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河南省许昌高中2010-2011学年上学期高二年级12月月考数学试卷(文科)


河南省许昌高中 2010-2011 学年上学期高二年级 12 月月考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、若△ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形 C、一定是钝角三角形 D、以上都有可能 2、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a +c -b = 3 ac,则角 B 的值为 A、
2 2 2

? 6

B、

? 3

C、

? 5? 或 6 6

D、

? 2? 或 3 3

3、在数列{an}中,a1=2,an+1=an+Ln(1+ A、2+Lnn B、2+(n-1Lnn

1 ),则 an= n
D、1+n+Lnn

C、2+nLnn

4、设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A、-11 B、-8
x y

S5 = S2
D、11

C、5

5、设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3, a+b=2 3 ,则

1 1 ? 的最大值 x y

A、2

B、

3 2 3 5

C、1

D、

1 2 1 5

6、若一个椭圆的长轴、短轴长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 A、

4 5

B、

C、

2 3

D、

7、中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为 A、 6
2

B、 5

C、

6 2

D、

5 2

8、已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段的 中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A、x=1 B、x=-1 C、x=2 D、x=-2 9、已知双曲线 9y -m x =1 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 A、1 10、x=2R ? + B、2 C、3 D、4
2 2 2

1 ,则 m= 5

? (R∈z)是 tanx=1 成立的 4

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 11、已知命题 p: ? x∈R,sinx≤1,则
1

A、 P: ? x∈R, sinx≥1 C、 P: ? x∈R, sinx>1 12、已知椭圆
?

?

? B、 P: ? x∈R, sinx≥1 ? D、 P: ? x∈R, sinx>1

x2 y2 ? =1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x a2 b2

轴,直线 AB 交 y 轴于点 P,若 AP ? 2 BP (应为 PB),则离心率为 A、

3 2

B、

2 2

C、

1 3

D、

1 2

二、填空(每小题 5 分,共 30 分)

? 2 sin 2 x ? 1 13、设 x∈(0, ),则函数 y= 的最小值为 2 sin x
14、等差数列的公差 d<0,且 a 1 =a 11 则数列的前 n 项和为 Sn 取得最大值时的项数 n= 15、点 A(x0,y0)在双曲线
2 2

x2 y2 ? ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离为 2x0,则 4 32

x0= 2 16、已知 F 是抛物线 C:y =4x 的焦点,A、B 是抛物线上的点,线段 AB 的中点 M 为(2,2), 则△ABF 的面积 三、解答题(共 70 分) 17、(10 分)在△ABC 中,C-A= (1)求 sinA 的值 (2)设 AC= 6 ,求△ABC 的面积

1 ? ,sinB= 3 2

18、(12 分)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16 若数列{an}和{bn}满足等式:an= ①求数列{an}的通项公式 ②求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

b b1 b2 b3 + 2 + 3 +…+ n (n 为正整数) 2 2 2 2n

2

19、(12 分)已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设 cn= (1)数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论; (2)设数列|ln an|,|1n bn|的前 n 项和分别为 Sn,Tn. 若 a1=2, 的前 n 项和.

bn (n∈N*). an

Sn n . 求数列{cn} ? Tn 2n ? 1

20、(12 分)如图,已知椭圆

x2 y2 2 2 ? 2 =1(a>b>0)过点(1, ),离心率为 , 2 2 2 a b

左、右焦点分别为 F1、F2. 点 P 为直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D,O 为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2, 证明:

1 3 ? =2; k1 k 2

21、(12 分)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向准线 l 作垂线,垂足分别为 M1、N1. (1)求证:FM1⊥FN1; (2)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1 的面积分别为 S1、S2、S3,试判断 S 2 2 =4S1S3 是否成立,并证 明你的结论.

