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浙江省杭州市学军中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


浙江省杭州市学军中学 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=() A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}
x

2. (5 分)将函数 y=sin(2x+ 平移是() A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位

)的图象平移后所得的图象对应的函数为 y=cos2x,则进行的

B. 向左平移 D.向左平移

个单位 个单位

3. (5 分)已知 f(x)= A.f(sinα)>f(cosβ) B. D.f(cosα)>f(cosβ)

,又 α,β 为锐角三角形的两内角,则() f(sinα)<f(cosβ) C. f(sinα)>f(sinβ)

4. (5 分)已知 , 为两个非零向量,则下列命题不正确的是() A.若| ? |=| |?| |,则存在实数 t0,使得 =t0 B. 若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| ? |=| |?| | C. 若| + |=| |+| |,则存在实数 t0,使得 =t0 D.若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| + |=| |+| |

5. (5 分)若函数 f(x)满足

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣

1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. D.

6. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x)关于 x=1 对称,且 x∈(﹣1,0)时, f(x)=2 + ,则 f(log220)=() A.1 B. C . ﹣1
2 x

D.﹣

7. (5 分)已知 a∈R,则“a≥0”是“函数 f(x)=x +|x﹣a|在(﹣∞,0]上是减函数”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. (5 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=() A.﹣4 B . ﹣6 C . ﹣8 D.﹣10

9. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 中最大的项为() A. B. C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+2x,若存在 a∈[0,4],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(a) 有三个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是() A.(1, ) B.(1, ) C. ( , ) D.(1, )

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)设 f(x)= ,则 =.

12. (4 分)函数 f(x)=sinωx+ 值等于 ,则正数 ω 的值为.

cosωx(x∈R) ,又 f(α)=﹣2,f(β)=0,且|α﹣β|的最小

13. (4 分)点 E,F 是正△ ABC 的边 BC 上的点,且 BE=EF=FC,则 tan∠EAF=.

14. (4 分)若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(﹣1) 且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是.
*

n+2012

?a,bn=2+



15. (4 分)已知 =(2,1) , =(﹣1,3)若 ⊥( ﹣λ ) ,则实数 λ 的值为.

16. (4 分)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=4x+ 若 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为.

+7,

17. (4 分)定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x﹣3)的图象关于点(3,0) 成中心对称图形,若实数 s,t 满足不等式 f(s ﹣2s)≥﹣f(2t﹣t ) ,当 1≤s≤4 时,t +s ﹣2s 的 取值范围是.
2 2 2 2

三、解答题(共 72 分) 18. (14 分)已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x ﹣mx﹣2=0 的两个实根,不等式 a ﹣5a﹣3≥|x1﹣ 2 x2|对任意实数 m∈[﹣1, 1]恒成立; 命题 q: 不等式 ax +2x﹣1>0 有解, 若 p∨q 为真命题, p∧ q 为假命题,求 a 的取值范围. 19. (14 分)已知向量 =(sin(A﹣B) , ) , =(1,2sinB) ,且 ? =﹣sin2C,
2 2

其中 A、B、C 分别为△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ,且 S△ ABC= ,求边 c 的长.

20. (14 分)如图所示,边长为 a 的等边△ ABC 的中心是 G,直线 MN 经过 G 点与 AB、AC 分别交于 M、N 点,已知∠MGA=α( ≤α≤ ) .

(1)设 S1、S2 分别是△ AGM、△ AGN 的面积,试用 α 表示 S1、S2; (2)当线段 MN 绕 G 点旋转时,求 y= + 的最大值和最小值.

21. (15 分)设公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=8,S2=48,数列{bn}满 足 bn=4log2an. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得 是数列{bn}中的项.

22. (15 分)设 a 为实数,设函数

的最大值为 g(a) .

(Ⅰ)设 t= (Ⅱ)求 g(a) ; (Ⅲ)试求满足

,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ;

的所有实数 a.

