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河北省衡水市故城高中2015-2016学年高二上学期开学数学试题 Word版含解析


2015-2016 学年河北省衡水市故城高中高二(上)开学数学试卷
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|﹣3≤x≤0},B={x|﹣1≤x≤3},则 A∩B=( ) A.[﹣1,0] B.[﹣3,3] C.[0,3] D.[﹣3,﹣1] 2.下列图象表示函数图象的是( )

A.

B.

C.

D.

3.函数 A. (﹣5,+∞) B.[﹣5,+∞)
a b a

的定义域为( C. (﹣5,0)

) D. (﹣2,0)

4.已知 a>b>0,则 3 ,3 ,4 的大小关系是( ) a b a b a a b a a a a b A.3 >3 >4 B.3 <4 <3 C.3 <3 <4 D.3 <4 <3 5.函数 f(x)=2 ﹣3 零点所在的一个区间是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
x

6.已知函数

,则

的值是(



A.

B.9

C.﹣9 D.﹣

7.已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y=5 B.4x﹣2y=5 C.x+2y=5 D.x﹣2y=5



8.在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为( A.y=﹣x+2 B.y=﹣x﹣2 C.y=x+2 D.y=x﹣2 9.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面



10.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC, 则四面体 P﹣ABC 中共有( )个直角三角形.

A.4

B.3

C.2

D.1 )

11.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π,那么圆柱的体积等于( A.π B.2π C.4π D.8π 12.在圆 x +y =4 上,与直线 4x+3y﹣12=0 的距离最小的点的坐标是( A. ( ) B. ( C. (﹣ ) D.
2 2



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 , , ,则 与 夹角的度数为 .

14.如果一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是



15.设函数 f(x)=(2a﹣1)x+b 是 R 上的减函数,则 a 的范围为 16.已知点 A(a,2)到直线 l:x﹣y+3=0 距离为 ,则 a= .



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分) (2013?淄博模拟) (1)已知 tanα=3,求 sin α+ cos α 的值. (2)已知 =1,求 的值.
2 2

18. (12 分) (2014 秋?安龙县校级期末)如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分 别为 AB、PC 的中点; (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:MN⊥CD.

19. (12 分) (2015?重庆校级模拟)已知函数 (1)f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明.

(a>0 且 a≠1)

20. (12 分) (2004?天津)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

21. (12 分) (2010 秋?安庆期末)已知圆:x +y ﹣4x﹣6y+12=0. (1)求过点 A(3,5)的圆的切线方程; (2)点 P(x,y)为圆上任意一点,求 的最值.

2

2

22. (12 分) (2014 秋?鹰潭期末)函数 f(x)=2asin x﹣2 值域为[﹣5,1],求 a,b 的值.

2

asinxcosx+a+b,x



2015-2016 学年河北省衡水市故城高中高二(上)开学数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|﹣3≤x≤0},B={x|﹣1≤x≤3},则 A∩B=( ) A.[﹣1,0] B.[﹣3,3] C.[0,3] D.[﹣3,﹣1] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A=[﹣3,0],B=[﹣1,3], ∴A∩B=[﹣1,0]. 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.下列图象表示函数图象的是( )

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的概念及其构成要素;函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 根据函数的定义可知:对于 x 的任何值 y 都有唯一的值与之相对应.紧扣概念,分 析图象. 解答: 解:根据函数的定义,对任意的一个 x 都存在唯一的 y 与之对应

而 A、B、D 都是一对多,只有 C 是多对一. 故选 C 点评: 本题主要考查了函数图象的读图能力. 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分 析得出函数的类型和所需要的条件, 结合实际意义得到正确的结论. 函数的意义反映在图象 上简单的判断方法是:做垂直 x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点. 3.函数 的定义域为( )

A. (﹣5,+∞) B.[﹣5,+∞) C. (﹣5,0) D. (﹣2,0) 考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法;指数函数的定义、解析式、定义域和 值域. 专题: 计算题. 分析: 列出使得原函数有意义的条件,解不等式组即可 解答: 解:由题意得: ,解得 x>﹣5

∴原函数的定义域为(﹣5,+∞) 故选 A 点评: 本题考查函数定义域,求函数的定义域,需满足分式的分母不为 0、偶次根式的被 开方数大于等于 0,对数的真数大于 0,0 次幂的底数不为 0.属简单题 4.已知 a>b>0,则 3 ,3 ,4 的大小关系是( ) a b a b a a b a a a a b A.3 >3 >4 B.3 <4 <3 C.3 <3 <4 D.3 <4 <3 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 不妨假设 a=2,b=1,则由 3 =9,3 =3,4 =16,可得结论. a b a b a a 解答: 解:∵a>b>0,不妨假设 a=2,b=1,则由 3 =9,3 =3,4 =16,可得 3 <3 <4 , 故 A、B、D 不正确,C 正确, 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点, 通过给变量取特殊值, 举反例来说明某 个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题.本题也可用指数函数与幂函数的单调 性来比较大小 5.函数 f(x)=2 ﹣3 零点所在的一个区间是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为所求的答案. 解答: 解:∵f(﹣1)= ﹣3<0 f(0)=1﹣3=﹣2<0 f(1)=2﹣3=﹣1<0, f(2)=4﹣3=1>0
x a b a a b a

∴f(1)f(2)<0, ∴函数的零点在(1,2)区间上, 故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用, 属于容易题. 函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解

6.已知函数

,则

的值是(



A.

