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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(16)

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (16)
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.命题“任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为__________. 2.若集合 A={x|y= },B={y|y=x +2},则 A∩B=__________.
2 2

3.对于函数 y=f(x) ,“y=f(x)是奇函数”是“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”的__________ 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)

4.函数若

,则 f(x)的定义域是__________.

5.要得到函数 y=cos2x 的图象,需将函数 y=sin(2x+ 个单位.

)的图象向左至少平移__________

6. 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a5=3a2, 若 S6=λa5, 则 λ=__________. 7.已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + ,若 ⊥ 则实数

k 的值为__________. 8.函数 y= x﹣sinx,x∈[0,2π]的单调增区间为__________.

9.已知函数 y=x + (a∈R)在 x=1 处的切线与直线 2x﹣y+1=0 平行,且此切线也是圆 x +y +mx﹣(3m+1)y=0 的切线,则 m=__________. 10.设函数 f(x)=2sin( x+ ) (﹣2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 + ? =__________.
2 2

2

l 与函数 f(x)的图象交于另外两点 B,C.O 是坐标原点,则(

11.若函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2)=0,则不 等式 xf(x+1)<0 的解集为__________.

12.在△ ABC 中,已知

,sinB=cosA?sinC,S△ ABC=6,P 为线段 AB 上的点,且 ,则 xy 的最大值为__________.

13.正项数列{an}满足 a1=1,a2=2,又{

}是以 为公比的等比数列,则使得不等式

>2013 成立的最小整数 n 为__________.

14.若△ ABC 的内角 A、B,满足

=2cos(A+B) ,则 tanB 的最大值为__________.

二、解答题(共 3 小题,满分 40 分) 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b=4, (1)求 a +c 的值; (2)求函数 f(B)=
2 2 2

?

=8.

sinBcosB+cos B 的值域.

16. (16 分)已知等比数列{an}的公比 q>1,前 n 项和为 Sn,S3=7,a1+3,3a2,a3+4 成等 * 差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 A={a1,a2,…,a10},B={b1,b2,…,b40},C=A∪B,求集合 C 中所有元素之和. 17.已知函数 f(x)=x ﹣x﹣ (Ⅰ)判断 的单调性;
3



(Ⅱ)求函数 y=f(x)的零点的个数; (Ⅲ)令 g(x)= 值范围. +lnx,若函数 y=g(x)在(0, )内有极值,求实数 a 的取

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷(16)

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.命题“任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为“存在 x∈R,有 x <0”. 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到命题的否定. 解答: 解:∵全称命题的否定是特称命题, ∴命题“任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为:“存在 x∈R,有 x <0”. 2 故答案为:“存在 x∈R,有 x <0”. 点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的 否定是全称命题即可得到结论.
2 2 2 2 2

2.若集合 A={x|y=

},B={y|y=x +2},则 A∩B=[2,+∞) .

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:化简集合 A,B,注意代表元素,然后进行交集运算. 解答: 解:因为 A={x|y= },B={y|y=x +2},
2

则 A={x|x≥1},B={y|y≥2} 所以 A∩B=B; 故答案为:[,2,+∞) . 点评:本题考查了集合的化简以及运算;注意代表元素的属性是解答的关键. 3.对于函数 y=f(x) ,“y=f(x)是奇函数”是“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”的充分不必要 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据函数奇偶性的图象特点以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若 y=f(x)是奇函数,则设 g(x)=|f(x)|, 则 g(﹣x)=|f(﹣x)|=|﹣f(x)|=|f(x)|=g(x) , 则 g(x)是偶函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,即充分性成立, 2 若 f(x)=x ,满足 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,但 f(x)不是奇函数,即必要性不成 立, 故“y=f(x)是奇函数”是“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要 点评:本题主要考查函数的奇偶性的判断,根据奇函数的图象特点是解决本题的关键.

4.函数若

,则 f(x)的定义域是



考点:对数函数的定义域. 专题:计算题. 分析:由函数的解析式可得 的定义域. 解答: 解:∵函数 , >0,化简可得 0<2x+1<1,由此求得 f(x)



>0,

∴0<2x+1<1,解得﹣ <x<0, 故答案为 .

点评:本题主要考查求函数的定义域,对数不等式的解法,属于基础题.

