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高中数学 幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)


高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习

【第二部分】典例讲解 考点一:幂函数

例 1、比较大小

例 2、幂函数 A.0

,(m∈N),且在(0,+∞)上是减函数,又 B.1 C.2 D.3

,则 m=

解析:函数在(0,+∞)上是减函数,则有 又 ,故为偶函数,故 m 为 1.



例 3、已知幂函数

为偶函数,且在区间

上是减函数.

(1)求函数

的解析式;

(2)讨论

的奇偶性.

∵幂函数在区间 ∴ .又

上是减函数, ∴ 是偶数,∴ ,∴

, 解得 .

, ∵



(2)









时,

是非奇非偶函数;当



时,

是奇函数;





时,

是偶函数;当



时,

奇又是偶函数.

例 4、下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系

(1)

(A),(2)

(F),(3)

(E),(4)

(C),(5)

(D),(6)

(B).

变式训练:

1、下列函数是幂函数的是(



A.y=2x

B.y=2x-1

C.y=(x+1)2

D.y=

2、下列说法正确的是( ) A.y=x4 是幂函数,也是偶函数 B.y=-x3 是幂函数,也是减函数 D.y=x0 不是偶函数

C.

是增函数,也是偶函数

3、下列函数中,定义域为 R 的是( )

A.y=

B.y=

C.y=

D.y=x

-1

4、函数

的图象是(



A.

B. )

C.

D.

5、下列函数中,不是偶函数的是(

A.y=-3x2

B.y=3x2

C. )

D.y=x2+x-1

6、若 f(x)在[-5,5]上是奇函数,且 f(3)<f(1),则( A.f(-1)<f(-3) 7、若 y=f(x) A.(a,-f(a)) B.f(0)>f(1)

C.f(-1)<f(1)

D.f(-3)>f(-5)

是奇函数,则下列坐标表示的点一定在 y=f(x)图象上的是( ) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a ))

8、已知

,则下列正确的是(



A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数

B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

9、若函数 f(x)=x2+ax 是偶函数,则实数 a=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1

10、 已知 f(x)为奇函数, 定义域为

, 又 f(x)在区间

上为增函数,

且 f(-1)=0,则满足 f(x)>0 的 的取值范围是( ) A. B.(0,1) C. D.

11、若幂函数

的图象过点

,则

_____________.

12、函数

的定义域是_____________.

13、若

,则实数 a 的取值范围是_____________.

14、 DACAD ABACD

是偶函数,且在

上是减函数,则整数 a 的值是_____________.

9、 +ax,所以有 a=0.

,函数为偶函数,则有 f(-x)=f(x),即 x -ax=x

2

2

10、奇函数在对称区间上有相同的单调性,则有函数 f(x)在

上单调递增,则当 x<

-1 时,f(x)<0,当-1<x<0 时,f(x)>0,又 f(1)=-f(-1)=0,故当 0<x<1 时,f(x)<0,当 x>1 时,f(x)>0.则满足 f(x)>0 的 .

11、

解析:点

代入



,所以



12、

解:

13、

解析:

,解得



14、解:则有

,又为偶函数,代入验证可得整数 a 的值是 5.

考点二:指数函数
例 1、若函数 y=ax+m-1(a>0)的图像在第一、三、四象限内,则( A.a>1 B.a>1 且 m<0 C.0<a<1 且 m>0 )

D.0<a<1

例 2、若函数 y=4x-3· 2x+3 的值域为[1,7],试确定 x 的取值范围.

例 3、若关于 x 的方程

有负实数解,求实数 a 的取值范围.

例 4、已知函数



(1)证明函数 f(x)在其定义域内是增函数; (2)求函数 f(x)的值域.

