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吉林一中2010--2011学年度上学期期末考试高一数学试卷命题范围:必修一、必修二

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吉林一中 2010--2011 学年度上学期期末考试

高一数学试卷
第Ⅰ卷 命题范围:必修一、必修二 一、选择题 1 . 设 集 合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {2,3, 4} , 则 CU ( A ? B) = ( ) B. {1, 4,5} C. {4,5}
1 ,则 2011

A. {2,3}

D. {1,5}

2.若 a ? log2009 2010 , b ? log2011 2010 , c ? log 2010 ( ) A. a ? b ? c B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

3.直线 x ? y ? 2 ? 0截圆x 2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对圆心角为 ( ) ? ? ? 2? A. B. C. D. 3 6 3 2 4.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线 共有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 5.函数 y ? a x?2 ? 1(a ? 0 且 a ? 1) 的图象必经过点 A. (0,1) ( ) B. (1,1) D. (2,2) C .( 2 , 0 )

6.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1 ? 面A1B1C1 ,正视 图是边长为 2 的正方形,该三棱柱的侧视图面积为 ( ) A. 4 B. 2 3 C. 2 2 D. 3

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7.已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1) ,点 M 在 z 轴上且到 A、B 两点的距离 相等,则点 M 的坐标为 ( ) A. (-3,0,0) B. (0,-3,0) C. (0,0,-3) D. (0,0,3) 8.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何几的三视图如下图所示, 则搭成该几何体需要的小正方体的块数是 ( )

A.8

主视图 B.7

C.6 俯视图

D.5 左视图

9.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0及x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则 圆 C 的方程为 ( A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 10.设 ?、? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若平面 ? 内的直线 l 垂直于平面 ? 内的任意直线,则 ?⊥? ② 若平面 ? 内的任一直线都平行于平面 ?,则 ?//? ③ 若平面 ? 垂直于平面 ?,直线 l 在平面 ? 内,则 l⊥? ④ 若平面 ? 平行于平面 ?,直线 l 在平面 ? 内,则 l//? 其中正确命题的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 11.若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0(m, n ? R) 将圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 分成两段相等 的弧,则 m+n 等于 ( ) A.-2 B.-1 )

C.1

D.2
A

12.如图,设平面 a ? b ? EF, AB ? a, CD ? a, 垂足 为 B , D ,且 AB ? CD .如果增加一个条 能推出 BD ? EF ,给出四个条件:
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分别 件就

b
C

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B D E

a

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① AC ? b ; ② AC ? EF ;

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③ AC 与 BD 在 b 内的正投影在同一条直线上 ; ④ AC 与 BD 在平面 b 内的正投影所在的直线交于一 点. 那么这个条件不可能是 ... A.①② C.③ 二、填空题 13.若将下面的展开图恢复成正方体,则 ?ABC 的度数为 ( ) B.②③ D.④ .

14.已知点 A(1,-1) ,点 B(3,5) ,点 P 是直线 y ? x 上动点,当|PA|+|PB|的 值最小时,点 P 的坐标是 15.设函数 f ( x) ? .

1 2 10 4x ,那么 f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) 的值为________. x 11 11 11 4 ?2

16.有 6 根木棒,已知其中有两根的长度为 3cm 和 2cm ,其余四根的长度均 为 1cm , 用 这 6 根 木 棒 围 成 一 个 三 棱 锥 , 则 这 样 的 三 棱 锥 体 积 为 __________ cm3 . 三、解答题 17.已知△ABC 的三个顶点分别为 A(2,3),B(-1,-2) ,C(-3,4) ,求 (1)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (2)△ABC 的面积。
e?x a ? ? x 是定义在 R 上的函数 18.设 f ( x) ? a e

(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)当 a=1 时,试研究 f(x)的单调性

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19.如图所示,已知 PA ? 矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点。 (1)求证: MN / / 平面 PAD; (2)求证: MN ? CD ;

