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2015届康杰中学等四校高三第三次联考数学理科试卷


2015 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学试题(理)
【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查,突出了对数 学的计算能力、 逻辑思维能力等方面的考察。 突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科 的基础知识和基本技能的考查;侧重于知识交汇点的考查。注 重 双 基 和 数 学 思 想 数 学 方 法 的 复 习 ,注 重 运 算 能 力 思 维 能 力 的 培 养 。较多试题是以综合题的形式出现,在考查 学生基础知识的同时,能考查学生的能力。 【题文】第Ⅰ卷(选择题

60 分)

【题文】一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的,请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 【题文】1. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 4, x ? R}, B ? {x | x ? 4, x ? Z},则 A ? B ? A. (0 , 2) B. [0 , 2] C. {0 , 1 , 2} D. {0 , 2} 【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】C 解析:根据已知得 A = {x | - 2 # x

2}, B = {x | 0 # x 4},所以

A ? B ? [0 , 2] ,故选 B.
【思路点拨】根据已知得到集合 A,B,然后再求交集. 【题文】2. 复数 z ?

2 ? 4i ( i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 1? i A. (3,1) B. (?1,3) C. (3, ?1) D. (2, 4)

【知识点】复数的运算;复数的几何意义 L4 【答案】 【解析】A 解析:因为 z =

2 + 4i ( 2 + 4i) (1 - i) = = 3 + i ,所以在复平面内对应点 1 +i ( 1 + i) ( 1 - i )

的坐标是 (3,1) ,故选 A. 【思路点拨】先把原复数化简,再根据几何意义得到对应的点坐标. 【题文】3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. ?

8 3

B.

16 ? 3

C. 8?

D. 16?

【知识点】由三视图求面积、体积.BG2 【答案】 【解析】B 解析:几何体是一个简单组合体,是一个圆柱里挖去一个圆锥,所以体

2 积为 V =p 创

2

1 16 2- p创 22 2 = p ,故选 B. 3 3

【思路点拨】几何体是一个简单组合体,是一个圆柱里挖去一个圆锥,用圆柱的体积减去圆 锥的体积即可. 【题文】 4. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 an ? 0 , q1 ? , a3 ? a5 ?2 0 , a2 a6 ? 6, 4则 S5 ? A.31 B. 36 C. 42 D.48 【知识点】等比数列的性质.D3 【答案】 【解析】A 解析:a3a5=a2a6=64,∵ a3+a5=20,∴ a3 和 a5 为方程 x ﹣20x+64=0 的两 = =2,∴ a1= = =1,
2

根,∵ an>0,q>1,∴ a3<a5,∴ a5=16,a3=4,∴ q=

∴S5=

=31.故选 A.

【思路点拨】利用等比中项的性质求得 a3a5=a2a6,进而根据 a3+a5=20,构造出一元二次方程 求得 a3 和 a5,则 a1 和 q 可求得,最后利用等比数列的求和公式求得答案.

?x ? 2 y ? 0 ? 【题文】5. 设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大为 6 ,则 z 的最小值 ?0? y?k ?
为 A. ?3 B. ?2 C. ?1 D. 0 【知识点】简单线性规划.E5 【答案】 【解析】A 解析:作出不等式对应的平面区域, 由 z=x+y,得 y=﹣x+z, 平移直线 y=﹣x+z,由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣x+z 的截距最大, 此时 z 最大为 6.即 x+y=6.经过点 B 时,直线 y=﹣x+z 的截距最小,此时 z 最小.





,即 A(3,3) ,∵ 直线 y=k 过 A,∴ k=3.

由 故选:A.