浙江省杭州市学军中学 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) x 1. (5 分)已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=() A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 本题求集合的交集,由题设条件知可先对两个集合进行化简,再进行交补的运算, 集合 A 由求指数函数的值域进行化简,集合 B 通过求集合的定义域进行化简 x 解答: 解:由题意 A={y|y=2 +1}={y|y>1},B={x|lnx<0}={x|0<x<1}, 故 CUA={y|y≤1} ∴(CUA)∩B={x|0<x<1} 故选 D 点评: 本题考查补集的运算,解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算,运用指 数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简,本题是近几年 2015 届高考中的常见题型,一 般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力

2. (5 分)将函数 y=sin(2x+ 平移是() A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位

)的图象平移后所得的图象对应的函数为 y=cos2x,则进行的

B. 向左平移 D.向左平移

个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 利用诱导公式将 f(x)=sin(2x+ ]=cos(2x﹣

)转化为余弦形式,即 f(x)=cos[(2x+

)﹣

) ,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得答案. )=cos[ ﹣(2x+ )]=cos[(2x+ )﹣ ]=cos(2x﹣

解答: 解:∵f(x)=sin(2x+ ) , ∴f(x+ )=cos[2(x+ )﹣

]=cos2x, )的图象向左平移 个单位,

∴要得到 y=cos2x 的图象,需将函数 y=sin(2x+

故选:B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查诱导公式的应用,属于中档题.

3. (5 分)已知 f(x)= A.f(sinα)>f(cosβ) B. D.f(cosα)>f(cosβ) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

,又 α,β 为锐角三角形的两内角,则() f(sinα)<f(cosβ) C. f(sinα)>f(sinβ)

分析: 确定,函数在(0,1)上单调递减,α>

﹣β,即可得出结论.

解答: 解:由题意,函数在(0,1)上单调递减, ∵α,β 为锐角三角形的两内角, ∴α+β> ∴α> ﹣β ﹣β)=cosβ>0

∴sinα>sin(

∴f(sinα)<f(cosβ) 故选:B. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,以及三角函数的性质的应用,综合性较强.

4. (5 分)已知 , 为两个非零向量,则下列命题不正确的是() A.若| ? |=| |?| |,则存在实数 t0,使得 =t0 B. 若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| ? |=| |?| | C. 若| + |=| |+| |,则存在实数 t0,使得 =t0

D.若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| + |=| |+| | 考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积定义与向量共线定理即可得出. 解答: 解:A.∵| ? |=| |?| |≠0,∴ ∴ =±1. = ,

因此存在实数 t0,使得 =t0 .故正确. B.存在实数 t0,使得 =t0 ,则| ? |= 因此正确. C.∵| + |=| |+| |,∴ 与 同向共线,则存在实数 t0,使得 =t0 ,因此正确. D. 若存在实数 t0, 使得 =t0 , 则| + |=| |+| |或 综上可知:只有 D 错误. 故选:D. 点评: 本题考查了数量积定义与向量共线定理,属于基础题. 5. (5 分)若函数 f(x)满足 ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣ , 因此 D 不正确. = = =| |?| |,

1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 根据 ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,求出 x∈(﹣1,0)时,f(x)

的解析式,由在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,转化为两函数图象 的交点,利用图象直接的结论. 解答: 解:∵ ∴x∈(﹣1,0)时, ∴f(x)= , ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, ,

因为 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点, 所以 y=f(x)与 y=mx+m 的图象有两个交点,

函数图象如图,由图得,当 0<m 故选 D.

时,两函数有两个交点

点评: 此题是个中档题.本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求 函数解析式,体现了转化的思想,以及利用函数图象解决问题的能力,体现了数形结合的思 想.也考查了学生创造性分析解决问题的能力. 6. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x)关于 x=1 对称,且 x∈(﹣1,0)时, f(x)=2 + ,则 f(log220)=() A.1 B. C . ﹣1 D.﹣
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和对称性,得到函数的周期,利用对数的基本运算法则进行转化 即可得到结论. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x)关于 x=1 对称, ∴f(1+x)=f(1﹣x)=﹣f(x﹣1) , 即 f(x+2)=﹣f(x) , 则 f(x+4)=f(x) ,即函数的周期为 4, 则 4<log220<5, ∴0<log220﹣4<1, 即﹣1<4﹣log220<0, 则﹣1< <0,

则 f(log220)=f(log220﹣4)=﹣f(4﹣log220)=﹣f(



= 故选:C.

