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上海市杨浦区2016届高三数学上学期期末质量调研试题 文


杨浦区 2015 学年度第一学期期末高三年级 3+1 质量调研 数学学科试卷(文科)
2016.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
? 1 0? ?2 4 ? 1. 已知矩阵 A ? ? ?,B?? ? ,则 A ? B ? ? ?1 2 ? ? 1 ?3 ?



2. 已知全集 U=R,集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 ,则集合 ? U A ? ___________________. 3. 已知函数 f ? x ? ? log3 ?

?

?

?4 ? ? 2 ? ,则方程 f ?1 ? x ? ? 4 的解 x = _____________. ?x ?

4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要白布 _________平方米.
开始

5.无穷等比数列 ?an ? ( n ? N )的首项 a1 ? 1 ,公比 q ?
*

1 , 3

S=0

则前 n 项和 Sn 的极限 lim S n =___________.
n ??

k=1 是

6. 已知虚数 z 满足 2z ? z ? 1 ? 6i ,则 z ? ___________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的 S 的值为 8. 1 ? .
k>2016 否 S=S+ 1 k(k+1) 输出S

?

3

x 展开式中 x 的系数为_________________.

?

8

9.学校有两个食堂,现有 3 名学生前往就餐,则三个人在 同一个食堂就餐的概率是_________.
k=k+1 结束

10 . 若 数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5的 标 准 差 为 2 , 则 数 3a1 ? 2, 3 a2 ? 2, 3 a3 ? 2, a 34 ? 2,a 3 2标准差 5? 的 为 .

11.如图,在矩形 OABC 中,点 E、F 分别在线段 AB、BC 上,

C

F

B E A

??? ? ??? ? ??? ? 且满足 AB=3AE,BC=3CF,若 OB ? ? OE ? ? OF (? , ? ? R ) ,
则 ? ? ? ? ________________.

O

1

? x 2 ? 4 x ? 3, x ≤ 0 ? 12.已知 f ? x ? ? ? 2 ,当 x ? ?? 2, 2? 时不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 恒成立,则实数 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

a 的最小值是_____



13.抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为

? 的直线 l 交抛物线于点 4

A, B ,若 AB ? 8 ,则抛物线 C 的方程为_________________.
14. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f

? x? ?

2 ,当 x?0 时, x

f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 7 个不同的公共点,则实
数 k 的取值范围为_________________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 下列四个命题中,为真命题的是 A. 若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2
2 2 C. 若 a ? b ,则 a ? b

( B. 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ,则

).

16. 设a, b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

? ?

? 6

? ”是“| a ? b |? 1 ”的 3

1 1 ? a b



).

D.既不充分也不必要条件 ( )

17.对于平面 ? 和两条直线 m, n , 下列命题中真命题是 A. 若 m ? ? , m ? n , 则 n‖? B. 若 m‖ ? , n‖? , 则 m‖ n C. 若 m, n 与 ? 所成的角相等, 则 m‖ n D. 若 m ? ? , m‖ n , 且 n 在平面 ? 外, 则 n‖?

?

18.下列函数中,既是偶函数,又在 ?0, ? ? 上递增的函数的个数是 ① y ? tan x A. 1个 B. ② y ? cos?? x ? 2个

( ④ y ? cot



?? ? ③ y ? sin? x ? ? 2? ? C. 3 个 D. 4 个

x 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
2

写出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 . 如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。已知金 字塔的每一条棱和边都相等。 (1) 求证:直线 AC 垂直于直线 SD ; (2) 若搭边框共使用木料 24 米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
S

C

D

B

A

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 . 某农场规划将果树种在正方形的场地内。 为了保护果树不被风吹, 决定在果树的周围种松树。 在 下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:

n=1

n=2

n=3

n=4

= 果树 = 松树
(1)按此规律,n = 5 时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量 a n ,及松树数量 b n 关 于 n 的表达式 (2)定义: f (n ? 1) ? f (n )

?n ? N ?为 f (n) 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增
*

加的速度会更快?并说明理由

3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 如图,在一条景观道的一端有一个半径为 50 米的圆形摩天轮 O,逆时针 15 分钟转一圈,从 A 处进 入摩天轮的座舱, OA 垂直于地面 AM ,在距离 A 处 150 米处设置了一个望远镜 B .(1)同学甲打 算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱 5 分钟后,在座舱内向其母亲 挥手致意,而其母亲则在望远镜 B 中仔细观看。问望远镜 B 的仰角 ? 应调整为多少度?(精确到 1 度) (2) 在同学甲向其母亲挥手致意的同时, 同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带 BD , 发现取景的视角 ? 恰为 45 ? ,求绿化带 BD 的长度(精确到 1 米)

C O ?

? M A D B

4

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分 如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 :

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1? b ? c ? 0 ? 组成, 和椭圆 : T ? ? 2 a 2 b2 b2 c 2

当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”. (1) 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为

?

?

2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2

(2) 对于题(1)中的求猫眼曲线 ? ,任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线与该曲线相交,交 椭圆 T1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N ,求证:

k OM 为与 k 无关的定值; k ON

(3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线, 且交椭圆 T1 于点 A, B ,N 为椭圆 T1 上的任意一点 (点

N 与点 A, B 不重合),求 ?ABN 面积的最大值.

y

o

x

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 已知函数 f ?x ? (x ? D) ,若存在常数 T(T>0),对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? ,则称 函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数

5

(1)判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由 (2)证明 g?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的 ( 3 )若 f ?n ? (n ? N* ) 是 2 倍周期函数, f ?1? ? 1 , f ?2? ? ?4 , Sn 表示 f ?n ? 的前 n 项和,

?1? ?4?

x

Cn ?