20.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切. (I)求圆 C 的方程; (II)过点 Q(0,-3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) , 当 x1 x2 ? y1 y 2 ? 3 时,求△AOB 的面积. 21. 随着机构改革工作的深入进行, 各单位要减员增效, 有一家公司现有职员 2a 人(140<2a<420,且 a 为偶数 ) ,每人每年可创利 10 万元.据评估,在 经营条件不变的前提下,...x 人, 若裁员 则留岗职员每人每年多创利 0.1x 万元, .... 但公司需付下岗职员每人每年 4 万元的生活费,并且该公司正常运转情况 下, 所裁人数不超过 50 人, 为获得最大的经济效益, 该公司应裁员多少人?

22.已知⊙ O : x 2 ? y 2 ? 1和定点A(2,1), 由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ, 切点为 Q,且满足 | PQ |?| PA | . (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径最小值时⊙P 的方 程。

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参考答案
一、选择题 1.B;提示:按集合的交、并、补运算处理即可;
1 2011 3.D 【解析】根据圆心距、半径、弦的一半构成的直角三角形,容易得出劣弧 2? 所对圆心角为 。 3 4.B【解】根据题意可知,所求直线必不与任何坐标轴平行,可设直线方程为 y

2.A;提示:显然 log2009 2010 >1> log2011 2010 > log 2010

=kx+b,即 kx-y+b=0,所以 d1 ?

|k ?2?b| k ?1
2

? 1, d 2 ?

| 3k ? 1 ? b | k 2 ?1

? 2,

4 5 k 解之得 k=0 或 k ? ? , ? , 所以所求直线方程为 y=3 或 4x+3y-5=0, 3 3 所以符合题意的直线有两条。

5.D

当 x=2 时,y= a 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2, 故函数过点(2,2)

6.B 侧视图也是矩形,一边长为 2,另一条边为 3 ,所以面积为 2 3 ,选择 B。 7.C 根据 z 轴上点的特点可知:设 M(0,0,z) ,再根据空间中两点之间的距 离公式可以求得。 8.C;提示:通过三视图可得该几何体底面为十字形,最左侧的为双层; 9.C 根据已知验证由于圆心在直线 x+y=0 上,所以只有 A、C 满足题意,由于 圆心所在直线与圆的两条切线垂直,所以直线 x+y=0 与两切线的交点应该 在圆上,只有 C 满足。 10.B ①②④正确,③错,故选 B 11.D 直线将圆分成等弧可得直线过圆心,将圆心坐标(2,1)代入可得:m+ n=2. 12.D 根据线面垂直的判断知: 条件①②③都能够判断 BD ? EF 垂直。只有④不能 够判断。
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二、填空题 13.60°【解析】把图形复原后,连接三点恰好构成一个等边三角形,所以为 60°。 14. (2,2) 【解析】根据已知条件知:连接 AB 与直线 y=x 相交,交点即为所求 P 点,直线 AB 方程为:y=3x-4,与 y=x 联立,求得 P(2,2) k k 15、5 由原函数易知 f ( ) ? f (1 ? ) ? 1, (1 ? k ? 5) ,因此可 11 11 以得出结果。 16.
2 . 12

由题意知该几何体如图所示, SA=SB=SC=BC=1, AB ? 2 , AC ? 3 , 则 ?ABC ? Rt ? , AC 中点 O, 取 连接 SO、 由已知可解得 SO ? OB, 又 SB=1,所以 ?SOB ? Rt ? ,
1 2 1 2 所以 SO ? 底面 ABC, 所以 V ? ? ? ? . 3 2 2 12
1 3 , OB ? 2 2

三、解答题 17.解: )由已知得 BC 中点 D 的坐标为 D(?2,1) , (Ⅰ ∴中线 AD 所在直线的方程是 即 x ? 2y ? 4 ? 0 (Ⅱ )∵ BC ? (?1 ? (?3)) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 10 , 直线 BC 的方程是 3x ? y ? 5 ? 0 , 点 A 到直线 BC 的距离是 d ? ∴△ ABC 的面积是 S ?
| 3? 2 ? 3 ? 5 | 3 ?1
2 2

y ? 1 x ? (?2) ? , 3 ? 1 2 ? (?2)

?