,解得

,即 B(﹣6,3) .此时 z 的最小值为 z=﹣6+3=﹣3,

【思路点拨】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 k 的值,通过平移即 可求 z 的最小值为. 【题文】6. 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的 不同分派方法种数为 A. 150 B. 180 C. 200 D. 280

【知识点】排列、组合及简单计数问题.J1 J2 【答案】 【解析】A 若是 1,1,3,则有 解析:人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3. × =60 种,若是 1,2,2,则有 × =90 种

所以共有 150 种不同的方法.故选:A. 【思路点拨】根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3,分别计算 两种情况下的情况数目,相加可得答案. 【题文】7. 执行如图的程序框图,则输出 S 的值为 A. 2016 B. 2 C.

1 2

D.

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】B 解析:模拟执行程序框图,可得 s=2,k=0 满足条件 k<2016,s=﹣1,k=1 满足条件 k<2016,s= ,k=2 满足条件 k<2016,s=2.k=3 满足条件 k<2016,s=﹣1,k=4 满足条件 k<2016,s= ,k=5 … 观察规律可知,s 的取值以 3 为周期,由 2015=3*671+2,有 满足条件 k<2016,s=2,k=2016 不满足条件 k<2016,退出循环,输出 s 的值为 2. 故选:B. 【思路点拨】模拟执行程序框图,依次写出前几次循环得到的 s,k 的值,观察规律可知,s 的取值以 3 为周期,由 k 等于 2015=3*671+2 时,满足条件 k<2016,s=2,k=2016 时不满足 条件 k<2016,退出循环,输出 s 的值为 2. 【题文】8. 若 ( x ?
6

1 x x

) n 的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于
C. 5 D. 6

A. 3

B. 4

【知识点】二项式系数的性质.J3

【答案】 【解析】C

解析:由题意, (x

6

) 的展开式的项为 Tr+1=Cn (x ) (

n

r

6

n﹣r



r

=Cn

r

=Cn

r

,令 6n﹣

r=0,得 n= r,当 r=4 时,n 取到最小值 5

故选:C. 【思路点拨】二项式的通项公式 Tr+1=Cn (x ) 0,建立方程求出 n 的最小值. 【题文】9. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个
r 6 n﹣r



) ,对其进行整理,令 x 的指数为

r

? ? 的等差数列, 把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位, 得到函数 g ( x) 的图 2 6 象.关于函数 g ( x) ,下列说法正确的是 ? ? ? A. 在 [ , ] 上是增函数 B. 其图象关于直线 x ? ? 对称 4 2 4 ? 2 C. 函数 g ( x) 是奇函数 D. 当 x ? [ , ? ] 时,函数 g ( x) 的值域是 [?2 , 1] 6 3
公差为 【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案】 【解析】D = ∴ (x+ )=2 解析:∵ f(x)= ,由题意知 sinωx+cosωx= ,则 T=π,∴ ω= , 个单位,得 g(x)=f

,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 =2cos2x.

其图象如图:

由图可知,函数在[



]上是减函数,A 错误; ) ,B 错误;

其图象的对称中心为(

函数为偶函数,C 错误; , ∴ 当 x∈[ ,

, π]时,函数 g(x)的值域是[﹣2,1],D 正确.

故选:D. 【思路点拨】由两角和的正弦把三角函数化简,结合已知求出周期,进一步得到 ω,则三角 函数的解析式可求,再由图象平移得到 g(x)的解析式,画出其图象,则答案可求.

2 x sin( ? 6 x) 2 【题文】10. 函数 y ? 的图象大致为 x 4 ?1

?

【知识点】函数的图像;函数的奇偶性 B4 B8

【答案】 【解析】 D

p 2 x sin( + 6 x) 2- x cos ( - 6 x) 2x cos 6 x 2 解析: 由 f ( x) = 知:f (- x) = = 4- x - 1 4x - 1 4x - 1
,总会存在