2

22、(12 分)已知双曲线 C 的中心是原点,右焦点为 F( 3 ,0),一条渐近线 m:x+ 2 y=0, 设过点 A(-3 2 ,0)的直线 l (1)求双曲线 C 的方程; (2)若过原点的直线 a∥l,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 k 的值; (3)证明:当 k>

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2
参考答案
3

一、选择 1、C 2、A 3、A 4、A 5、C 6、B 7、D 8、B 9、D 10、A 11、C 12、D 二、填空 13、 3 14、5 或 6 15、2 16、2

17、解①由 C-A=

? ? 得 2A= -B 2 2
2

∴0<A<

? 4

故 cos2A=sinB 即 1-2sin A=

1 3

则 sinA=

3 3 6 3
sin A AC=3 2 sin B

②由①得 cos2A=

又由正弦定理,故 BC=

所以 S△ABC=

1 1 AC·BC·sinC= AC·BC·sinA=3 2 2 2

18、解:①由等差数列的性质得 a2+a7=a3+a6 ∴?

?a3 a6 ? 55 ?a3 ? a6 ? 16
2

由韦达定理知 a3,a6 是方程 x -16x+55=0 的根, 解方程得 x=5 或 x=11 由 d>0,∴a3=5,a6=11,∴d=2 a1+a3-2d=5-4=1 故 an=2n-1 ②令 an=

bn ,则有 an=c1+c2+…+cn 2n

an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 an+1-an=cn+1 由①得 a1=1, an+1-an=2 ∴cn+1=2, cn=2 (n≥2) bn= ?

?2 ?2
n ?1

n ?1 n?2

当 n=1 时,S1=b1=2
4

当 n≥2 时,Sn=b1+b2+…+bn=2+ ∵当 n=1 时,上式也成立 n+2 ∴Sn=2 -6

b2 (1 ? 2 n ?1 ) n+2 =2 -6 1? 2

19、解析(1){cn}是等比数列.(2 分) 证 明 : 设 {an} 的 公 比 为 q1(q1 > 0) , {bn} 的 公 比 为

q2(q2 > 0) , 则

cn?1 bn?1 a n bn?1 a q · · n ? 2 ≠0,故{cn}为等比数列.(5 分) ? ? cn an?1 bn bn a n?1 q1
( 2 ) 数 列 {1n an} 和 {1n bn} 分 别 是 公 差 为 1n q1 和 1n q2 的 等 差 数 列 . 由 条 件 得

n(n ? 1) 1nq1 2 ln a1 ? (n ? 1) ln q1 n n 2 = ,即 .(7 分) ? n(n ? 1) 2n ? 1 2 ln b1 ? (n ? 1) ln q2 2n ? 1 n1nb1 ? 1nq2 2 n1na1 ?
故对 n=1,2,…,(2lnq1-1nq2)n +(4lna1-1nq1-2lnb1+1nq2)n+(2lna1-1nq1)=0.
2

?2 ln q1 ? ln q 2 ? 0, ? 于是 ?4 ln a1 ? ln q1 ? 2 ln b1 ? ln q 2 ? 0, ?2 ln a ? ln q ? 0. 1 1 ?
将 a1=2 代入得 q1=4, q2=16, b1=8.(10 分) 从而有 cn=

8 ? 16n ?1 n 2 n 4 n =4 . 所以数列{cn}的前 n 项和为 4+4 +…+4 = (4 -1).(12 分) n ?1 3 2?4
c 1 1 2 2 2 ? 1, ? ),e= . 所以 2 ? . 2 a a 2b 2 2 2

20、解析(1)因为椭圆过点(1, 又 a =b +c , 所以 a= 2 ,b=1, c=1.
2 2 2

(2)(i)证明:方法一:由于 F1(-1,0)、F2(1,0),PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,且点 P 不在 x 轴上. 所以 k1≠k2,k1≠0,k2≠0. 又直线 PF1,PF2 的方程分别为 y=k1(x+1),y=k2(x-1),

