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陕西师大附中2012—2013学年度第一学期期中考试高三(文科)数学试题

陕西师大附中 2012—2013 学年度第一学期 期中考试高三(文科)数学试题
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 P ? ??1, 0,1? , Q ? ? y y ? cos x, x ? R? ,则 P ? Q ? ( A. Q B. P C. ??1,1? D. )

?0,1?


2.已知 p : a ? 2 , q : 直线 x ? y ? 0 与圆 x 2 ? ( y ? a)2 ? 1 相切,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 )

3.已知等差数列 ?an ? a7 ? 2a4 ? ?1 , a3 ? 0 ,则公差 d ? ( , A. ?
1 2

B.2

C.

1 2

D.2 )

? 21? x , x ? 1 4.设函数 f ( x ) ? ? ,则 f ? f (2) ? 的值是( 1 ? log 2 x, x ? 1 ?

A.-1

B. 1

C.-2

D.2

5.已知 m ? 2 ,点 (m ? 1, y1 ), (m. y2 ), (m ? 1, y3 ) 都在二次函数 y ? x 2 ? 2 x 的图像上, 则( ) B. y3 ? y2 ? y1 C. y1 ? y3 ? y2 D. y2 ? y1 ? y3

A.y1 ? y2 ? y3

6.已知函数 y ? 3cos(x ? ? ) ? 2 的图像关于直线 x ? 为( ) A. ?

?
4

对称,则 ? 的一个可能取值

?
2

B.

? 4

C.

3? 4

D. ? )

3? 4

7.函数 y ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 的最大值为( A.-2 B.0 C.2 D.4

1 8.函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x , 若实数 x0 是方程 f ( x) ? 0 的根, 0 ? x1 ? x0 , f ( x1 ) 且 则 3

( ) A.恒为正值 B. 恒为负值 C. 等于 0 D.不大于 0

1

9.设 F1 , F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a 右焦点,P 为直线 x ? 上一点, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 a b 2

?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )
A.
1 2

B.

2 3

C.

? ?

D.

? ?

10.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 是( ) A. (??, ?2) ? ? 4, ?? ?

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则 m 的取值范围 x y

B. (??, ?4) ? ? 2, ?? ?

C. (?2, 4)

D. (?4, 2)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在平面上 “等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值” ,类比猜想在空 间中有 。 。 。

??? ???? ? 12.在△ABC 中,已知 A ? 60? , AB ? AC ? 1 ,则△ABC 的面积为
13.已知 f ( x ? 2012) ? ?4 x 2 ? 4 x ? 3( x ? R) ,则函数 f ( x) 的最大值为

? ? ? ? 14. 设 向 量 a 与 b 满 足 a ? 1, b ?
为 。

? ? ? ? ? 2 , 且 a ? ( a ? b) , 则 向 量 a 与 b 的 夹 角

15.点 P 在抛物线 x 2 ? 4 y 的图像上, F 为抛物线的焦点,点 A(?1,3) ,若使

PF ? PA最小,则相应 P 点的坐标为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分) ?? ?? ? 16. ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 两 个 非 零 向 量 e1 , e2 是 不 共 线 的 向 量 , 若

??? ?? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ? AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3(e1 ? e2 ) ,
(1)求证: A, B, D 三点共线;

?? ?? ?? ? ?? ? (2)试确定实数 k 的值,使 ke1 ? e2 和 e1 ? ke2 是两个平行向量。
17.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 1 (1)证明:数列 ?an ? 1? 为等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。
2

18. (本题满分 12 分) 关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x m ? x ? n, m ? 0? (1)试判断 a, b, c 的符号; (2)求关于 x 的不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集。 19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 ? ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且
a ? 1,b ? 2, cos C ?

1 4

(1)求 ? ABC 的周长 (2)求 cos( A ? C ) 的值 20.(本题满分 13 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知点 A(0, ?1) , B 点在直线
???? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? y ? ?3 上,动点 M 满足: MB ? OA , MA ? AB ? MB ? BA , M 点的轨迹为曲线 C .

(1)求曲线 C 的方程; (2) P 为曲线 C 上动点, l 为曲线 C 在点 P 处的切线,求原点 O 到 l 距离的最小 值. 21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? ax 2 ? b ln x ,曲线 y ? f ( x) 过点 P(1,0) , 且在 P 点处的切斜线率为 2. (1)求 a, b 的值; (2)证明: f ( x) ? 2 x ? 2

3

陕西师大附中 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高三(文科)数学试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1 B 2 A 3 A 4 D 5 A 6 C 7 C 8 A 9 C 10 D

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值。 12.
3 2

13. 4

14.

? 4

1 15. (?1, ) 。 4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分) ???? ??? ? 16. (1)提示:可证 AD ? 6 AB ,即可。 (2) k ? ?1 17. (1)
an ?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 ? ? 2 ,所以 ?an ? 1? 是以 2 为公比的等比数列。 an ? 1 an ? 1

(2)由(1) an?1 ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n ?1 ,所以 an ? 3 ? 2n ?1 ? 1 18.答案为(1) a ? , b ? c0 ( 0 , ? 0
19.解: (Ⅰ)

) (2) (?

1 1 , ? ) (解略) m n

? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?

? c ? 2.

1 ?4 4

??ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
(Ⅱ)

? cos C ?

1 1 15 ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8

4

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

20. 解(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). uuu r uuu r uur u MA =(-x,-1-y) MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 所以 ,

uuu uuu r r uur u MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0. 再由题意可知(
所以曲线 C 的方程式为 y ?

1 2 x ?2 4

1 1 2 1 ' (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) 为曲线 C: y ? x ? 2 上一点,因为 y = 2 x,所以 l 的斜率为 x0 4 2
因此直线 l 的方程为

y ? y0 ?

1 x0 ( x ? x0 ) 2 x x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 2 ,即 0 . y0 ?
.又

d?
则 O 点到 l 的距离

2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

1 2 x0 ? 2 4 ,所以

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4

2 x0

=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

b f ?( x) ? 1 ? 2ax ? . x 21. 解: (I)

? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 即? ? ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2. ,解得 a ? ?1, b ? 3. 由已知条件得
2 (II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x ? 3ln x.
2 3 ( x ? 1)(2 x ? 3) 设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3ln x, 则 g ?( x) ? ?1 ? 2 x ? ? ? x x

当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少.

而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2.

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