=-

2 x cos 6 x ,即 f (- x) = - f ( x) ,所以函数为奇函数,排除 A;当 x ? 4x - 1

x,使 cos6x<0,故排除 B,C,故选 D. 【思路点拨】先判断出原函数为奇函数,再利用排除法即可。

M 是 SC 的中点, 【题文】 11. 在正三棱锥 S ? ABC 中, 且 AM ? SB ,底面边长 AB ? 2 2 ,
则正三棱锥 S ? ABC 的外接球的表面积为 A. 6? B. 12? C. 32? 【知识点】球的体积和表面积;球内接多面体.G8 【答案】 【解析】B 解析:取 AC 中点,连接 BN、SN ∵ N 为 AC 中点,SA=SC,∴ AC⊥ SN,同理 AC⊥ BN, ∵ SN∩ BN=N,∴ AC⊥ 平面 SBN ∵ SB?平面 SBN,∴ AC⊥ SB ∵ SB⊥ AM 且 AC∩ AM=A ∴ SB⊥ 平面 SAC?SB⊥ SA 且 SB⊥ AC ∵ 三棱锥 S﹣ABC 是正三棱锥 ∴ SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直. D. 36?

∵ 底面边长 AB=2 , ,∴ 侧棱 SA=2, ∴ 正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的直径为:2R= 外接球的半径为 R= 2 ∴ 正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积是 S=4πR =12π 故选:B.

【思路点拨】根据三棱锥为正三棱锥,可证明出 AC⊥ SB,结合 SB⊥ AM,得到 SB⊥ 平面 SAC, 因此可得 SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径,结合球的 表面积公式,可得正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积. 【题文】12. 过曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切 2 a b 线,设切点为 M,延长 F1M 交曲线 C3 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共
同的焦点,若 MF 1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为 A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 D.

5 ?1 2

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】D 解析:设双曲线的右焦点为 F2,则 F2 的坐标为(c,0) 2 因为曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,所以 y =4cx ,因为 O 为 F1F2 的中点,M 为 F1N 的中点, 所以 OM 为△NF1F2 的中位线,所以 OM∥PF2,因为|OM|=a,所以|NF2|=2a 又 NF2⊥NF1, |FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设 N (x, y) , 则由抛物线的定义可得 x+c=2a, ∴x=2a-c , 2 2 2 过点 F 作 x 轴的垂线,点 N 到该垂线的距离为 2a ,由勾股定理 y +4a =4b ,即 4c(2a-c) +4a =4(c -a ),得 e -e-1=0,∴e= 故选:D 【思路点拨】双曲线的右焦点的坐标为(c,0) ,利用 O 为 F1F2 的中点,M 为 F1N 的中点,可 得 OM 为△NF1F2 的中位线,从而可求|NF1|,再设 N(x,y) 过点 F 作 x 轴的垂线,由勾股 定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可求得离心率. 【题文】第Ⅱ卷(非选择题
2 2 2 2

5 ?1 . 2

90 分)

【题文】二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 【题文】13. 已知 a ? (1, ?2), a ? b ? (0, 2) ,则 | b |? ____________. 【知识点】向量的运算;向量的模 F2 【答案】 【解析】 17 以b = 解析:设 b = x, y ,则 x +1, y - 2 = 0,2 ,解得 b = - 1, 4 ,所

(

) (

) ( )

(

)

( - 1)

2

+ 42 = 17 ,故答案为 17 .

【思路点拨】设 b = x, y ,然后利用 a + b = (0, 2) 解得 b = - 1, 4 ,最后利用向量的模的公 式解之. 【 题 文 】 14. 设 随 机 变 量 X ~ N (3, ? 2 ) , 若 P( X? P( X? 6 ? m) ____________. ? 【知识点】正态分布 I3 【答案】 【解析】 0.7

(

)

(

)

m ) ?

0 . 3则 ,

解析:根据正态分布的定义可知对称轴为 m = 3 ,而 m 与 6-m 关于

m = 3 对称,所以 P( X > m) = P( X < 6 - m) = 0.3 ,故 P( X ? 6 ? m) ?
1 - P( X < 6 - m) = 1 - 0.3 = 0.7 ,故答案为 0.7 .
【思路点拨】根据正态分布的定义可知对称轴为 m = 3 ,而 m 与 6-m 关于 m = 3 对称,所以

P( X > m) = P( X < 6 - m) = 0.3 ,结合定义可得结果.

