A,B,O,AB 型四种之一,依血型遗传学,当

且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时,子女的血型一定不是 O 型,若某人的血型是

O 型,则其父母血型的所有可能情况有

(A)12

(B)10

(C)9

(D)6

9.若二项式

? ?

3x2

?

?

2 3x

n
? ??

(n ?

N*)

展开式中含有常数项,则 n

的最小取值是

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

10.已知一个全面积为 24 的正方体,内有一个与每条棱都相切的球,此球的体积为

(A) 4? 3

(B) 4 3?

(C) 24 6? 3

(D) 8 2? 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在试题的横线上)

11.已知双曲线 x2 ? y2 ? 1离心率为 2 ,则实数 k 的值是____________. k
12.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 7, x ? N} ,从中任取两个不同的元素,其和为偶数的概率是
_______.(只能用最简数字作答)
13.在 ?ABC 中,角 A, B,C 对应的边长为 a,b,c ,若 acos B ? bcos A ,则 ?ABC 的形状是 _____________三角形.
14.若函数 f ? x? 是定义在实数集上的奇函数,且 f (x ? 2) ? ? f (x) ,给出下列结论:

① f ?2? ? 0 ;② f ? x? 以 4 为周期;③ f ? x? 的图象关于 y 轴对称;④ f (x ? 2) ? f (?x) .
这些结论中正确的有____________.(必须填写序号) 15.若 lim x 2 ? Ax ? B ? 3,则直线 Ax + By + C = 0 的倾斜角为
x?1 x 2 ? 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.已知向量

a

?

? ??

3

?

cos

2(

x

?

?), 4

?2

2 ???,

b ? 1?,sin

x ?cos

x

?

,x

?

????

3? 4

,

? 4

? ??

,且

a

?

b

?

8 9



求 sin 2x 的值.

17.已知 Sn 是数列 ?an? 的前 n 项和, a1 ?

3, 2

a2

? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn

? 2Sn?1 ?1 ? 0 ,其中

n ? 2, n ? N* .

① 求证数列?an ?1? 是等比数列; ② 求数列?an? 的前 n 项和 Sn .

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1A ? AC ? 2AB , AB ? BC ? a ,D 为 BB1 的中 点.

① 证明:平面 ADC1 ? 平面 ACC1A1 ; ② 求点 B 到平面的距离 ADC1 ; ③ 求平面 ADC1 与平面 ABC 所成的二面角大小.

C1

B1

A1

1D

C

B

A

19.今有一张长 2 米宽 1 米的矩形铁板,如图,在四个 角上分别截去一个边长为 x 米的正方形后,沿虚线折起 可做成一个长方体水箱(接口连接问题不考虑)。
① 求水箱容积的表达式 f (x) ,并指出 f (x) 的定义
域; ② 若要使水箱容积不大于 4 x3 立方米的同时,又使得
底面积最大以增加稳定性, x 应取什么值?

x x
x x

x x
x x

20.已知函数 f ? x? ? ?x3 ? ax2 ? b(a,b ? R) .

① 若 f ? x? 在[0,2]上是增函数, x ? 2 是方程 f ? x? ? 0 的一个实根,求证: f (1) ? ?2 ; ② 若 f ? x? 的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.
21.已知直线 l 过椭圆 E: x2 ? 2y2 ? 2 的右焦点 F ,且与 E 相交于 P,Q 两点. ① 设 OR ? 1 (OP ? OQ) ( O 为原点),求点 R 的轨迹方程;
2

② 若直线 l 的倾斜角为 600 ,求 1 ? 1 的值. | PF | | QF |

y P

o

F

x

Q

眉山市高中 2007 届第二次诊断考试数学(文)参考答案与评分标准

一、 选择题:
BCDBA
二、 填空题

CBCCD

2007.4

11.1

12. 3 7

三、 解答题

13.等腰 14.①②④

15. arctan 4 5

16.解:

a

?b

?