=﹣(

)=﹣1,

点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件求出函数的周期,以及利用对数的基本运算 关系是解决本题的关键,综合考查函数的性质. 7. (5 分)已知 a∈R,则“a≥0”是“函数 f(x)=x +|x﹣a|在(﹣∞,0]上是减函数”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 化函数为分段函数,分别由二次函数的单调性可得 a 的范围,可得答案. 解答: 解:∵f(x)=x +|x﹣a|=
2 2 2



由二次函数可知 y=x +x﹣a 在(﹣∞, ∴必有 a≥0,

)单调递减, (

,+∞)单调递增,

同理可得 y=x ﹣x+a 在(﹣∞, )单调递减, ( ,+∞)单调递增, ∴亦必有 a≥0, 综合可得 a≥0, 故“a≥0”是“函数 f(x)=x +|x﹣a|在(﹣∞,0]上是减函数”的充要条件 故选:C. 点评: 本题考查充要条件的判定,涉及二次函数的单调性,属基础题. 8. (5 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=() A.﹣4 B . ﹣6 C . ﹣8 D.﹣10 考点: 等差数列;等比数列. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用已知条件列出关于 a1,d 的方程,求出 a1,代入通项公式即可求得 a2. 解答: 解:∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴a3 =a1?a4, 2 即(a1+4) =a1×(a1+6) , 解得 a1=﹣8, ∴a2=a1+2=﹣6. 故选 B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义,比较简单.
2

2

9. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 中最大的项为() A. B. C. D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a9>0,a10<0,由此可知 <0,即可得出答案. 解答: 解:∵等差数列{an}中,S17>0,且 S18<0 即 S17=17a9>0,S18=9(a10+a9)<0 ∴a10+a9<0,a9>0,∴a10<0, ∴等差数列{an}为递减数列, 故可知 a1,a2,…,a9 为正,a10,a11…为负; ∴S1,S2,…,S17 为正,S18,S19,…为负, ∴ >0, >0,…, <0, <0,…, <0, >0, >0,…, <0, <0,…,

又∵S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9, ∴ 中最大的项为

故选 D 点评: 本题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值,掌握等差数列的性质, 属中档题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+2x,若存在 a∈[0,4],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(a) 有三个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是() A.(1, ) B.(1, ) C. ( , ) D.(1, )

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当﹣2≤a≤2 时,f(x)在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f(x)=tf(a)不可能有三 个不等的实数根存在 a∈(2,4],方程 f(x)=tf(a)=2ta 有三个不相等的实根,则 2ta∈(2a, ) ,即存在 a∈(2,4],使得 t∈(1, 范围为(1, ) . 解答: 解:当 0≤a≤2 时,f(x)在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f(x)=tf(a)不可能有 三个不等的实数根; 则当 a∈(2,4]时,由 f(x)= , )即可,由此可证出实数 t 的取值

得 x≥a 时,f(x)=x +(2﹣a)x 对称轴 x=

2

<a,

则 f(x)在 x∈[a,+∞)为增函数,此时 f(x)的值域为[f(a) ,+∞)=[2a,+∞) , x<a 时,f(x)=﹣x +(2+a)x 对称轴 x=
2

<a,

则 f(x)在 x∈(﹣∞,

)为增函数,此时 f(x)的值域为(﹣∞,

) ,

f(x)在 x∈[

,a)为减函数,此时 f(x)的值域为(2a,

) ;

由存在 a∈(2,4],方程 f(x)=tf(a)=2ta 有三个不相等的实根,则 2ta∈(2a,

) ,

即存在 a∈(2,4],使得 t∈(1,

)即可,令 g(a)=



只要使 t<(g(a) )max 即可,而 g(a)在 a∈(2,4]上是增函数,g(a)max=g(4)= , 故实数 t 的取值范围为(1, ) . 点评: 本题考查函数性质的综合应用,解题时要认真审题. 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)设 f(x)= ,则 =3.