?1 ? x 2 , x ? 1 1 【题文】15. 函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? mx ? 恰有四个不相等的 2 ?ln x, x ? 1
实数根,则实数 m 的取值范围是____________. 【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9 【答案】 【解析】 ( ,

1 1 ) 2 e

解析:方程 f(x)=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为

函数 f ( x) ? ?

?1 ? x 2 , x ? 1 ?ln x, x ? 1

与函数 y=mx﹣ 有四个不同的交点,

?1 ? x 2 , x ? 1 作函数 f ( x) ? ? 与函数 y=mx﹣ 的图象如下, ?ln x, x ? 1

由题意,C(0,﹣ ) ,B(1,0) ;故 kBC = , 当 x>1 时,f(x)=lnx,f′ (x)= ;

设切点 A 的坐标为(x1,lnx1) ,则

=

;解得,x1=



故 kAC =

;结合图象可得,实数 m 的取值范围是 ( ,

1 1 ). 2 e

故答案为: ( ,

1 1 ). 2 e

【思路点拨】方程 f(x)=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为函数 f ( x) ? ?

?1 ? x 2 , x ? 1 ?ln x, x ? 1

与函数 y=mx﹣ 有四个不同的交点,作函数 f ( x) ? ? 由数形结合求解.

?1 ? x 2 , x ? 1 ?ln x, x ? 1

与函数 y=mx﹣ 的图象,

【题文】16. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a2 ? 1 , ?nSn ? (n ? 2)an ? 为等 差数列,则 ?an ? 的通项公式 an ? ____________. 【知识点】等差数列的性质.D2 【答案】 【解析】

n 2 n ?1

解析:设 bn=nSn+(n+2)an,

∵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1,∴ b1=4,b2=8, ∴ bn=b1+(n﹣1)×(8﹣4)=4n,即 bn=nSn+(n+2)an=4n 当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1+(1+ )an﹣(1+ )an﹣1=0



=

,即 2?



∴{

}是以 为公比,1 为首项的等比数列,∴

=

,∴



【思路点拨】令 bn=nSn+(n+2)an,由已知得 b1=4,b2=8,从而 bn=nSn+(n+2)an=4n,进 一步得到{ }是以 为公比,1 为首项的等比数列,由此能求出{an}的通项公式.

【题文】三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 并把解答写在答卷纸的相应位置上) 【题文】17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 面积为 S, 已知 a cos (1)求证: a、b、c 成等差数列; (2)若 B ?
2

C A 3 ? c cos 2 ? b 2 2 2

?
3

, S ? 4 3,求 b .

【知识点】余弦定理;正弦定理.C8 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) b ? 4 解析: (1)由正弦定理得: sin A cos 即 sin A
2

1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? sin C ? sin B 2 2 2 ∴ sin A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3 sin B 即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3 sin B ∵ sin(A ? C ) ? sin B ∴ sin A ? sin C ? 2 sin B 即 a ? c ? 2b ∴ a、b、c 成等差数列。
(2)∵ S ?

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B 2 2 2
???2 分 ???4 分

???6 分 ???8 分 ???10 分

???12 分 【思路点拨】 (1)已知等式利用正弦定理化简,再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差 的正弦函数公式变形,整理后再利用正弦定理化简,利用等差数列的性质判断即可得证; (2)利用三角形面积公式列出关系式,把 sinB 与已知面积代入求出 ac 的值,利用余弦定 理列出关系式,整理得出 b 的值即可. 【题文】18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分

1 3 ∴ ac ? 16 ac sin B ? ac ? 4 3 2 4 又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? 3ac 2 2 由(1)得: a ? c ? 2b ∴ b ? 4b ? 48 2 ∴ b ? 16 即b ? 4

别为 2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左右手分别从甲、乙两 袋中取球. (1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率; (2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球 的成功取法次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望. 【知识点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布 列.K1 K6 【答案】 【解析】 (1)

2 ; (2)见解析 3 解析: (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色” ,
则 P( A) ? 1 ?