例 5、如果函数

(a>0,且 a≠1)在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

例 1、解析:y=ax 的图像在第一、二象限内,欲使其图像在第一、三、四象限内,必须 将 y=ax 向下移动.而当 0<a<1 时,图像向下移动,只能经过第一、二、四象限或第二、 三、四象限.只有当 a>1 时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故 a>1.又 图像向下移动不超过一个单位时,图像经过第一、二、三象限,向下移动一个单位时,

图像恰好经过原点和第一、三象限.欲使图像经过第一、三、四象限,则必须向下平移 超过一个单位,故 m-1<-1,∴m<0.故选 B. 答案:B 例 2、分析:在函数 y=4x-3·2x+3 中,令 t=2x,则 y=t2-3t+3 是 t 的二次函数,由 y ∈[1,7]可以求得对应的 t 的范围,但 t 只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们 可以求出 x 的取值范围. 解答:令 t=2x,则 y=t2-3t+3,依题意有:

∴x≤0 或 1≤x≤2,即 x 的范围是(-∞,0]∪[1,2]. 小结:当遇到 y=f(ax)类的函数时,用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理,再 结合指数函数的性质得到原问题的解. 例 3、分析:求参数的取值范围题,关键在于由题设条件得出关于参数的不等式. 解答:因为方程有负实数根,即 x<0,

所以



解此不等式,所求 a 的取值范围是 例 4、分析:对于(1),利用函数的单调性的定义去证明;对于(2),可用反解法求得函 数的值域.

解答:(1)

,设 x1<x2,则



因为 x1<x2,所以 2x1<2x2,所以 0,

,所以

.又

+1>

+1>0,所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), 故函数 f(x)在其定义域(-∞,

+∞)上是增函数.

(2)设

,则

,因为 102x>0,所以

,解得-1<y<1,所以

函数 f(x)的值域为(-1,1). 例 5、分析:考虑换元法,通过换元将函数化成简单形式来求值域. 解:设 t=ax>0,则 y=t2+2t-1,对称轴方程为 t=-1.

若 a>1,x∈[-1,1],∴t=ax∈

,∴当 t=a 时,ymax=a2+2a-1=14.

解得 a=3 或 a=-5(舍去).

若 0<a<1,x∈[-1,1],∴t=ax∈



∴当

时,

. 解得

(舍去).

∴所求的 a 值为 3 或 .

变式训练:
1、函数 在 R 上是减函数,则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

2、函数

是(



A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

3、函数

的值域是(



A.

B.

C.

D.

4、已知 A.第一象限

,则函数 B.第二象限

的图像必定不经过( C.第三象限

) D.第四象限

5、函数

的定义域为( )

A.

B.

C.

D.

6、函数

,满足 f(x)>1 的 x 的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

7、函数

的单调递增区间是(



A.

B.

C.

D.

8、已知

,则下列正确的是(



A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数

B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

9、函数

在区间

上是增函数,则实数 的取值范围是(



A.

B. )

C.

D.

10、下列说法中,正确的是( ①任取 x∈R 都有 ;

②当 a>1 时,任取 x∈R 都有





是增函数;



的最小值为 1;

⑤在同一坐标系中, A.①②④ B.④⑤

的图象对称于 y 轴. C.②③④ D.①⑤

11、 若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点, 则 a 的取值范围__.

12、函数

的定义域是______________.

13、 不论 a 取怎样的大于零且不等于 1 的实数, 函数 y=ax-2+1 的图象恒过定点________.

14、函数 y=

的递增区间是___________.

15、已知 9x-10· 3x+9≤0,求函数 y=(

)x-1-4(

)x+2 的最大值和最小值.

16、若关于 x 的方程 25-|x+1|-4· 5-|x+1|-m=0 有实根,求 m 的取值范围.

17、设 a 是实数,



(1)试证明对于 a 取任意实数,f(x)为增函数;

(2)试确定 a 的值,使 f(x)满足条件 f(-x)=-f(x)恒成立.

18、已知 f(x)=

(a>0 且

).