考点: 对数的运算性质;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算性质,易得 f( )= ,代入

可得答案. 解答: 解:∵f(x)= ∴f( )= + + = , ,

∴ 故答案为:3.

=

+

=3,

点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,其中根据已知求出 f( )

=

是解决本题的关键.

12. (4 分)函数 f(x)=sinωx+ 值等于 ,则正数 ω 的值为 1.

cosωx(x∈R) ,又 f(α)=﹣2,f(β)=0,且|α﹣β|的最小

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 化简函数的表达式,根据 f(α)=﹣2,f(β)=0 以及|α﹣β|的最小值等于 函数的周期,然后求出 ω 的值. 解答: 解:函数 f(x)=sinωx+ ﹣β|的最小值等于 故答案为:1 点评: 本题是基础题, 考查三角函数的化简, 周期的求法, 正确分析题意找出函数满足 是解题的重点关键,考查逻辑推理能力,计算能力. ,所以 cosωx=2sin(ωx+ ,T=2π,所以 T= ) ,因为 f(α)=﹣2,f(β)=0,且|α =2π,所以 ω=1 ,求出

13. (4 分)点 E,F 是正△ ABC 的边 BC 上的点,且 BE=EF=FC,则 tan∠EAF=



考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 解三角形. 分析: 设出 BE,则 AB 可表示,进而利用余弦定理求得 AE,AF,进而根据余弦定理求得 cos∠EAF,利用同角三角函数基本关系求得 sin∠EAF 和 tan∠EAF. 解答: 解:设 BE=t,则 AB=3t, ∴由余弦定理知 AE=AF= = t,

∴cos∠EAF=

=

=



∵∠EAF< ∴sin∠EAF= ∴tan∠EAF=

, = = . ,

故答案为:



点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.已知三边求角,一般采用余弦定理.

14. (4 分)若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(﹣1)
*

n+2012

?a,bn=2+



且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是[﹣2, ) .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 讨论 n 取奇数和偶数时,利用不等式恒成立,即可确定 a 的取值范围. 解答: 解:∵an=(﹣1)
n+2012

?a,bn=2+

,且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,

*

∴(﹣1)

n+2012

?a<2+



若 n 为偶数,则不等式等价为 a<2﹣ ,即 a<2﹣ ,即 a< ; 若 n 为奇数,则不等式等价为﹣a<2 综上,﹣2≤a< . 即实数 a 的取值范围是[﹣2, ) . 故答案为:[﹣2, ) . 点评: 本题主要考查不等式恒成立问题,讨论 n 取奇数和偶数是解决本题的关键. ,即有﹣a≤2,即 a≥﹣2.

15. (4 分)已知 =(2,1) , =(﹣1,3)若 ⊥( ﹣λ ) ,则实数 λ 的值为 5. 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ⊥( ﹣λ ) ,得 ?( ﹣λ )=0,求出 λ 的值. 解答: 解:∵ =(2,1) , =(﹣1,3) ,

∴ ﹣λ =(2+λ,1﹣3λ) ; 又∵ ⊥( ﹣λ ) , ∴ ?( ﹣λ )=0, 即 2(2+λ)+(1﹣3λ)=0; 解得 λ=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应根据两向量垂直,它们的数量积为 0,求 出答案,是基础题.

16. (4 分)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=4x+ 若 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 a≤﹣8. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质可得:x>0 时,f(x)= 时,
2 2

+7,

﹣7;x=0 时,f(x)=0.当 x>0
2 2

﹣7≥a+1 恒成立,可得:4x ﹣(a+8)x+a ≥0 恒成立.令 g(x)=4x ﹣(a+8)x+a ,

可得当 x>0 时,g(x)≥0 恒成立?