14 10

1 BC ? d ? 14 . 2

18. (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域是 R,所以 f(-x)=-f(x)对任 意 x 都成立,即
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1 e?x a e?x a ? ?x ? ? ( ? ? x ) ,整理得 (a ? )( e x ? e ? x ) ? 0 , a a a e e

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即a ?

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1 ? 0 ,即 a 2 ? 1 ? 0 ,显然该方程无解,所以 f(x)不可能是奇函数。 a

(2)当 a=1 时, f ( x) ? e x ? e ? x ,以下讨论其单调性; 任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = e x1 ? e ? x1 ? e x2 ? e ? x2 ?
(e x1 ? e x2 )(e x1 ? x2 ? 1) , e x1 ? e x2

其中 e x1 ? e x2 ? 0 , e x1 ? e x2 ? 0 ,当 e x1 ? x2 ? 1 ? 0 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,f(x)为减函数,
此时需要 x1 ? x2 ? 0 ,即增区间为 [0,??) ,反之 (??,0] 为减函数,即函数在 区间 [0,??) 上是增函数,在 (??,0] 上为减函数。 19.证明: (1)取 PD 的中点 E,连接 AE、EN,则由于 EN 与 AM 平行且相等, 故 AMNE 为平行四边形,所以 MN//AE。 P 因为 AE ? 平面 PAD, MN ? 平面 PAD,所以 MN//平面 PAD。 E (2)因为 PA ? 矩形 ABCD 所在平面,所以 PA ? AB 。 又 AD ? AB ,所以 AB ? 平面 PAD。 N A 所以 AB ? AE ,即 AB ? MN 。又 CD//AB, M 所以 MN ? CD 。 B
C

D

20.解: (I)设圆心为 C(a,0)(a ? 0),则圆C的方程为 x ? a) 2 ? y 2 ? 4 , ( 因为圆 C 与 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切, 所以

| 3a ? 4 | 32 ? 4 2

? 2,即 | 3a ? 4 |? 10 ,
14 (舍去) , 3

解得 a ? 2或a ? ?

所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4. (II)显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 ,

? y ? kx ? 3 由? 得(1 ? k 2 ) x 2 ? (4 ? 6k ) x ? 9 ? 0 , 2 2 ?( x ? 2) ? y ? 4
∵直线 l 与圆相交于不同两点
? ? ? (4 ? 6k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, 解得 k ?
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5 , 12

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设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则
x1 ? x 2 ?

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4 ? 6k 9 , x1 x 2 ? , 2 1? k 1? k 2



y1 y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ,

已知x1 x2 ? y1 y 2 ? 3. 即(1 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 6 ? 0,
将①代入并整理得 k 2 ? 4k ? 5 ? 0 , 解得 k = 1 或 k =-5(舍去) , 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 3. 圆心 C 到 l 的距离 d ?

| 2?3| 2

?

2 , 2

在?ACB中, | AB |? 2 ? 2 2 ?

1 ? 14, 2 3 2 ? 3 2 , 2

原点O到直线l的距离,即?AOB底边AB上的高h ?
1 1 3 2 3 7 | AB | ?h ? ? 14 ? ? . 2 2 2 2

? S ?AOB ?

22.解: (1)连 OP,
? Q 为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有

| PQ |2 ?| OP |2 ? | OQ |2

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由已知 | PQ |?| PA |, 故 | PQ |2 ?| PA |2 即: (a 2 ? b 2 ) ? 12 ? (a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b=-2a+3 。

6 4 | PQ |? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a 2 ? 12 a ? 8 ? 5(a ? ) 2 ? . 5 5
6 2 2 5 ,即线段 PQ 长的最小值为 5 故当 a ? 时, | PQ | min ? 5 5 5

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