B.9

C.﹣9 D.﹣

考点: 函数的值. 分析: 由已知条件利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵ ,

∴f( )= ∴

=﹣2, =3 = .
﹣2

故答案为: . 故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用. 7.已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ) A.4x+2y=5 B.4x﹣2y=5 C.x+2y=5 D.x﹣2y=5 考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 先求出中点的坐标,再求出垂直平分线的斜率,点斜式写出线段 AB 的垂直平分线 的方程,再化为一般式. 解答: 解:线段 AB 的中点为 ,kAB= =﹣ ,

∴垂直平分线的斜率 k=

=2,

∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣ =2(x﹣2)?4x﹣2y﹣5=0, 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂直的性质, 线段的中点坐标公式, 以及用直线方程的点斜式求直 线方程的求法. 8.在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为( A.y=﹣x+2 B.y=﹣x﹣2 C.y=x+2 D.y=x﹣2 )

考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题. 分析: 由直线的倾斜角求出直线的斜率,再由在 x 轴上的截距为 2,得到直线与 x 轴的交 点坐标,即可确定出所求直线的方程. 解答: 解:根据题意得:直线斜率为 tan135°=﹣1,直线过(2,0) , 则直线方程为 y﹣0=﹣(x﹣2) ,即 y=﹣x+2. 故选 A 点评: 此题考查了直线的截距式方程,以及倾斜角与斜率的关系,是一道基本题型. 9.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用两个平面平行的判定定理判断即可. 解答: 解:对于 A,一个平面内的一条直线平行于另一个平面,这两个平面可能相交. 对于 B,一个平面内的两条直线平行于另一个平面,如果这两条直线平行,则这两个平面可 能相交. 对于 C,一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,如果这无数条直线平行,则这两个平 面可能相交. 对于 D, 一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面, 满足平面与平面平行的判定定理, 所以正确. 故选:D. 点评: 本题考查平面与平面平行的判定定理的应用,基本知识的考查. 10.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC, 则四面体 P﹣ABC 中共有( )个直角三角形.

A.4 B.3 C.2 D.1 考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC, 能推导出 BC⊥平面 PAB.由此能求出四面体 P﹣ABC 中有多少个直角三角形. 解答: 解:在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°, P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC, ∴BC⊥PA,BC⊥AB, ∵PA∩AB=A,

∴BC⊥平面 PAB. ∴四面体 P﹣ABC 中直角三角形有△ PAC,△ PAB,△ ABC,△ PBC. 故选 A. 点评: 本题考查直线与平面垂直的性质的应用, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意等价转化思想的灵活运用. 11.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π,那么圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4π D.8π 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 设出圆柱的高,通过侧面积,求出圆柱的高与底面直径,然后求出圆柱的体积. 解答: 解:设圆柱的高为:h,轴截面为正方形的圆柱的底面直径为:h, 因为圆柱的侧面积是 4π, 2 所以 h π=4π,∴h=2,所以圆柱的底面半径为:1, 2 圆柱的体积:π×1 ×2=2π. 故选 B. 点评: 本题考查圆柱的侧面积与体积的计算,考查计算能力,基础题. 12.在圆 x +y =4 上,与直线 4x+3y﹣12=0 的距离最小的点的坐标是( A. ( ) B. (
2 2 2 2



C. (﹣



D.

考点: 点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系. 分析: 在圆 x +y =4 上,与直线 4x+3y﹣12=0 的距离最小的点,必在过圆心与直线 4x+3y ﹣12=0 垂直的直线上,求此线与圆的交点,根据图象可以判断坐标. 解答: 解:圆的圆心(0,0) ,过圆心与直线 4x+3y﹣12=0 垂直的直线方程:3x﹣4y=0, 它与 x +y =4 的交点坐标是(
2 2

) ,

又圆与直线 4x+3y﹣12=0 的距离最小, 所以所求的点的坐标( 故选 A. ) .图中 P 点为所求;

点评: 本题考查点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系,直线的截距等知识,是中档 题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 , , ,则 与 夹角的度数为 120° .