S2n ,求 lim C n n ?? S2 n ?1

文科评分参考 一、 1. ? ? 填空题

?3 4 ? ? ? ? 0 - 1?
7.

2.

? ??, ?1? ? ?2, ???
8. ?56 9.

3.1

4. 16?

5.

3 2

6. 5

2016 2017
2

1 4

10.6

11.

3 2

12.4

13. y ? 4x

14. ( 2 2 ? 2 , 2 6 ? 4 )

二、选择题 15.C 16.A 17.D 18.A 三、解答题 19.(本题 12 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分) 解:(1)如图,连接 AC , BD 交于点 O ,则 O 为线段 BD 中点, 在正方形 ABCD 中,对角线 AC ? BD 在 ?ASC 中,? SA ? SC ,? SO ? AC
C D
6

(2 分)

S

B

A

? SO ? BD ? O ,? AC ? 平面 SBD

(2 分) (2 分) (2 分)

? AC ? SD
(2)边长为 3 米

? 2? 3 2 ? 棱锥的高 SO ? 1 ? ? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?
2

2

(2 分)

? V?

1 2 3 2 9 2 立方米 ?3 ? ? 3 2 2
9 2 立方米填充材料. 2

(2 分)

答:需要

20.(本题 14 分,第一小题 6 分,第二小题 8 分) (1)n = 5 时果树 25 棵,松树 40 棵 (2 分) (2 分) (2 分)
2

an ? n2

b n ? 8n
(2) a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? n 2 ? 2n ? 1

(2 分) (2 分) (2 分) (2 分)

b n ?1 ? b n ? 8?n ? 1? ? 8n ? 8
当 n ? 3 时,2n+1 < 8 松树增加的速度快 当 n ? 4 时,2n+1 > 8 果树增加的速度快

21.(本题 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分,) (1)? 逆时针 15 分钟转一圈,

C O

? 5 分钟转过 120? ,
过点 C 作 CH ? AB 于点 H ,

(2 分)

? M A D B

则 CH ? 50 ? 50 ? sin ?120? ? 90?? ? 75 , (2 分)

BH ? 150 ? 50 ? cos ?120? ? 90?? ? 150 ? 25 3

(2 分)

? tan ? ?

CH 75 3 6? 3 6? 3 ,?? ? arctan ? 35? ? ? ? 11 BH 150 ? 25 3 2 3 ? 1 11

(2 分)
7

答:望远镜的仰角 ? 设置为 35 ? (2)在 ?BCD 中, ? ? 35?, ? ? 45? ,??CDH ? 80? (2 分)

CH 75 ? sin 80? sin 80? BD CD ? 由正弦定理得: sin ? sin ? CD ? sin ? 75 ? sin 45? ? BD ? ? ? 94 sin ? sin 80? ? sin 35? ? CD ?
答:绿化带的长度为 94 米.

(2 分) (2 分)

22.(本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) (1) b ?

2 ,? a ? 2, c ? 1,

(2 分)

?T1 :

x2 y 2 y2 ? ? 1 , T2 : ? x 2 ? 1; 4 2 2

(2 分)

(2)设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ?

? x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ?4 2 由? 2 ,得 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4
? k 存在且 k ? 0 ,? x1 ? x2 ,且 x 0 ? 0 ?
1 y1 ? y2 y0 1 ? ? ? ,即 k ? k OM ? ? 2 x1 ? x2 x0 2

(2 分)

(2 分)

同理, k ? k ON ? ?2

?

k OM 1 ? 得证 k ON 4
2x ? m

(2 分)

(3)设直线 l 的方程为 y ?

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b

?

?

? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2c 2

8

l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2

(2 分)

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

?

?

? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2a 2
l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2a 2
两平行线间距离: d ? (1 分)

b2 ? 2c2 ? b2 ? 2a 2 3

(1 分)

? AB ?

2 3ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2a 2

(1 分)

ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2c 2 ? b2 ? 2a 2 1 ? ?ABN 的面积最大值为 S ? AB ? d ? 2 b 2 ? 2a 2
注:若用第一小题结论,算得:

?

?

(1 分)

AB ?

?8 2 ?

2

? 4?5? 4

5

?

4 3 5

d?

10 ? 2

? 2?

2

? ? ?1?

?
2

10 ? 2 3

1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 ?ABN 的面积最大值为 S ? ? ? ? 2 5 5 3
23.(本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 解:(1) 设: h?x ? T ? ? T ? h?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立

得3分

(2 分) (2 分)

? T 无解

? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数

(2) 设: g?x ? T ? ? T ? g?x ?

?1? 则 ? ? ? 4?

x ?T

?1? ? T?? ? ? 4?

x

对任意 x 恒成立

(2 分)

?1? ? ? ?T ? 4?
下证唯一性:

T

T?

1 2

(2 分)

9

1 若T ? 2 , 1 若T ? 2 ,

?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1

T

1

矛盾

矛盾

? T?

1 是唯一的 2

(2 分)

(3) f ?3? ? f ?1 ? 2? ? 2f ?1? ? 2

f ?5? ? f ?3 ? 2? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7? ? f ?5 ? 2? ? 2f ?5? ? 23
??

f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n-1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1
同理: f ?2? ? f ?4? ? f ?6? ? ? ? f ?2n? ? ?4 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

(2 分)

?

n ?1

? ? ?4?2

n

? 1 (2 分)

?

? S2n ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1

?

?
n

同理: S2n ?1 ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 ? 3

(2 分)

S2 n 3 2n ? 1 Cn ? ? n S2 n ?1 2 ?3

?

?

n ??

lim C n ? 3

(2 分)

10


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