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常用逻辑用语专题复习


命题及其关系、充要条件
一、基础梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 句叫真命题, 的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系

的语句叫做命题,其中

的语

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(从逆否命题,谈等价转换) 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难 时,可转化为判断它的逆否命题的真假.这就是常说的“正难则反”. ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的 ,q 是 p 的 ; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的 . 用集合的观点,看充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件,若 A≠B,则 p 是 q 的充分不必要条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件,若 B≠A,则 p 是 q 的必要不充分条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若? A ? B, B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

二、双基自测 1.命题“若实数 a 满足 a≤2,则 a2<4”的否命题是________命题(填“真”“假”之 一). 2 . “x > 1” 是 “x2 > x”的 ________ 条 件 ( 填 “ 充要 ”“ 充 分 不 必 要”“必 要 不 充 分”“既不充分又不必要”之一). 3、在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的 要”“必要不充分”“既不充分又不必要”之一). 4.“α= π 1 ”是“sin α = ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充 6 2 条件(填“充要”“充分不必

要”“既不充分也不必要”). 5.已知 a,b,c 是非零实数,则“a,b,c 成等比数列”是“b= ac”的________条件 (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”之一).

6.给出如下四个命题,其中不正确的命题的个数是________. ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5”的否命题为“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y<5”; ③四个实数 a,b,c,d 依次成等比数列的必要不充分条件是 ad=bc; ④在△ABC 中,“A>45°”是“sin A> 三、题型一、四种命题及其关系 1、设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命 题,并分别判断它们的真假. 2 ”的充分不必要条件. 2

2、 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是________, 命题的否定是

3、 证明:若 m ? n ? 2, 则m ? n ? 2
2 2

题型二、 充分、必要条件和充要条件的判断 1、 设集合 A={x∈R|x-2>0}, B={x∈R|x<0}, C={x∈R|x(x-2)>0}, 则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件. 2、若集合 P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},则“x?P”是“x?Q”的________ 条件.

题型三、充分条件、必要条件的应用
2 2 1、已知 p : 2 x ? 3x ? 2 ? 0, q : x ? 2(a ?1) x ? a(a ? 2) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,

求实数 a 的取值范围。

2、已知: p : 关于 x 的不等式 件,求实数 m 的取值范围。

3? m 3? m ?x? , q : x( x ? 3) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条 2 2

题型四、充要条件的探求 1、 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? p n ? q( p ? 0, p ? 1) , 求数列 ?an ? 是等比数列的充要条件。

四、练习: 1、 (2 x ? 1) x ? 0 是 x ? 0 的 条件;

2 、使得关于 x 的方程 ax2 + 2x + 1 =0 至少有一个负实根的充要条件的 a 的取值范围是 ________. 3、关于 x 的方程 x2-(2a-1)x+a2-2=0 至少有一个非负实根的充要条件是________. 4、使得函数 f ( x) ? x ? a 在区间 ?1,??? 上为增函数的充分不必要条件 5、已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0, l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 ,则 l1 平行于 l 2 的充要条件是 6、 ? ? ? 是曲线 y ? sin(2 x ? ? ) 过坐标原点的 条件 。

7、若 p : x( x ? 3) ? 0, q : 2 x ? 3 ? m ,若 p是q 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是


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