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四川省南充市2013届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题及答案

南充市高 2013 届第一次高考适应性考试 数学试卷(理科)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i

1 ? 3i =( ) 1? i B. 2 ? i C. ?1 ? 2i

D. ?1? 2i

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? x log3 x ? 0 ,则 A ? (CU B) ?
x

?

?

?

?

( A. C.



?x x ? 1?
?x 0 ? x ? 1?
) B.

B. D.

?x x ? 0? ?x x ? 0?

3.设 a, b, c 是三条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则 a ? b 的一个充分条件是 (

A. a ? c, b ? c C. a ? ? , b / /?

? ? ?, a ? ?,b ? ?

D. a ? ? , b ? ? )

? 4.已知命题 p : ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1 ,则 ?p 是( ? A. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1 ? C. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1

? B. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1 ? D. ?x0 ? R , log 2 x0 ? 1

5.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?

? 个长度单位 4 ? C. 向左平移 个长度单位 2
A.向左平移

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像( 3 6

?



? 个长度单位 4 ? D. 向右平移 个长度单位 2
B. 向右平移

6.函数 f ( x) ? log a x ?1 ( a ? 1) 的图像大致为下图的(



y 1 x -1 A
A. ? 1

y x 1

y 1

y

1 -1 O B

1

-1 O 1 C


x

-1

O 1x -1 D

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是(

2 B. 3

3 C. 2

D. 4

开始

2 8.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,a2 、a4 是方程 x ? 2 x ? b ? 0 的

S ?4 i ?1

两个根,则 S5 等于( A. 5 B.

) C.

?5

15 2

D. ?

15 2

i ? 2013




9.已知 ? ABC 中, D 是 BC 的中点, 点 过点 D 的直线分别交直线 AB 、

???? ??? ? ??? ? ??? ? AC 于 E 、 F 两点,若 AB ? ? AE (? ? 0) , AC ? ? AF ( ? ? 0) ,


S?

2 2?S

输出 S

1

?

?

4

i ? i ?1

结束

?

的最小值是(



A. 9

B.

7 2

C. 5

D.

9 2
x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, P 为椭圆上一点,且 a 2 b2


10.已知 F (?c , 0)、 F2 (c,0) 为椭圆 1

???? ???? ? PF1 ?PF2 ? c 2 ,则此椭圆离心率的取值范围是(
A. [

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2
1 3

填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆) ,根据图 中标出的尺寸(单位: cm ) ,可得这个几何体的体积是 . 12.若 (ax ?1) 的展开式中 x 的系数是 80 ,则实数 a 的值是
5
3

.
2

2

13.在体积为 V 的三棱锥 S ? ABC 的棱 AB 上任取一点 P ,则三棱锥

S ? ABC 的体积大于

V 的概率是 3

.

正视图

侧视图

? 上 14. 已 知 P 是 直 线 3x ? 4y ? 8 0 的 动 点 , PA 、 PB 是 圆
俯视图

2

x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ?1 ? 0 的两条切线, A 、 B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB
面积的最小值为 .

15.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,定义 y ? f ??( x) 是函数 y ? f ?( x) 的导函 数。若方程 f ??( x ) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 。有 同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心。根据这 一 发 现 , 对 于 函 数

g ( x) ?

1 3 1 2 1 1 x ? x ? 3x ? ? 3 2 12 x ? 1 2
.





g(

2 3 2012 ?)g ( ?g ) ? ? ? g ( ) ) 的值为 ( 2 0 1 3 2 0 1 3 20132 0 1 3

1

解答题(共 6 小题,共 75 分) 16.(本题满分 12 分) 已知 ? ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ;向量 m ? (1,1) ,

??

?? ? ? 3 n?( ? sin B sin C , cos B cos c) ,且 m ? n . 2
(I)求 A 的大小; (II)若 a ? 1, b ? 3c ,求 S? ABC 17.(本题满分 12 分) 某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段,现将初赛答卷成绩(得 分均为整数,满分 100 分)进行统计,制成如下频率分布表:
分数(分数段) 频数(人数) ① 频率 0.16 ②

[60,70)
[70,80) [80,90)
[90,100)
合计

22

14 ③

0.28 ④

50

1

(I)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (II)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答 4 道小题,只要答对 2 道题就终止 答题,并获得一等奖,如果前三道题都答错,就不再答第四题。某同学进入决赛,每道 题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相同. E ①求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率; ②记该同学决赛中答题个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 18.(本题满分 13 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF / / DE ,

F A

D M B

C

DE ? 3AF , BE 与平面 ABCD 所成的角 60? .
(I)求证: AC ? 平面 BDE (II)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (III)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定 M 的位置,使得 AM / / 平面 BEF ,并 证明你的结论. 19.(本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任意 n ? N , S n 是 a n 和 an 的
?

2

等差中项. (I)证明数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明

1 1 1 ? ??? ? 2 . S1 S2 Sn

20.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B (0, ? 1) ,且其右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(I)求椭圆的方程; (II)是否存在斜率为 k (k ? 0) ,且过定点 Q(0, ) 的直线 l ,使 l 与椭圆交于两个不同 的点 M 、 N ,且 BM ? BN ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 21.(本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) . (I)求函数 f ( x ) 的最小值; (II)设 F ( x) ? ax2 ? f ?( x)(a ? R) ,讨论函数 F ( x ) 的单调性; (III) 斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ?( x) 交于 A( x1, y1 ) 、B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点, 求证:

3 2

x1 ?

1 ? x2 . k

南充市高 2013 届第一次高考适应性考试 数学理科答案
三、选择题(50 分) 题 号 答 案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A 9 D 10 C

四、填空题(25 分)

11. 8 ? ? ;

12.