(1)求 f(x)的定义域、值域.(2)讨论 f(x)的奇偶性.(3)讨论 f(x)的单调性. 答案及提示:1-10 DADAD DDACB

1、可得 0<a2-1<1,解得

.

2、函数定义域为 R,且

,故函数为奇函数.

3、可得 2x>0,则有 4、通过图像即可判断.

,解得 y>0 或 y<-1.

5、

.

6、由

,由

,综合得 x>1 或 x<-1.

7、即为函数

的单调减区间,由

,可得





,则函数在

上为减函数,故所求区间为

.

8、函数定义域为 R,且

,故函数为奇函数,

又 函数.

,函数

在 R 上都为增函数,故函数 f(x)在 R 上为增

9、可得

.

10、①中当 x=0 时,两式相等,②式也一样,③式当 x 增大,y 减小,故为减函数.

11、0<a<

提示:数形结合.由图象可知 0<2a<1,0<a<

.

12、 13、(2,2) 14、(-∞,1]

提示:由

得 2-3x>2,所以-3x>1,



提示:当 x=2 时,y=a0+1=2.

提示:∵y=(

)x 在(-∞,+∞)上是减函数,而函数 y=x2-2x+2=(x-1)2+1 的递减区间

是(-∞,1] ,∴原函数的递增区间是(-∞,1] . 15、解:由 9x-10·3x+9≤0 得(3x-1)(3x-9)≤0,解得 1≤3x≤9.

∴0≤x≤2,令(

)x=t,则

≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t-

)2+1.

当 t=

即 x=1 时,ymin=1;当 t=1 即 x=0 时,ymax=2.

16、解法一:设 y=5-|x+1|,则 0<y≤1,问题转化为方程 y2-4y-m=0 在(0,1]内有实 根.设 f(y)=y2-4y-m,其对称轴 y=2,∴f(0)>0 且 f(1)≤0,得-3≤m<0. 解法二:∵m=y2-4y,其中 y=5-|x+1|∈(0,1],∴m=(y-2)2-4∈[-3,0).

17、(1)设



即 f(x1)<f(x2),所以对于 a 取任意实数, f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.

(2)由 f(-x)=-f(x)得 18、解:(1)定义域为 R.

,解得 a=1,即当 a=1 时,f(-x)=-f(x).





∴值域为(-1,1).

(2) ∴f(x)为奇函数.



(3)设

,则

当 a>1 时,由

,得



, ∴当 a>1 时,f(x)在 R 上为增函数.

同理可判断当 0<a<1 时,f(x)在 R 上为减函数.

考点三:对数函数

例 1、求函数

的定义域和值域,并确定函数的单调区间.

例 2、已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)(a∈R). (1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

例 3、已知 例 4、已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性;

的最大值和最小值以及相应的 x 值.

(3)求函数 y=f(2x)与 y=f 1(x)的图象交点的横坐标.


例 1 解:由-x2+2x+3>0 ,得 x2-2x-3<0,∴-1<x<3, 定义域为 (-1,3); 又令 g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴当 x∈(-1,3) 时, 0<g(x)≤4.

∴ f(x)≥

=-2 ,即函数 f(x) 的值域为[-2,+∞);
2

∵ g(x)=-(x-1) +4 的对称轴为 x=1.

∴当-1<x≤1 时, g(x) 为增函数,∴ 当 1≤x<3 时, g(x)为减函数,∴ f(x)为增函数.

为减函数.

即 f(x) 在(-1,1] 上为减函数;在 [1,3 )上为增函数.

例 2、分析:令 g(x)=ax +2x+1,由 f(x)的定义域为 R,故 g(x)>0 对任意 x∈R 均成 立,问题转化为 g(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围问题;若 f(x)的值域为 R,则 g(x) 的值域为 B 必满足 B (0,+∞),通过对 a 的讨论即可.

2

解答:(1)令 g(x)=ax2+2x+1,因 f(x)的定义域为 R,∴ g(x)>0 恒成立.