5.要得到函数 y=cos2x 的图象,需将函数 y=sin(2x+

)的图象向左至少平移

个单位.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:y=cos2x=sin(2x+ 至少平移 个单位, )+ ]=sin(2x+ )=cos2x 的图象, ) , ﹣ = ,把将函数 y=sin(2x+ )的图象向左

可得函数 ysin[2(x+ 故答案为: .

点评:本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,统一这两个 三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题. 6.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5=3a2,若 S6=λa5,则 λ=4. 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设出等差数列的首项和公差,由已知得到首项和公差的关系,代入 S6=λa5 求得 λ 值. 解答: 解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由 a5=3a2,得 a1+4d=3(a1+d) ,即 d=2a1, 由 S6=λa5,得 即 36a1=9λa1, ∴λ=4. ,

故答案为:4. 点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题. 7.已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + ,若 ⊥ 则实数

k 的值为 .

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知得 解答: 解:∵ ∴ = =k﹣2﹣(2k﹣1)cos =k﹣2+ 解得 k= . 故答案为: . 点评:本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理 运用. 8.函数 y= x﹣sinx,x∈[0,2π]的单调增区间为( =0, =( ﹣2 =( , ﹣2 ) (k + )=k﹣2+ ﹣2 =0,由此能求出 k= . , =k + , ⊥ ,

是夹角为 + )

的两个单位向量, =

) (k



) .

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析:先求出函数的导数,令导函数大于 0,解出即可. 解答: 解:∵y′= ﹣cosx, 令 y′>0,即 cosx< , 解得: <x< , , ) .

故答案为: (

点评:本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题.

9.已知函数 y=x + (a∈R)在 x=1 处的切线与直线 2x﹣y+1=0 平行,且此切线也是圆 x +y +mx﹣(3m+1)y=0 的切线,则 m=
2 2

2



考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析:求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件可得 a,求得切点,求出切 线方程,求出圆的圆心和半径,应用直线与圆相切则 d=r,由点到直线的距离公式,列出方 程,解出 m 即可. 解答: 解:∵函数 y=x + (a∈R)在 x=1 处的切线与直线 2x﹣y+1=0 平行, ∴f′(1)=2, 由于 f′(x)=2x﹣ ,
2

即 f′(1)=2﹣a=2,解得 a=0, 函数 y=x , 则切点为(1,1) ,切线方程为:y﹣1=2(x﹣1) , 即 2x﹣y﹣1=0, 由于圆 x +y +mx﹣(3m+1)y=0 的圆心为(﹣ ,
2 2 2

) ,半径为



由直线与圆相切得, 化简,解得 m= 故答案为: . .

=



点评:本题考查导数的应用:求切线方程,考查直线与圆相切的条件,考查运算能力,属于 中档题.

10.设函数 f(x)=2sin(

x+

) (﹣2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 + ? =32.

l 与函数 f(x)的图象交于另外两点 B,C.O 是坐标原点,则(

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:常规题型;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析:先画出函数 f(x)=2sin( x+ )在﹣2<x<10 上的图象,通过图象分析出点 A

是 B、C 的中点,然后根据向量的运算法则进行运算.

解答: 解:做出函数 f(x)=2sin(

x+

)在﹣2<x<10 上的图象如图:

由图象可知:图象关于点 A 对称,所以点 A 是点 B 与点 C 的中点 ∴ ∴( + + =2 ? =2| | =2×4 =32.
2 2

故答案为 32. 点评:本题考查了三角函数的图象与性质及向量的运算,解题的关键是通过画图分析出 A 点是 B、C 的中点. 11.若函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2)=0,则不 等式 xf(x+1)<0 的解集为(0,1)∪(﹣3,﹣1) . 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2) =0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(﹣2)=﹣f(2)=0, ∴当 x>2 或﹣2<x<0 时,f(x)>0,当 x<﹣2 或 0<x<2 时,f(x)<0, (如图) 则不等式 xf(x+1)<0 等价为 或 ,













解得 0<x<1 或﹣3<x<﹣1, 故不等式的解集为(0,1)∪(﹣3,﹣1) , 故答案为: (0,1)∪(﹣3,﹣1)

点评: 本题主要考查不等式的解集, 利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

12.在△ ABC 中,已知

,sinB=cosA?sinC,S△ ABC=6,P 为线段 AB 上的点,且 ,则 xy 的最大值为 3.