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 值,求出夹角的度数. 解答: 解:∵ ∴ ?( + )=0, ∴ + ? =0, , , , ,得 ?( + )=0,求出 ? 的值,从而得出 与 夹角的余弦

即 1+1×2cosθ=0, ∴cosθ=﹣ , 又∵θ∈[0°,180°], ∴θ=120°, 即 与 夹角为 120°; 故答案为:120°. 点评: 本题考查了平面向量的数量积的运算问题,是基础题. 14.如果一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 先判断三视图复原的结合体的形状,上部是正四棱锥,下部是正方体,确定棱长, 可求结合体的表面积. 解答: 解:三视图复原的结合体,上部是正四棱锥,底面棱长为 4, 高为 2,下部是正方体,底面棱长为 4, 所以结合体的表面积是:5×4 +
2

=80+16

故答案为:80+16 点评: 本题考查三视图求结合体的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.

15.设函数 f(x)=(2a﹣1)x+b 是 R 上的减函数,则 a 的范围为



考点: 一次函数的性质与图象. 专题: 计算题. 分析: 根据一次函数的单调性知,当一次项的系数 2a﹣1<0 时在 R 上是减函数,求出 a 的范围. 解答: 解:∵f(x)=(2a﹣1)x+b 是 R 上的减函数, ∴2a﹣1<0,解得 故答案为: . .

点评: 本题考查了一次函数的单调性, 即一次项的系数大于零时是增函数, 一次项的系数 小于零时是减函数. 16.已知点 A(a,2)到直线 l:x﹣y+3=0 距离为 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ ,则 a= 1 或﹣3. .

点到直线的距离公式. 直线与圆. 利用点到直线的距离公式即可得出. 解:∵点 A(a,2)到直线 l:x﹣y+3=0 距离为 ,化为|a+1|=2,∴a+1=±2.



解得 a=1 或﹣3. 故答案为:1 或﹣3. 点评: 本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (10 分) (2013?淄博模拟) (1)已知 tanα=3,求 sin α+ cos α 的值. (2)已知 =1,求 的值.
2 2

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用 sin α+cos α=1,把问题转化为求 角函数的基本关系求得答案.
2 2

的值,进而利用三

(2 利用 sin α+cos α=1, , 把问题转化为求 函数的基本关系,求得答案. 解答: 解: (1) sin α+ cos α= (2)由 =1 得 tanα=2,
2 2

2

2

的值, 利用三角

=

=

= .

=

=

=

= .

点评: 本题主要考查了利用三角函数的同角三家函数的基本关系, 化简求值. 考查了学生 综合运用基础知识的能力和知识迁移能力. 18. (12 分) (2014 秋?安龙县校级期末)如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分 别为 AB、PC 的中点; (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:MN⊥CD.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取的 PD 中点为 E,并连接 NE,AE,根据中位线可知 NE∥CD 且 AM∥CD 且 ,则 AM∥NE 且 AM=NE,从而四边形 AMNE 为平行四边形,所以 ,

AE∥MN,又因 AE?在平面 PAD,MN?在平面 PAD,根据线面平行的判定定理 MN∥平面 PAD. (Ⅱ) 根据 PA⊥矩形 ABCD 则 PA⊥CD, 又因四边形 ABCD 为矩形则 AD⊥CD, 从而 CD⊥ 平面 PAD,又因 AE?在平面 PAD,根据线面垂直的性质可知 CD⊥AE,根据 AE∥MN,可 知 MN⊥CD.

解答: 证明: (Ⅰ)取的 PD 中点为 E,并连接 NE.AE, ∵M、N 分别为 AB、PC 的中点 ∴NE∥CD 且 ,AM∥CD 且 ,

∴AM∥NE 且 AM=NE ∴四边形 AMNE 为平行四边形,∴AE∥MN 又∵AE?平面 PAD,MN?平面 PAD, . ∴MN∥平面 PAD(4 分) (Ⅱ)证明:∵PA⊥矩形 ABCD∴PA⊥CD 又 ∵四边形 ABCD 为矩形∴AD⊥CD ∴CD⊥平面 PAD 又∵AE?在平面 PAD∴CD⊥AE 再∵AE∥MN ∴MN⊥CD

点评: 本小题主要考查直线与平面平行, 以及空间两直线的位置关系等基础知识, 考查空 间想象能力,运算能力和推理论证能力. 19. (12 分) (2015?重庆校级模拟)已知函数 (1)f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 考点: 对数函数的定义域;函数奇偶性的判断. 专题: 综合题. 分析: (1)由 能够得到原函数的定义域. (a>0 且 a≠1)

(2)求出 f(﹣x)和 f(x)进行比较,二者互为相反数,所以 F(x)是奇函数. 解答: 解: (1) ,解得﹣1<x<1,∴原函数的定义域是: (﹣1,1) .

(2)f(x)是其定义域上的奇函数. 证明: ,

∴f(x)是其定义域上的奇函数. 点评: 本题考查对数函数的性质和应用,解题时要注意对数函数的不等式.

