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专题11 空间中的平行与垂直-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练

2014 高考对本内容的考查主要有: (1)主要考查空间概念,空间想象能力,点线面位置关系判断,表面积与体积计算等, A 级要求 (2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明,B 级要求

1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a?α ,b?α ,a∥b?a∥α . (2)线面平行的性质定理:a∥α ,a?β ,α ∩β =b?a∥b. (3)面面平行的判定定理:a?β ,b?β ,a∩b=P,a∥α ,b∥α ?α ∥β . (4)面面平行的性质定理:α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b?a∥b. 2.平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而直线与平面平行又可转化为直线 与直线平行,所以要注意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意图.

3.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m?α ,n?α ,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α . (2)线面垂直的性质定理:a⊥α ,b⊥α ?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β ,a⊥α ?α ⊥β . (4)面面垂直的性质定理:α ⊥β ,α ∩β =l,a?α ,a⊥l?a⊥β .

4.垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图.

在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平 面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要 用此定理进行转化.

考点 1、空间几何体的认识及表面积与体积 的计算

【例 1】如图,在长方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A ?BB1D1D 的体积为________cm .
3

【变式探究】 已知正六棱锥 P ?ABCDEF 的底面边长为 1 cm,侧面积为 3 cm ,则该棱锥的体

2

积为________cm .

3

1 3 3 1 3 3 体积= × × = (cm ). 3 2 2 4 【答案】 3 4

考点 2、空间中点线面位置关系的判断 【例 2】 设 α ,β ,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 α ⊥β ,l⊥β ,则 l∥α ;②若 l⊥α ,l∥β ,则 α ⊥β ; ③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α ;④若 α ⊥β ,α ∥γ ,则 γ ⊥β . 其中正确命题的序号是________. 【解析】 由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断,真命题为②④. 【答案】②④ 【方法技巧】这类题为高考常考题型,其实质为多项选择.主要考查空间中线面之间的 位置关系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,做到不漏选、多 选、错选. 【变式探究】 设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面①若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β ; ②若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β ;③若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β ;④若 α ⊥β ,l∥α ,则 l ⊥β ,则上述命题中正确的是________.

难点 1、线线、线面、面面平行与垂直的证明 【例 1】如图,在直三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点

D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.

求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

【方法技巧】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系,一要熟练掌 握所有判定定理与性质定理,梳理好几种位置关系的常见证明方法,如证明线面平行,既可 以构造线线平行,也可以构造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位线性质,或构 造平行四边形;二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路;三要注意表述规范,推 理严谨,避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论. 【变式探究】 如图, 在四棱锥 P ?ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥DC, ∠ABC=45°,

DC=1,AB=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1.

(1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M ?ACD 的体积. 【证明】(1)证明 ∵AB∥DC,且 AB?平面 PCD,CD?平面 PCD. ∴AB∥平面 PCD. (2)证明 在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE⊥AB 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形

1.对于直线 m,n 和平面 α,β,γ,有如下四个命题: ①若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; ②若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ③若 α⊥β,γ⊥β,则 α∥γ; ④若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β. 其中正确命题的序号是________.

2.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,有下列四个命题: ①若 l⊥α,m?α,则 l⊥m;②若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α; ③若 l∥α,m?α,则 l∥m;④若 l∥α,m∥α,则 l∥m. 则其中正确命题的序号是________. 【解析】 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确. 【答案】①② 3.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱 锥BB1EF 的体积为________.

4.设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,则下列 4 组条件中所有能推得 a⊥b 的条件是 ________(填序号). ①a?α,b∥β,α⊥β;②a⊥α,b⊥β,α⊥β; ③a?α,b⊥β,α∥β;④a⊥α,b∥β,α∥β.

5.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

6.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号______(写出所有真命题的序号).

7.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 M,N 分别在 AB1,BC1 上(M,N 不与 B1,C1 重合),且 AM =BN,那么①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面 A1B1C1D1;④MN 与 A1C1 异面,以上 4 个 结论中,正确结论的序号是________.

8.在正三棱锥 P ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,下列结论:①AC⊥PB;②AC∥平面 PDE;③AB⊥平面 PDE,其中正确结论的序号是________.

9.如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC. (1)求证:平面 AEC⊥平面 ABE; BF (2)点 F 在 BE 上.若 DE∥平面 ACF,求BE的值.

10. 如图,在四棱锥 O ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,OA⊥平面 ABCD, E 为 OA 的中点, F 为 BC 的中点,求证:(1)平面 BDO⊥平面 ACO;(2)EF∥平面 OCD.

【证明】

11. 如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F 分别 是 A1C1,BC 的中点.

(1)证明:平面 AEB⊥平面 BB1C1C; (2)证明:C1F∥平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P B1C1F 的体积.

在矩形 ACC1A1 中,E,M 都是中点,∴C1E 綉 AM,四边形 AMC1B 是平面四边形,∴C1M ∥AE


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