考点:三角函数中的恒等变换应用;平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:由条件求得 bccosA=9, bcsinA=6,tanA= ,可得 c=5,b=3,a=4,以 AC 所在的直 线为 x 轴, 以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C (0, 0) , A (3, 0) , B (0, 4) . 设 = , = ,则 =(x,y) ,可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12,利用基本不等

式求解最大值. 解答: 解: △ ABC 中, 设 AB=c, BC=a, AC=b, ∵sinB=cosA?sinC, sin (A+C) =sinCcosnA, 即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA. ∴sinAcosC=0,∵sinA≠0,∴cosC=0,C=90°. ∵ =9,S△ ABC=6,∴bccosA=9, bcsinA=6,∴tanA= .

根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= ,bc=15,∴c=5,b=3,a=4. 以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C(0,0) ,A(3, 0) ,B(0,4) . P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 设 = , = ,则| |=| =λ +(1﹣λ) =(1,0) , =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1) . =(0,1) .

|=1,且

∴ 12=4x+3y≥2

=(x,0)+(0,y)=(x,y) ,可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12, ,解得 xy≤3,

故所求的 xy 最大值为:3. 故答案为 3. 点评:本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公 式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解把已知所给的 是一个单位向量,从

而可用 x,y 表示

,建立 x,y 与 λ 的关系,解决本题的第二个关键点在于由 x=3λ,y=4

﹣4λ 发现 4x+3y=12 为定值,从而考虑利用基本不等式求解最大值,属于中档题. 13.正项数列{an}满足 a1=1,a2=2,又{ }是以 为公比的等比数列,则使得不等式

>2013 成立的最小整数 n 为 6.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由{ }是以 为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式可得

=

=

.化为

,可得

=

=2 =

﹣2

.因此:数列{a2n﹣1}是以 a1=1 为首项, 为公比的等

比数列,可得 a2n﹣1;数列{a2n}是以 a2=2 为首项, 为公比的等比数列,可得 a2n. 解答: 解:∵a1=1,a2=2,∴ 又{ = .

}是以 为公比的等比数列,



=

=





,∴

=

=2 =

﹣2


2﹣

∴数列{a2n﹣1}是以 a1=1 为首项, 为公比的等比数列,∴
2n

=2

.∴



数列{a2n}是以 a2=2 为首项, 为公比的等比数列,∴
2n

=2

3﹣

.∴ =
﹣1

∴ =+(2 +2+2 +…+2 = + . ∴由不等式
3

…+ ) = = =

2n﹣3

>2013?
11

,化为



∵2 =1024,2 =2048. ∴2n>10,解得 n>5. 因此使得不等式 >2013 成立的最小整数 n=6.

10

故答案为 6. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 分奇数和偶数项分别为等比数列 的数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法,属于难题. 14.若△ ABC 的内角 A、B,满足

=2cos(A+B) ,则 tanB 的最大值为



考点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:由 A 和 B 为三角形的内角,确定出 C 为钝角,利用诱导公式及三角形的内角和定理 化简已知等式的左边, 利用两角和与差的正弦函数公式化简, 再利用同角三角函数间的基本 关系化简,得到 tanC=﹣3tanA,将 tanB 利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan (A+C) ,利用两角和与差的正切函数公式化简,变形后利用基本不等式求出 tanB 的范围, 即可得到 tanB 的最大值. 解答: 解:∵sinA>0,sinB>0, ∴ =﹣2cosC>0,即 cosC<0,

∴C 为钝角,sinB=﹣2sinAcosC, 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC,即 cosAsinC=﹣3sinAcosC, ∴tanC=﹣3tanA, ∴tanB=﹣tan(A+C)=﹣ =﹣ = ≤ = ,

当且仅当

=3tanA,即 tanA=

时取等号,

则 tanB 的最大值为 故答案为: .



点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦、正切函数公式,以及基 本不等式的运用,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键,本题考察了转化思想,属于中 档题. 二、解答题(共 3 小题,满分 40 分) 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b=4, (1)求 a +c 的值; (2)求函数 f(B)=
2 2 2

?

=8.

sinBcosB+cos B 的值域.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)利用平面向量的数量积运算法则化简
2 2

?

=8,再利用余弦定理列出关系式,

将化简结果及 b 的值代入计算即可求出 a +c 的值; (2)由基本不等式求出 ac 的范围,根据 accosB=8 表示出 cosB,由 ac 的范围求出 cosB 的 范围,进而利用余弦函数性质求出 B 的范围,f(B)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数 公式化简,整理为一个角的正弦函数,由 B 的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值 域即可确定出 f(B)的范围. 解答: 解: (1)∵
2 2 2

?