? ??

3

?

cos 2(

x

?

?), 4

?2

2

? ??

?

1?,sin

x ?cos

x?

?

? ??

3

?

cos

2(

x

?

? 4

)

? ??

?1

?

2

2 ? ?sin x ? cos x? ...............................2’

? ?cos 2(x ? ? ) ? 4sin(x ? ? ) ? 3

4

4

? 2sin2 (x ? ? ) ? 4sin(x ? ? ) ? 2

4

4

?

2

???sin(

x

?

? 4

)

?

1???

2

.....................................................5’

a

?b

?

8 9

,?

2 ???sin(x

?

?) 4

? 1??? 2

?

9 8

,即 sin( x

?

?) 4

?

1 3

……………………………8’



x

?

????

3? 4

,

? 4

? ??

?

x

?

? 4

?

????

? 2

,

? 2

? ??

? cos(x ? ? ) ? 1? sin2 (x ? ? ) ? 2 2 ……………………………………………10’

4

43

于是 sin 2 x ? ?cos(2 x ? ?) ?1 ?cos (2 x ? ?) ? ? 7 ………………………………12’

2

49

17. 解:① Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ?1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1) ?1 ? an?1 ? 2an ? 1n(? .2..).....................................3’



a1

?

3 2

,

a2

? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ?1(n ? N*)

? an?1 ?1 ? 2an( ? (1 n) ? N* )

?数列?an

? 1?

是公比为

2,首项为

a1

?1

?

1 2

的等比数列.......................6’

②由①, an

?1?

1 2

? 2n?1

?

2n?2

?

an

?

2n?2

? 1 ................................8’

于是 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?1 ? 1? 20? ?1 ?1 2 ? 1? n.? . ?. 2 2

1

? ? ? 2?1 ? 20? 2?1 n.?. .?22n

? 2n ?1 ? n .................................................12’ 2
18. 解:由勾股定理知, AB ? BC ,则如图所示建立直角坐标系,坐标分别为:

B(0,0,0) , A(0, a,0) ,C(a,0,0), B1(0,0, 2a), A1(0, a, 2a)

C1(a,0, 2a)

(1) D1, E 分别是 BB1, AC1 之中点。

x ? D(0, 0, 2 a), E( a , a , 2 a)

2

22 2



DE

?

(

a 2

,

a 2

, 0),

CC1

?

(0, 0,

2a), AC1 ? (a, ?a,

2a)

z

C1
E C

B1 A1
D
B

A
y

DE ? AC1 ? 0, DE ?CC1 ? 0,? DE ?面 A1ACC1 , ?平面 ADC1 ? 面 A1ACC1 。………………4 分

(2)设平面 ADC1 的法向量 n ? (x1, y1, z1) ,且 AD ? (0, ?a,

2 2

a),

AC 1

? (a,

?a,

2a)



?? ?

AD

?

n

?0

?

n

?

(?

?? AC1 ? n ? 0

2, 2

2 ,1) ,又 2

BA ? (0, a,0)

则,设点 B 到平面的距离 ADC1 为 d

d ? | n ? BA | ? |n|

2a 2

? 1 a ………………………………8 分

1 ? 1 ?1 2

22

(3)显然平面 ABC 的法向量为 (0,0,1) ,平面 ADC1 的法向量 n ? (?

2, 2

2 ,1) 2

? cos? ?

1

? 1 ? 2 ? ? ? ? ,故两平面的夹角为 ? …………12 分

1 ? 1 ?1?1 2 2

4

4

22

19. 解:①易见该立方体底面长为 2 ? 2x ,宽1? 2x ,高 x

所以,该长方体体积为 f (x) ? (2 ? 2x)(1? 2x)x ? 4x3 ? 6x2 ? 2x .................3’

其中正数

x

满足

?2 ? ??1 ?

2x ? 2x ?

0 ?0? 0

x?

1 2

......................................