,或△ ≤0.解出即可.

解答: 解:设 x>0,则﹣x<0. ∵当 x<0 时,f(x)=4x+ ∴f(﹣x)= +7. +7,

∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)= ﹣7.

∵f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立, ∴当 x>0 时, ﹣7≥a+1 恒成立;且当 x=0 时,0≥a+1 恒成立.

①由当 x=0 时,0≥a+1 恒成立,解得 a≤﹣1. ②由当 x>0 时,
2

﹣7≥a+1 恒成立,可得:4x ﹣(a+8)x+a ≥0 恒成立.
2

2

2

令 g(x)=4x ﹣(a+8)x+a , 则当 x>0 时,g(x)≥0 恒成立? ,或△ ≤0,

解得 a≤﹣ . 综上可得:a≤﹣ . 因此 a 的取值范围是:a≤﹣ . 故答案为:a≤﹣ . 点评: 本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,考查 了推理能力与计算能力,属于难题. 17. (4 分)定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x﹣3)的图象关于点(3,0) 成中心对称图形,若实数 s,t 满足不等式 f(s ﹣2s)≥﹣f(2t﹣t ) ,当 1≤s≤4 时,t +s ﹣2s 的 取值范围是[﹣ ,24].
2 2 2 2

考点: 简单线性规划的应用;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x﹣3)的图象关于(3, 2 2 0)成中心对称,易得函数 y=f(x)是奇函数,根据函数单调性和奇偶性的性质可得 s ﹣2s≥t 2 2 2 2 ﹣2t,进而得到 s 与 t 的关系式,最后找到目标函数 z=t +s ﹣2s=t +(s﹣1) ﹣1,利用线性 规划问题进行解决; 解答: 解:y=f(x﹣3)的图象相当于 y=f(x)函数图象向右移了 3 个单位. 又由于 y=f(x﹣3)图象关于(3,0)点对称, 向左移回 3 个单位即表示 y=f(x)函数图象关于(0,0)点对称,函数是奇函数. 所以 f(2t﹣t )=﹣f(t ﹣2t) 2 2 即 f(s ﹣2s)≥f(t ﹣2t) 2 2 因为 y=f(x)函数是增函数,所以 s ﹣2s≥t ﹣2t 2 2 移项得:s ﹣2s﹣t +2t≥0 即: (s﹣t) (s+t﹣2)≥0 得:s≥t 且 s+t≥2 或 s≤t 且 s+t≤2 转化为线性规划问题: 2 2 2 2 已知 s≥t 且 s+t≥2,且 1≤s≤4,目标函数:z=t +s ﹣2s=t +(s﹣1) ﹣1, 画出可行域:
2 2

z=t +s ﹣2s 的最值,转化为可行域中的点到点(0,1)距离的平方减去 1, 2 2 2 2 z=t +s ﹣2s=t +(s﹣1) ﹣1, ∴z 的最小值为点(0,1)到直线 s+t=2 距离的平方减去 1, ∴zmin= =﹣ ,

2

2

z 的最大值为点(0,1)到点(4,4)距离的平方减去 1, 2 2 zmax=(﹣4) +(﹣3) ﹣1=24, ∴﹣ ≤z≤24; 当 s≤t 且 s+t≤2,且 1≤s≤4,可行域不存在,舍去; ∴t +s ﹣2s 的取值范围是[﹣ ,24] 故答案为[﹣ ,24]. 点评: 本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数单调性的性质,其中根据已知条件得 到函数为奇函数,进而将不等式 f(s ﹣2s)≥﹣f(2t﹣t ) ,转化为 s ﹣2s≥t ﹣2t,最后转化到 线性规划问题上解决,就比较简单了; 三、解答题(共 72 分) 2 2 18. (14 分)已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x ﹣mx﹣2=0 的两个实根,不等式 a ﹣5a﹣3≥|x1﹣ 2 x2|对任意实数 m∈[﹣1, 1]恒成立; 命题 q: 不等式 ax +2x﹣1>0 有解, 若 p∨q 为真命题, p∧ q 为假命题,求 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 化简命题 p,q;由 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题知 p 与 q 有且仅有一个为真.从而 得出 a 的取值范围. 2 解答: 解:∵x1,x2 是方程 x ﹣mx﹣2=0 的两个实根, ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣2, |x1﹣x2|= = ,
2 2 2 2 2 2