=8,∴accosB=8,
2 2

由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣16, ∵b=4, ∴a +c =32; 2 2 (2)∵a +c ≥2ac, ∴ac≤16, ∵accosB=8, ∴cosB= ≥ ,
2 2

∵B∈(0,π) , ∴0<B≤ ∵f(B)= ∵ <2B+ , sinBcosB+cos B= ≤ ,
2

sin2B+ (1+cos2B)=sin(2B+

)+ ,

∴sin(2B+

)∈[ ,1],

则 f(B)的值域为[1, ].

点评:此题考查了正弦、 余弦定理, 平面向量的数量积运算, 二倍角的正弦、 余弦函数公式, 以及正弦函数的值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 16. (16 分)已知等比数列{an}的公比 q>1,前 n 项和为 Sn,S3=7,a1+3,3a2,a3+4 成等 * 差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 A={a1,a2,…,a10},B={b1,b2,…,b40},C=A∪B,求集合 C 中所有元素之和. 考点:等比数列的通项公式;集合的相等;并集及其运算;等差数列的通项公式;等比数列 的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式即可得出; (2)利用“n=1 时 b1=T1;n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1”和“累乘求积”即可得出. (3)利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式可得 S10,T10,又 A 与 B 的公共元素为 1, 4,16,64,其和为 85.即可得出集合 C 中所有元素之和. 解答: 解: (1)∵S3=7,∴a1+a2+a3=7, ∵a1+3,3a2,a3+4 成等差数列,∴6a2=a1+3+a3+4, 联立可得 ,解得 .




*

(2)∵6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N .当 n≥2 时,6Tn﹣1=(3n﹣2)bn﹣1+2,b1=1. ∴6bn=(3n+1)bn﹣(3n﹣2)bn﹣1, 化为 .

∴bn= =



?

?…?

=3n﹣2.

(3)





∵A 与 B 的公共元素为 1,4,16,64,其和为 85. ∴C=A∪B,集合 C 中所有元素之和为 1023+2380﹣85=3318. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式、 利用“n=1 时 b1=T1; n≥ 2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1”、“累乘求积”、集合运算等基础知识与基本技能方法,属于难题. 17.已知函数 f(x)=x ﹣x﹣ (Ⅰ)判断 的单调性;
3



(Ⅱ)求函数 y=f(x)的零点的个数; (Ⅲ)令 g(x)= 值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的 最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)化简 ,并求导数,注意定义域: (0,+∞) ,求出单调区间; 在(1,2)内有零点,再说明 f(x)在(0,+∞)上 +lnx,若函数 y=g(x)在(0, )内有极值,求实数 a 的取

(Ⅱ)运用零点存在定理说明

有且只有两个零点; 2 (Ⅲ)对 g(x)化简,并求出导数,整理合并,再设出 h(x)=x ﹣(2+a)x+1,说明 h(x) =0 的两个根,有一个在(0, )内,另一个大于 e,由于 h(0)=1,通过 h( )>0 解出 a 即可. 解答: 解: (Ⅰ)设 φ(x)= 则 φ'(x)=2x+ >0, =x ﹣1﹣
2

(x>0) ,

∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增; (Ⅱ)∵φ(1)=﹣1<0,φ(2)=3﹣ ∴φ(x)在(1,2)内有零点, 又 f(x)=x ﹣x﹣ =x?φ(x) ,显然 x=0 为 f(x)的一个零点, ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点; (Ⅲ)g(x)= +lnx=lnx+ ,
3

>0,且 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,

则 g'(x)=
2

=



设 h(x)=x ﹣(2+a)x+1, 则 h(x)=0 有两个不同的根 x1,x2,且有一根在(0, )内, 不妨设 0<x1< ,由于 x1x2=1,即 x2>e, 由于 h(0)=1,故只需 h( )<0 即可, 即 ﹣(2+a) +1<0,解得 a>e+ ﹣2,

∴实数 a 的取值范围是(e+ ﹣2,+∞) . 点评:本题主要考查导数在函数中的综合运用:求单调区间,求极值,同时考查零点存在定 理和二次方程实根的分布,是一道综合题.