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人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点 经典例题 巩固练习

高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印
度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是
同一集合。
反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?? B 或 B ?? A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记

作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

三、集合的运算

运算

交集

并集

补集

类型

定 由所有属于 A 且属 由所有属于集合 A 或 设 S 是一个集合,A 是

义 于 B 的元素所组成 属于集合 B 的元素所 S 的一个子集,由 S 中

的集合,叫做 A,B 的 组成的集合,叫做 A,B 所有不属于 A 的元素
交集.记作 A ? B 的并集.记作:A ? B 组成的集合,叫做 S 中

(读作‘A 交 B’),即 (读作‘A 并 B’),即 子集 A 的补集(或余
A ? B={x|x ? A, A ? B ={x|x ? A,或 集)

且 x? B}.

x? B}).

记作 CS A ,即 CSA={x | x ? S, 且x ? A}



A

B



图1



A

B

图2

S A



性 A ? A=A A ? Φ=Φ A ? B=B ? A A? B?A
质 A? B?B

A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B)
(CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B)
A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是

()

A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有



3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,x? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是

.

? ? ? ? 4.设集合 A= x 1 ? x ? 2 ,B= x x ? a ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化

学实验做得正确得有 31 人,

两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有

人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M=

.

7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应 关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确 定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值
的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横 坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过 来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均 在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射
一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯

一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) ? B(象)”
对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并
集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。
二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数
设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从 左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;
○2 作差 f(x1)-f(x2);
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);

○5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调 性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性 相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;
○3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是
偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非 奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x) /f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的 函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的 定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页)

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题:

1.求下列函数的定义域:

⑴ y ? x2 ? 2x ?15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? ( x ?1)2 x ?1

2.设函数 f (x) 的定义域为[0,1] ,则函数 f (x2 ) 的定义域为_ _

3.若函数 f (x ?1) 的定义域为[?2,3] ,则函数 f (2x ?1) 的定义域是

?x ? 2(x ? ?1)

4.函数

f

(x)

?

? ?

x

2

(?1

?

x

?

2)

,若 f (x) ? 3,则 x =

??2x(x ? 2)

5.求下列函数的值域:

⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 (x ? R)

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[1, 2]

(3) y ? x ? 1? 2x

(4) y ? ?x2 ? 4x ? 5

6.已知函数 f (x ?1) ? x2 ? 4x ,求函数 f (x) , f (2x ?1) 的解析式

7.已知函数 f (x) 满足 2 f (x) ? f (?x) ? 3x ? 4,则 f (x) =



8.设 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x ?[0, ??) 时, f (x) ? x(1? 3 x ) ,则当 x ?(??, 0) 时 f (x) =

f (x) 在 R 上的解析式为

9.求下列函数的单调区间:

⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵ y ? ?x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ?x3 ? 1的单调性并证明你的结论.

11.设函数

f

(x)

?

1? 1?

x2 x2

判断它的奇偶性并且求证:

f

(1) x

?

? f (x) .


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