2 ;

2 13. 3 ;

14. 2 2 ;

15. 3018

18. 解答题(75 分) 16.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 因为m ? n, 所以
3 ? sin B sin C ? cos B cos C ? 0 ???? 2分 2

( Ⅱ ) 若a ? 1, b ? 3c,由 余 弦 定 理 得

17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 ??????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:P = 0.4 ①该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖,即前 3 道题中刚好答对 1 道题.第 4 道也能够答对
1 2 才获得一等奖,则有 C3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.1728

???????????6 分

②因为只要答对 2 道题就终止答题,并获得一等奖,所以该同学答题个数为 2、3、4. 即 X= 2、3、4

P( X ? 2) ? 0.42 ? 0.16, 1 P( X ? 3) ? C2 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.63 ? 0.408,
1 P( X ? 4) ? C3 0.4 ? 0.62 ? 0.432.

分布列为:

EX ? 2? 0.16 ? 3? 0.408 ? 4? 0.432 ? 3.272.
18.(本题满分 13 分) 解:(Ⅰ证明:因为 DE⊥平面 ABCD, 所以 DE⊥AC. 因为 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD, 从而 AC⊥平面 BDE.

???????????12 分

???????????4 分

(Ⅱ)因为 DA,DC,DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60° , 即∠DBE=60° , ED 所以 = 3. DB 因为正方形 ABCD 的边长为 3,所以 BD=3 2,

所以 DE=3 6,AF= 6. 则 A(3,0,0),F(3,0, 6),E(0,0,3 6),B(3,3,0),C(0,3,0), 所以 BF =(0,-3, 6), EF =(3,0,-2 6), 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ?

??? ?

??? ? ?n· =0, BF ?-3y+ 6z=0, 则? ??? 即? ? ?3x-2 6z=0, EF ?n· =0,
令 z= 6,则 n=(4,2, 6).

??? ? ??? ? ??? ? CA n· 6 13 ? 所以 cos〈n, CA 〉= ??? = = . 26×3 2 13 |n|| CA |

因为 AC⊥平面 BDE,所以 CA 为平面 BDE 的一个法向量, CA =(3,-3,0),

??? ?

因为二面角为锐角,所以二面角 F-BE-D 的余弦值为 (Ⅲ)点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0). 则 AM =(t-3,t,0), 因为 AM∥平面 BEF, 所以 AM · n=0, 即 4(t-3)+2t=0,解得 t=2.

13 . ???????9 分 13

???? ?

???? ?

1 此时,点 M 坐标为(2,2,0),BM=3BD,符合题意. ??????????13 分 19.(本题满分 12 分)

(Ⅱ)因为 an ? n ,则 S n ? 所以

n(n ? 1) , 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) . ???10 分 S n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2( [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? ) ? 2 . ?12 分 S1 S 2 Sn 2 2 3 n n ?1 n ?1

20.(本题满分 12 分)
2 x2 ? y ? 1,(a ? b ? 0) 2 b2 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 a ,由已知得 b ? 1 .

设右焦点为 (c,0) ,由题意得

c ? 2 2 ? 3,? c ? 2. 2

???????????2 分

?a ? b ? c ? 3 .
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 ? 椭圆的方程为 3 .

????????4 分

21.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)

1 f ' ( x) ? ln x ? 1( x ? 0), 令f ' ( x) ? 0, 得x ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分 e 1 1 ?当x ? (0, )时, f ' ( x) ? 0,当x ? ( ,?? )时, f ' ( x) ? 0 e e 1 1 1 1 ?当x ? 时, f ( x) min ? ln ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4分 e e e e
(Ⅱ)
F ( x) ? ax 2 ? ln x ? 1( x ? 0). 1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 x x (1)当a ? 0时, 恒有F ' ( x) ? 0, F ( x)在(0,??)上是增函数; ????? 6分 ? F ' ( x) ? 2ax ? (2)当a ? 0时, 令F ' ( x) ? 0, 得2ax 2 ? 1 ? 0, 解得0 ? x ? ? 令F ' ( x) ? 0得2ax 2 ? 1 ? 0, 解得x ? ? 1 ; ? ? ? ? ? 7分 2a

1 .?????? 8分 2a 综上 : 当a ? 0时, F ( x)在(0,??)上是增函数; 当a ? 0时, F ( x)在(0, ? 在( ? 1 )上单调递增, 2a

1 ,??)上单调递减.?????????? 9分 2a

(Ⅲ)
证:k ? 要证x1 ? f ' ( x2 ) ? f ' ( x1 ) ln x2 ? ln x1 ? . x2 ? x1 x2 ? x1 1 x2 ? x1 ? x2 , 即证x1 ? ? x2 , k ln x2 ? ln x1

x2 ?1 x x 等价于1 ? 1 ? 2 ,?????10分 x2 x1 ln x1 令t ? x2 t ?1 , 则只要证1 ? ? t, x1 ln t

由t ? 1知 ln t ? 0, 故等价于证 ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1)(*)???11分

(1)设g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1), 1 则g ' (t ) ? 1 ? ? 0(t ? 1). t 故g (t )在[1,??)上是增函数。 ?当t ? 1时, g (t ) ? t ? 1 ? ln t ? g (1) ? 0, 即t ? 1 ? ln t (t ? 1).?????????12分 (2)设h(t ) ? t ln t ? (t ? 1)(t ? 1), 则h ' (t ) ? ln t ? 0(t ? 1), 故h(t )在[1,??)上是增函数, ?当t ? 1时, h(t ) ? t ln t ? (t ? 1) ? h(1) ? 0, 即t ? 1 ? t ln t (t ? 1). 由(1)(2)知(*)成立,得证.????????14分

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