∴当 m∈[﹣1,1]时,|x1﹣x2|max=3.

由不等式 a ﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数 m∈[﹣1,1]恒成立, 2 可得:a ﹣5a﹣3≥3; ∴a≥6 或 a≤﹣1; ∴命题 p 为真命题时 a≥6 或 a≤﹣1,命题 p 为假命题时﹣1<a<6; 2 命题 q:不等式 ax +2x﹣1>0 有解, ①当 a>0 时,显然有解, ②当 a=0 时,2x﹣1>0 有解, ③当 a<0 时,∵ax +2x﹣1>0 有解, ∴△=4+4a>0,∴﹣1<a<0; 2 从而命题 p:不等式 ax +2x﹣1>0 有解时 a>﹣1 ∴命题 q 是假命题时 a>﹣1,命题 q 是假命题时 a≤﹣1. ∵p∨q 真,p∧q 假, ∴p 与 q 有且仅有一个为真. (1)当命题 p 是真命题且命题 q 是假命题时 a≤﹣1; (2)当命题 p 是假命题且命题 q 是真命题时﹣1<a<6; 综上所述:a 的取值范围为 a<6. 点评: 本题考查了复合命题真假性的判断、方程的解的判断、韦达定理及分类讨论的思想, 属于中档题.
2

2

19. (14 分)已知向量 =(sin(A﹣B) ,

) , =(1,2sinB) ,且 ? =﹣sin2C,

其中 A、B、C 分别为△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ,且 S△ ABC= ,求边 c 的长.

考点: 余弦定理;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)根据向量数量积的坐标公式,结合题意得 ? =sin(A+B)=﹣sin2C,利用二倍 角的三角函数公式和诱导公式化简得 cosC=﹣ ,由此即可算出角 C 的大小; (II) 根据题意, 由正弦定理得到 ﹣2abcosC 的式子联解,即可算出 . 由三角形面积公式算出 ab=4, 再由余弦定理 c =a +b . ) , =(1,2sinB) ,
2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)∵向量 =(sin(A﹣B) , ∴ ? =sin(A﹣B)+2

sinB=sin(A﹣B)+2cosAsinB=sin(A+B)

∵ ? =﹣sin2C,∴sin(A+B)=﹣sin2C, ∵sin(A+B)=sn(π﹣C)=sinC, ∴sinC=﹣2sinCcosC,

结合 sinC>0,得﹣2cosC=1,cosC=﹣ ∵C∈(0,π) ,∴C= (Ⅱ)∵ ∴由正弦定理得 又∵S△ ABC= absinC=
2 2 2

; , . ab= ,∴ab=4,
2

由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣ab ∴c = c ﹣ab,可得
2 2

=ab=4,解之得



点评: 本题给出向量含有三角函数式的坐标形式,在已知数量积的情况下解△ ABC.着重 考查了向量的数量积、三角恒等变换和正余弦定理等知识,属于中档题. 20. (14 分)如图所示,边长为 a 的等边△ ABC 的中心是 G,直线 MN 经过 G 点与 AB、AC 分别交于 M、N 点,已知∠MGA=α( ≤α≤ ) .

(1)设 S1、S2 分别是△ AGM、△ AGN 的面积,试用 α 表示 S1、S2; (2)当线段 MN 绕 G 点旋转时,求 y= + 的最大值和最小值.