20. (12 分) (2004?天津)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

考点: 直线与平面垂直的判定; 直线与平面平行的判定; 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: 法一: (1)连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO 要证明 PA∥平面 EDB,只需证明 直线 PA 平行平面 EDB 内的直线 EO; (2) 要证明 PB⊥平面 EFD, 只需证明 PB 垂直平面 EFD 内的两条相交直线 DE、 EF, 即可; (3)必须说明∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角,然后求二面角 C﹣PB﹣D 的大小. 法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a. (1)连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG,求出 (2)证明 EF⊥PB, (3)求出 ,即可证明 PA∥平面 EDB;

,即可证明 PB⊥平面 EFD; ,利用 ,求二面角 C﹣PB﹣D

的大小. 解答: 解:方法一: (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△ PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, 所以,PA∥平面 EDB (2)证明: ∵PD⊥底面 ABCD 且 DC?底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△ PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE.②

由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD. (3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角. 由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 则 在 Rt△ PDB 中, . , .

在 Rt△ EFD 中,

,∴



所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为



方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a. (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG. 依题意得 ∵底面 ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 . ∴ ,这表明 PA∥EG. . 且

而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,∴PA∥平面 EDB. (2)证明;依题意得 B(a,a,0) , 又 ,故 . .

∴PB⊥DE. 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD.

(3)解:设点 F 的坐标为(x0,y0,z0) , 从而 x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a.所以

,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a) .



由条件 EF⊥PB 知,

,即

,解得

∴点 F 的坐标为

,且



∴ 即 PB⊥FD,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角. ∵ ,且 ,









. .

所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为

点评: 本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象 能力和推理论证能力. 21. (12 分) (2010 秋?安庆期末)已知圆:x +y ﹣4x﹣6y+12=0. (1)求过点 A(3,5)的圆的切线方程; (2)点 P(x,y)为圆上任意一点,求 的最值.
2 2

考点: 圆的切线方程;圆方程的综合应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)先化成圆的标准方程求出圆心和半径,然后对过点 A 分斜率存在和不存在两 种情况进行讨论. 当斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径求出 k 的值, 进而可得到切 线方程. (2)设 =k 得到 y=kx,然后转化为求满足条件的直线斜率的最值问题,又有当直线与圆相 切时可取得最大与最小值,从而可得到答案. 解答: 解: (1)由 x +y ﹣4x﹣6y+12=0 可得到(x﹣2) +(y﹣3) =1,故圆心坐标为(2, 3) 过点 A(3,5)且斜率不存在的方程为 x=3 圆心到 x=3 的距离等于 d=1=r 故 x=3 是圆 x +y ﹣4x﹣6y+12=0 的一条切线; 过点 A 且斜率存在时的直线为:y﹣5=k(x﹣3) ,即:y﹣kx+3k﹣5=0,根据圆心到切线的 距离为半径,可得到: r=1=
2 2 2 2 2 2 2 2

化简可得到:

(k﹣2) =1+k ∴k= . 所以切线方程为:4y﹣3x﹣11=0. 过点 A(3,5)的圆的切线方程为:4y﹣3x﹣11=0,x=3 (2)由题意知点 P(x,y)为圆上任意一点,故可设 =k,即要求 k 的最大值与最小值 即 y=kx 中的 k 的最大值与最小值 易知当直线 y=kx 与圆相切时可取得最大与最小值,此时 d=1= ,整理可得到:3k ﹣12k+8=0
2

得到 k=

或 ,最小值为

∴ 的最大值为

点评: 本题主要考查圆的切线方程、 定点到圆的距离的最值问题. 考查基础知识的综合运 用和计算能力.

22. (12 分) (2014 秋?鹰潭期末)函数 f(x)=2asin x﹣2 值域为[﹣5,1],求 a,b 的值.

2

asinxcosx+a+b,x



考点: 二倍角的余弦; 两角和与差的正弦函数; 二倍角的正弦; 正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为﹣2asin(2x+ 据x ,求得﹣ ≤sin(2x+
2

)+2a+b,根

)≤1.分 a>0 和 a<0 两种情况,根据值域为[﹣5,

1],分别求得 a,b 的值. 解答: 解:∵函数 f(x)=2asin x﹣2 ﹣2asin(2x+ 又x 当 a>0 时,有 当 a<0 时,有 )+2a+b, ,∴ ≤2x+ ≤ ,﹣ ≤sin(2x+ )≤1. asinxcosx+a+b=a(1﹣cos2x)﹣ asin2x+a+b=

,解得 a=2,b=﹣5. ,解得 a=﹣2,b=1.

综上可得,当 a>0 时,a=2,b=﹣5; 当 a<0 时,a=﹣2,b=1. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 正弦函数的定义域和值域, 属于中 档题.


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