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? 9?9 3
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 ? 2 C9 18

???4 分

(2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 左手所取的两球颜色相同的概率为 ???6 分

右手所取的两球颜色相同的概率为

C32 ? C32 ? C32 1 ? C92 4

???7 分

5 ?? 1 ? 13 3 13 ? P( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24
P( X ? 1) ?
P ( X ? 2) ?
所以X的分

5 1 5 1 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 18 4 18 4 18
5 1 5 ? ? 18 4 72
X P 0 1 2 ???10 分 布列为:

13 24

7 18

5 72

E( X ) ? 0 ?

13 7 5 19 ? 1? ? 2 ? ? 24 18 72 36

???12 分

【思路点拨】 (1)设事件 A 为“两手所取的球不同色”,由此能求出 P( A) ?

2 ; (2)依题意, 3

X 的可能取值为 0,1,2,左手所取的两球颜色相同的概率为

2 2 C2 ? C32 ? C4 5 ? ,右手所 2 C9 18

取的两球颜色相同的概率为

C32 ? C32 ? C32 1 ,P(X=1) ,P(X=2) , ? .分别求出 P(X=0) C92 4

由此能求出 X 的分布列和 EX. 【题文】19. (本小题满分 12 分)

E ,F 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
分别是 CC1 、 BC 的中点, AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明: DF ? AE ; (2) 是否存在一点 D , 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由.

14 ?若存 14

【知识点】线面垂直的性质定理;二面角的求法 G10 G11 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)当点 D 为 A1B1 中点时,满足要求. 解析: (1)证明:

AE ? A1B1 , A1B1 ∥ AB

? AB ? AE



AB ? AA1


? AB ? 面 A1 ACC1

A E? A1A ? AC ? 面 A1 ACC1

A

? A B? A C ???2 分 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz

?1 1 ? ?2 2 ? 设 D ? x, y, z ? , A 且 ? ? [0,1] ,即: ? x, y, z ?1? ? ? ?1,0,0 ? ? D ? ?,0,1? 1D ? ? A 1B 1
则 A? 0,0,0? , E ? 0,1, ? , F ? , ,0 ? , A 1 (0,0,1) , B 1 (1,0,1)

? ?

1? 2?

1 ?1 ? ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ?2 ? 1? ? ? AE ? ? 0 , 1 , ? 2? ? 1 1 ? DF AE ? ? ? 0 ? DF ? AE 2 2
(2)假设存在,设面 DEF 的法向量为 则 ?

???5 分 ???6 分

n ? ? x, y, z ? ,

? n FE ? 0 ?n DF ? 0

1 ? 1 1 1? ?1 ? FE ? ? ? , , ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ? 2 2 2? ?2 ?

1 1 ? 1 ? x? y? z ?0 ? 2 2 ? 2 ?? 1 1 ? ?? ???x? y? z ? 0 ? ?? 2 2 ? ?

? n ? ?3 , 1 ? ? 2 ,? 2? ? 1 ?? .

3 ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? z ? 即: ? ? y ? 1 ? 2? z ? 2 ?1 ? ? ? ?

令 z ? 2 ?1 ? ? ?

???8 分 ???9 分

由题可知面 ABC 的法向量 m ? ? 0,0,1? 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面的余弦值为

14 14
2 2

? cos m, n ?
?? ?

?

?

mn m n

?

14 14

即:

2 ?1 ? ? ? 9 ? ?1 ? 2? ? ? 4 ?1 ? ? ?

?

14 14

1 7 或? ? (舍) 2 4 ? 当点 D 为 A1B1 中点时,满足要求.

???11 分 ???12 分

【思路点拨】 【题文】20. (本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 4 b ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, P( , ) 是 C 上的一点,以 AP 为直径的圆经 3 3 a 2 b2

过椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到 直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 (1) 距离之积等于 1.

x2 ? y 2 ? 1 (2)存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的 2

解析: (1) F (c,0), A(0, b) ,由题设可知 FA ? FP ? 0 ,得

4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3
又点 P 在椭圆 C 上,?