考点: 不等式的实际应用. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (1)根据 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,可求得 AG,进而利用正弦定理求 得 GM,然后利用三角形面积公式求得 S1,同理可求得 S2 (2)把(1)中求得 S1 与 S2 代入求得函数的解析式,进而根据 α 的范围和余切函数的单调性 求得函数的最大和最小值. 解答: 解: (1)因为 G 是边长为 a 的正三角形 ABC 的中心, 所以 AG= a,∠MAG= ,

由正弦定理得 GM=

则 S1= GM?GA?sinα=

同理可求得 S2=

(2)y=

+
2

=

[

]

=

(3+cot α) ≤α≤ , 或 a= 时,y 取得最大值 ymax= .

因为

所以当 a= 当 a=

时,y 取得最小值 ymin=

点评: 本题主要考查了解三角形问题.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力. 21. (15 分)设公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=8,S2=48,数列{bn}满 足 bn=4log2an. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得 是数列{bn}中的项.

考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,由 a3=8,S2=48 求出 q 的值,进而求出首项,从而求出数 列{an}和{bn}的通项公式. (Ⅱ)化简 为 ,令 t=4﹣m(t≤3,t∈Z) ,则 化为

.如果

是数列{bn}中的项,设为第 m0 项,则有

,那么

为小于等于 5 的整数,由此求得正整数 m 的值.

解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,则有

,解得 q= ,或 q=﹣ (舍) .





,…(4 分)

.…(6 分) 即数列{an}和{bn}的通项公式为 ,bn=﹣4n+24. , 令 t=4﹣m (t≤3, t∈Z) ,

(Ⅱ)

所以

,…(10 分)

如果

是数列{bn}中的项,设为第 m0 项,则有



那么

为小于等于 5 的整数, ,不合题意;

所以 t∈{﹣2,﹣1,1,2}.当 t=1 或 t=2 时, 当 t=﹣1 或 t=﹣2 时, ,符合题意.

所以,当 t=﹣1 或 t=﹣2 时,即 m=5 或 m=6 时,

是数列{bn}中的项.…(14 分)

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和 公式,属于中档题.

22. (15 分)设 a 为实数,设函数 (Ⅰ)设 t= (Ⅱ)求 g(a) ; (Ⅲ)试求满足 的所有实数 a.

的最大值为 g(a) .

,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ;

考点: 函数最值的应用. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (I) (II)求 g(a)即求函数 数求最值的方法进行. (III)要求满足 的所有实数 a,则必须应用 g(a)的解析式,它是分段函数, 先求定义域,再求值域.由 转化. 的最大值.严格按照二次函

必须分情况选择解析式进行求解. 解答: 解: (I)

要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1﹣x≥0,即﹣1≤x≤1, ∴ t 的取值范围是 由①得 ∴m(t)=a( )+t= . ,t≥0①

(II)由题意知 g(a)即为函数 注意到直线 是抛物线 的对称轴,

的最大值.

分以下几种情况讨论. (1)当 a>0 时,函数 y=m(t) , 由 <0 知 m(t)在 的图象是开口向上的抛物线的一段, .上单调递增,

∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当 a=0 时,m(t)=t, ∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t) , 若 若 若 ,即 ,即 ,即 则 则 则 g(a)=m(2)=a+2 , 的图象是开口向下的抛物线的一段,

综上有

(III)情形 1:当 a<﹣2 时 此时 由 情形 2:当 此时 , ,



,与 a<﹣2 矛盾. , 时,

解得, 情形 3:当 此时 所以 情形 4:当 此时 解得 情形 5:当



矛盾. , 时,

, 时, , 矛盾. 时, , , ,

此时 g(a)=a+2, 由 解得 , 矛盾.

情形 6:当 a>0 时, 此时 g(a)=a+2, 由 综上知,满足

,由 a>0 得 a=1. 的所有实数 a 为: ,或 a=1

点评: 本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用 数学知识分析问题、解决问题的能力.


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