∴函数 f(x)的定义域为 R 时,有 a>1. (0,+∞).

(2)因 f(x)的值域为 R,设 g(x)=ax2+2x+1 的值域为 B,则 B

若 a<0,则 B=(-∞,1-

]

(0,+∞);

若 a=0,则 B=R,满足 B

(0,+∞).

若 a>0,则△=4-4a≥0,∴ a≤1. 综上所述,当 f(x)的值域为 R 时,有 0≤a≤1.

例 3、分析:题中条件

给出了后面函数的自变量的取值范围,而根据

对数的运算性质,可将函数 数在闭区间上的最值问题来求解.

化成关于 log2x 的二次函数,再根据二次函

解答:

当 t=3 时,y 有最大值 2,此时,由 log2x=3,得 x=8.

∴当 x=2

时,y 有最小值-

.

当 x=8 时,y 有最大值 2. 例 4、 分析:题设中既含有指数型的函数,也含有对数型的函数,在讨论定义域,

讨论单调性时应注意对底数 a 进行讨论,而(3)中等价于求方程 f(2x)=f-1(x)的解. 解答:(1)ax-1>0 得 ax>1. ∴当 a>1 时,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 当 0<a<1 时,函数 f(x)的定义域为(-∞,0). (2)令 g(x)=a -1,则当 a>1 时,g(x)=a -1 在(0,+∞)上是增函数. 即对 0<x1<x2,有 0<g(x1)<g(x2), 而 y=logax 在(0,+∞)上是增函数, ∴ logag(x1) <logag(x2),即 f(x1)<f(x2). ∴ f(x)= loga(ax-1)在(0,+∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,g(x)=ax-1 在(-∞,0)上是减函数. 即对 x1<x2<0,有 g(x1)>g(x2)>0. 而 y=logax 在(0,+∞)上是减函数, ∴ logag(x1) <logag(x2),即 f(x1)<f(x2). ∴ f(x)=loga(ax-1)在(-∞,0)上是增函数. 综上所述,f(x)在定义域上是增函数. (3)∵ f(2x)= loga(a2x-1),令 y=f(x)= loga(ax-1), 则 a -1=a ,∴ a =a +1,∴ x= loga (a +1)(y∈R).
x y x y y x x

∴ f (x)= loga (a +1)(x∈R). 由 f(2x)=f-1(x),得 loga(a2x-1)= loga(ax+1). ∴ a2x-1= ax+1,即(ax)2-ax-2=0. ∴ a =2 或 a =-1(舍). ∴ x=loga2. 即 y=f(2x)与 y= f-1(x)的图象交点的横坐标为 x=loga2.
x x

-1

x

变式训练:
一、选择题 1、当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a-x 与 y=logax 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

2、将 y=2x 的图象( ),再作关于直线 y=x 对称的图象,可得函数 y=log2(x+1)和图 象. A.先向左平行移动 1 个单位 C.先向上平行移动 1 个单位 B.先向右平行移动 1 个单位 D.先向下平行移动 1 个单位

3、函数 A.(1,+∞)

的定义域是( )

B.(2,+∞)

C.(-∞,2)

D.(1,2]

4、函数 y=lg(x-1)+3 的反函数 f-1(x)=( ) A.10x+3+1 B.10x-3-1 C.10x+3-1 D.10x-3+1

5、函数

的递增区间是( )

A.(-∞,1)

B.(2,+∞)

C.(-∞,



D.(

,+∞)

6、已知 f(x)=|logax|,其中 0<a<1,则下列各式中正确的是(



A.

B.

C.

D.

7、

是( )

A.奇函数而非偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数而非奇函数 D.既非奇函数也非偶函数

8、已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则下列不等式中正确的是( )

A.

B.

C.

D.

9、函数 f(x)的图象如图所示,则 y=log0.2f(x)的图象示意图为( )

A.

B.

C.

D.