6’

②由V (x) ? 4x3 ? 1 ? x ? 1 ,.......................................9’ 32

此时的底面积为 S(x) ? (2 ?2 x)(1 ?2 x) ?4 x 2 ?6 x ?2 ( x ?[1 , 1) ).......10’ 32

这个二次函数开口向上且对称轴 x ? 3 ,可知 S(x) 在 x ?[1 , 1) 上单调递减

4

32

所以 x ? 1 时,可使 S(x) 为最大.....................................12’ 3
20.解:① f '(x) ? ?3x 2 ? 2ax ..............................................2’ 由题可知 f '(x) ? ?3x 2 ? 2ax ? 0 在[0,2]上恒成立. ?3x2 ? 2ax ? 0 ? 2ax ? 3x2 当 x ? 0 时此式显然成立, a?R ;

当 x?(0,2] 时有 2a ? 3x 恒成立,易见应当有 2a ? 6 ? a ? 3,

可见 f '(x) ? ?3x 2 ? 2ax ? 0 在[0,2]上恒成立,须有 a ? 3 .................4’ 又 f (2) ? 0 ? b ? 8 ? 4a

? f (1) ? a ? b ?1 ? 7 ? 3a ? ?2 ........................................6’

②设 P(x, f ?x ?), Q(y, f ?y ?) 是 f ? x? 图象上的两个不同点,则

f ? x? ? f ? y ? ? 1 ? (?x3 ? ax2 ? b) ? (? y3 ? ay2 ? b) ? 1 .........................7

x? y

x? y



? ?(x2 ? y2 ? xy) ? a(x ? y) ? 1

? x2 ? ( y ? a)x ? ( y2 ? ay ?1) ? 0 ............................8’

此式对于 x 恒成立,从而 ? ? 0 ? 3y2 ? 2ay ? a2 ? 4 ? 0 .......................10’

此式对于 y 也恒成立,从而 ? ' ? 0 ? a2 ? 3 ? a ? (? 3, 3) ...................12’

注:用导数方法求解略,按相应步骤给分.

21.解:① 设 P(x1, y1), Q(x2, y2 ), R(x, y)

OR

?

1 (OP 2

? OQ)

?

(x,

y)

?

1 2 [( x1 ,

y1)

?

( x2 ,

y2 )]

?

? ??

x

?

?y

? ?

x1 y1

? 2 ?

x2 y2

..........1’

??

2

由 x2 ? 2 y2 ? 2 ? x2 ? y2 ? 1,易得右焦点 F(1,0) ......................2’ 2
当直线 l ? x 轴时,直线 l 的方程是: x ?1,根据对称性可知 R(1,0) ........3’ 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? k (x ?1) 代入 E 有 (2k 2 ?1)x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ? ? 8k2 ? 8 ? 0

x1

?

x2

?

4k 2 2k 2 ?1

....................................................5



于是 R(x, y):

x?

x1 ? x2 2

2k 2 ? 2k2 ?1

y ? k(x ?1)

消去参数 k 得 x2 ? 2y2 ? x ? 0

而 R(1,0) 也适上式,故 R 的轨迹方程是 x2 ? 2y2 ? x ? 0 ..................8’

②设椭圆另一个焦点为 F ' ,

在 ?PF 'F 中 ?PFF ' ? 1200 ,| F ' F |? 2, 设| PF |? m ,则| PF '|? 2 2 ? m













(2 2 ? m)2 ? 22 ? m2 ? 2 ? 2 ? m ? cos1200 ? m ? 2 .............10’ 2 2 ?1

同理,在 ?QF 'F ,设| QF |? n ,则| QF '|? 2 2 ? m















( ?n 2 2 于

? 22 n

??n ?2 ) 2 n....?...2......12’?0

2?

2

1

2? 是

1?

? ??

| PF | | QF | m n

注:其它方法相应给分.

?? 2

? ? 2 2 ..........................14’ 2

2? 1