k1 ? k 2 ? ?x ? k ? k ? 2 1 联立方程解得 ? ? y ? 2k1 k 2 ? k 2 ? k1 ?
所以 P (

k1 ? k 2 2k1 k 2 , ). k 2 ? k1 k 2 ? k1

5

因此 2k1k2+3k1-k2=0,即 方法二:设 P(x0,y0), 则 k1=

1 1 ? ? 2 ,结论成立. k1 k 2

y0 y0 , k2= , x0 ? 1 x0 ? 1

因为点 P 不在 x 轴上,所以 y0≠0. 又 x0+y0=2, 所以

1 3 x0 ? 1 3( x 0 ?1) ? ? ? ? k1 k 2 y0 y0

21、解析(1)证法一:由抛物线的定义得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|. ∴∠MFM1=∠MM1F,∠NFN1=∠NN1F. 如图,设准线 l 与 x 轴的交点为 F1. ∵MM1∥NN1∥FF1, ∴∠F1FM1=∠MM1F,∠F1FN1=∠NN1F. o 而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠NFN1=180 , o 即 2∠F1FM1+2∠F1FN1=180 , o ∴∠F1FM1+∠F1FN1=90 , o 即∠M1FN1=90 ,故 FM1⊥FN1. 证法二:依题意,焦点为 F(

p p ,0),准线 l 的方程为 x=- . 2 2 p p ,则有 M1(- ,y1), 2 2

设点 M,N 的坐标分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 MN 的方程为 x=my+

N1(-

p ,y2), FM1 =(-p,y1), FN1 =(-p,y2). 2

p ? 2 2 ? x ? m y ? , 得y ? 2m py? p ? 0. 由? 2 ? y 2 ? 2 px ?
于是,y1+y2=2mp,y1y2=-p . ∴ FM1 · FN1 =p +y1y2=p -p =0,故 FM1⊥FN1. (2)S 2 =4S1S3 成立,证明如下: 证法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2), 直线 l 与 x 轴的交点为 F1,则由抛物线的定义得 |MM1|=|MF|=x1+
2
2 2 2 2

p p , |NN1|=|NF|=x2+ . 于是 2 2

6

S1=

1 1 p ·|MM1|·|F1M1|= (x1+ )|y1|, 2 2 2 1 1 ·|M1N1|·|FF1|= p|y1-y2|, 2 2 1 1 p ·|NN1|·|F1N1|= (x2+ )|y2|, 2 2 2 1 2 p|y1-y2|) 2

S2=

S3=

∵S 2 2 =4S1S3 ? (

=4 ×

1 1 1 2 p p 2 (x1+ )|y1| · (x2+ ) · |y2| ? p [(y1+y2) - 4y1y2]= 2 2 4 2 2

p p2 [x1x2+ (x1+x2)+ ]·|y1y2|. 2 4

p ? x1 ? m y1 ? , ? ? y1 ? y 2 ? 2m p, ? 2 将? 与? 代入上式化简可得 2 ? x ? m y ? p ? y1 y 2 ? ? p 2 2 ? 2 ?
p (m p +p )=p (m p +p ),此式恒成立. 故 S 2 2 =4S1S3 成立.
2 2 2 2 2 2 2 2

22、解析(1)设双曲线 C 的方程为 x -2y =λ (λ >0), ∴λ +

2

2

? x2 2 =3,解得λ =2. 双曲线 C 的方程为 -y =1. (4 分)[来源:Z#xx#k.Com] 2 2

(2)直线 l:kx-y+3 2 k=0,直线 a:kx-y=0.由题意, 得

| 3 2k | 1? k 2

? 6 ,解得 k=±

2 .(8 分) 2

(3)证法一:设过原点且平行于 l 的直线 b: kx-y=0,则直线 l 与 b 的距离 d=

3 2|k| 1? k
2



当 k>

2 时,d> 6 .(12 分) 2

又双曲线 C 的渐近线为 x± 2 y=0, ∴双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, ∴双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 . 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 年级 高二 学科 数学 版本
7

期数

内容标题

河南省许昌高中 2010-2011 学年上学期高二年级 12 月月考数学试卷 (文科) (通 用版)

分类索引号 G.622.46 分类索引描述 统考试题与题解 主题词 河南省许昌高中 2010-2011 学年上学期高二年级 12 栏目名称 名校题库 月月考数学试卷(文科)(通用版) 供稿老师 录入 一校 二校 审稿老师 审核

8


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