10、关于 x 的方程 A.仅当 a>1 时有唯一解 C.必有唯一解 二、填空题

(a>0,a≠1),则( ) B.仅当 0<a<1 时有唯一解 D.必无解

11、函数

的单调递增区间是___________.

12、函数 ___________.

在 2≤x≤4 范围内的最大值和最小值分别是

13、若关于 x 的方程

至少有一个实数根,则 a 的取值范围是___________.

14、已知 围.

(a>0,b>0),求使 f(x)<0 的 x 的取值范

15、设函数 f(x)=x2-x+b,已知 log2f(a)=2,且 f(log2a)=b(a>0 且 a≠1), (1)求 a,b 的值; (2)试在 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1)的条件下,求 x 的取值范围. 16、已知函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的 点时,点 Q(x-2a,-y)是 y=g(x)图象上的点.

(1)写出 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试求 a 的取值范围. 答案及提示:1-10 DDDDA BBBCC

1、当 a>1 时,y=logax 是单调递增函数, D 正确. ∴应选 D.

是单调递减函数,对照图象可知

2、解法 1:与函数 y=log2(x+1)的图象关于直线 y=x 对称的曲线是反函数 y=2x-1 的图 象,为了得到它,只需将 y=2x 的图象向下平移 1 个单位. 解法 2:在同一坐标系内分别作出 y=2x 与 y=log2(x+1)的图象,直接观察,即可得 D.

3、由

≥0,得 0<x-1≤1,∴ 1<x≤2.

5、应注意定义域为(-∞,1)∪(2,+∞),答案选 A.

6、不妨取

,可得选项 B 正确.

7、由 f(-x)=f(x)知 f(x)为偶函数,答案为 B.

8、由 ab>1,知

,故



,故答案选 B.

10、当 a>1 时,0<

<1,当 0<a<1 时,

>1,

作出 y=ax 与 y=

的图象知,两图象必有一个交点.

11、答案:(-∞,-6) 提示: x2+4x-12>0 ,则 x>2 或 x<-6. 当 x<-6 时, g(x)=x2+4x-12 是减函数,



在(-∞,-6)上是增函数 .

12、答案:11,7

:∵ 2≤x≤4,∴

.

则函数



∴当

时,y 最大为 11;



时,y 最小为 7.

13、答案:(-∞,

]

提示:原方程等价于

由③得

.

∴当 x>0 时,9a≤

,即 a≤

.

又∵ x≠3,∴ a≠2,但 a=2 时,有 x=6 或 x=3(舍).∴ a≤

.

14、解:要使 f(x)<0,即

.

当 a>b>0 时,有 x>



当 a=b>0 时,有 x∈R;

当 0<a<b 时,有 x< 15、解:(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2-x+b,

.

∴(log2a)2-log2a+b=b,解得 a=1(舍去),a=2, 又 log2f(a)=2, ∴log2(a2-a+b)=2,将 a=2 代入, 有 log2(2+b)=2, ∴b=2; (2)由 log2f(x)<f(1)得 log2(x2-x+2)<2, ∴x2-x-2<0,解得-1<x<2, 由 f(log2x)>f(1)得(log2x)2-log2x+2>0, 解得 0<x<1 或 x>2, ∴x∈(0,1).

16、解:(1)设 Q(x′,y′),则 ∵点 P(x,y)在 y=f(x)的图象上,







(2)当 x∈[a+2,a+3]时,有 x-3a>0 且

>0 成立.

而 x-3a≥a+2-3a=2-2a>0,

∴ 0<a<1,且

恒成立.

∴ 0<a<1. 由 |f(x)-g(x)|≤1,即

∴ r(x)=x2-4ax+3a2 在[a+2,a+3]上是增函数. ∴ h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上是减函数. ∴当 x=a+2 时,h(x)max=h(a+2)=loga(4-4a), 当 x=a+3 时,h(x)min=h(a+3)=loga(9-6a).


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