① ???1 分 ② ③ ???3 分 ???4 分 ???5 分

16 b2 ? ? 1, ? a2 ? 2 2 2 9a 9b

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

①③联立解得, c ? 1, b2 ? 1 故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,消去 y, 整理得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 (﹡)

方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k 2 ? 1 ? 0 , 所以 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由
d1 ? d 2 ? ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

???8 分

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ? 1 对任意的实数 k 恒成立, k2 ?1
?? ? 1 ?? ? ?1 解得, ? 1 或? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1

?? ? ? 2 ? 1 所以, ? 1 2 ??1 ? ?2 ? 0

当直线 l 的斜率不存在时,经检验符合题意. 总上,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1.?12 分

4 b2 【思路点拨】 (1)由题设可得 c2 ? c ? ? 0 ① ,又点 P 在椭圆 C 上,可得 3 3
?a =2② ,又 b +c =a =2③ ,① ③ 联立解得 c,b ,即可得解. (2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程消去 y,整理得
2 2 2 2 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0(﹡) , 由 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 , 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0)
满足题设,则由

d1 ? d 2 ?

(?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1

?

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

?

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ?1 k2 ?1

?? ? ? 2 ? 1 对任意的实数 k 恒成立.由 ? 1 2 即可求出这两个定点的坐标. ??1 ? ?2 ? 0

【题文】21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ?

a ? ln x (e , f (e)) 处的切线与直线 e 2 x ? y ? e ? 0 垂 ,若曲线 f ( x) 在点 x

直(其中 e 为自然对数的底数). (1)若 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x ? 1 时,

f ( x) 2e x ?1 . ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)

【知识点】利用导数求函数的极值;利用导数证明不等式 B11 B12

(0,1 ) 【答案】 【解析】 (1) ; (2)见解析

1 ? a ? ln x x2 1 a 1 由已知 f ?(e) ? ? 2 ∴ - 2 ? ? 2 得a ?1 e e e 1 ? ln x ln x f ?( x) ? ? 2 ( x ? 0) ∴ f ( x) ? x x ? 当 x ? (0,1)时, f ( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数。 ∴ x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点 又 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值 ∴ m ? 1 ? m ?1 即0 ? m ?1 (0,1 ) 故实数 m 的取值范围是
解析: (1)∵ f ?( x) ? (2)

???2 分

???4 分

???5 分

f ( x) 2e ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)
???6 分

x ?1

1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ? x 即为 e ?1 x xe ? 1 ( x ? 1)(ln x ? 1) 令 g ( x) ? x [( x ? 1)(ln x ? 1)]? x ? ( x ? 1)(ln x ? 1) x ? ln x ? 则 g ?( x) ? x2 x2 1 x ?1 ? 1? ? 再令 ?(x) ? x ? ln x 则 ? ?(x) x x

∵x ?1

∴ ? ?( x) ? 0

( 1, ? ?) ∴ ? ( x) 在 上是增函数
∴ g ?( x) ? 0

∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0

( 1, ? ?) ∴ g ( x) 在 上是增函数
∴ x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 令 h( x ) ? 故

g ( x) 2 ? e ?1 e ?1

???9 分

2e x ?1 xe x ? 1 e x ?1 ( xe x ? 1) ? ( xe x ? 1)?e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) 则 h?( x) ? 2 ? ( xe x ? 1) 2 ( xe x ? 1) 2 x ( 1, ? ?) ∵x ?1 ∴ 1 ? e ? 0 ∴ h ?( x) ? 0 即 h( x) 上是减函数 2 ∴ x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? ???11 分 e ?1 g ( x) f ( x) 2e x ?1 ? h( x ) , 即 所以 ???12 分 ? e ?1 e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1) 1 ? a ? ln x 【思路点拨】(1)先求导得 f ?( x) ? ,利用单调性判断出 x ? 1 是函数 f ( x) 的 x2 极 大 值 点 , 所 以 有 m ? 1 ? m ? 1 , 解 不 等 式 组 即 可 ;( 2 ) 先 转 化 为 ( x ? 1)(ln x ? 1) 1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ? x , 令 g ( x) ? ,再求导结合单调性证明。 x e ?1 x xe ? 1
【题文】请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第 一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 【题文】22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线

NAB , 交圆于 A 、 B 两点 , 连接 PA 并延长 , 交圆 O 于点 C , 连接 PB 交圆 O 于点 D , 若 MC ? BC .
(1)求证:△ APM ∽ △ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

【知识点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定.N1 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析 解析:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP .
∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴
2 2

???5 分

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ???10 分 【思路点拨】 (I)由切割线定理,及 N 是 PM 的中点,可得 MN ? PN ? NA ? NB ,进
2 2



PN NA ? ,结合 ?PNA ? ?BNP ,可得△ PNA ∽△ BNP ,则 ?APN ? ?PBN ,即 BN PN ?APM ? ?PBA ; 再由 MC=BC, 可得∠MAC=∠BAC, 再由等角的补角相等可得∠MAP=

∠PAB,进而得到△APM∽△ABP(II)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即 PM∥ CD;由△APM∽△ABP,PM 是圆 O 的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即 MC∥PD;再由平 行四边形的判定定理得到四边形 PMCD 是平行四边形. 【题文】23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2) 直线 l 的极坐标方程是 2? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? (?为参数) .以 O 为极点, x 轴 ? y ? sin ?

?
3

)?3 3, 射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、 P,

与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【知识点】简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化.N3 【答案】 【解析】 (1) ? ? 2cos ? ; (2) | PQ |? 2 解析: (1)圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ???5 分
? ? ? 2 cos ? (2)设 P( ?1 ,?1 ) ,则由 ? ? ? ?? ? 3 ?

解得 ?1 ? 1, ?1 ?

?
3

???7 分

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? 设 Q( ?2 ,?2 ) ,则由 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ???9 分 ? ? 3 ? ? ? 3 ?

所以 | PQ |? 2
2 2

???10 分
? ? ? 2 cos ?

【思路点拨】 (I)利用 cos φ+sin φ=1,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程. (II)设

P( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,由 ? ?

?? ? 3 ?

?

,联立即可解得.设 Q( ?2 ,?2 ) 的极坐标,同理

可解得.利用 | PQ |? 2 |即可得出. 【题文】24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x ) =| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求 f ( x) ? x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ?

| a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. |a|

【知识点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.N4 【答案】 【解析】 (1) 0 ? x ? 2 ; (2) ( ??, ? ] ? [ , ??) 解析: (1)由 f ( x) ? x ? 2 得:

3 2

3 2

? x?2?0 ? x?2?0 ? x?2?0 ? ? ? 或 或 ???3 分 ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 1 ?x ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?

解得 0 ? x ? 2 所以 f ( x) ? x ? 2 的解集为 {x | 0 ? x ? 2} (2) | a ? 1| ? | 2a ? 1| ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3
|a| a a a a

???5 分

当且仅当 ?1 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 0 时,取等号.
? ? ?? a ?? ? a?

???8 分

由不等式 f ( x) ? | a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,可得 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3
|a|

解得: x ? ?

3 3 或x? . 2 2 3 2 3 2
???10 分

故实数 x 的取值范围是 ( ??, ? ] ? [ , ??)

【思路点拨】 (1)运用绝对值的含义,对 x 讨论,分 x≥1,﹣1<x<1,x≤﹣1,去掉绝对值, 得到不等式组,解出它们,再求并集即可得到解集; (2)运用绝对值不等式的性质,可得不 等式右边的最大值为 3,再由不等式恒成立思想可得 f(x)≥3,再由去绝对值的方法,即可 解得 x 的范围.


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