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三角函数综合测试题(含答案)


三角函数综合测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 70 分) 1. sin2100 = A.

3 2

B. -

3 2

C.

1 2

D. -

1 2

2. α 是第四象限角, tan α = ? A. 3. (cos A.-

π

1 5 ? sin

π
12

5 ,则 sin α = 12 1 5 B. ? C. 5 13

D. ?

12
3 2

) (cos

π

12

+ sin
1 2

π

5 13

12

)=
C.
1 2

B.-
3 5

D.

3 2

4. 已知 sinθ= ,sin2θ<0,则 tanθ 等于 A.-
3 4

B.

3 4

C.- 或

3 4

3 4

D.

4 5

5.将函数 y = sin( x ?

π
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再
个单位,得到的图象对应的僻析式是

π
3
B. y = sin( x ? D. y = sin(2 x ?

将所得的图象向左平移

1 x 2 1 π C. y = sin( x ? ) 2 6
A. y = sin 6.

1 2

π
2 )

)

π
6

( tan x + cot x ) cos2 x =
A. tan x B.

sin x

C.

cos x

D. cot x

7.函数 y = A.

sin x ? sin x

的值域是 C. [0,2] D.[ -2 , 0 ]

{0}

B. [ -2 , 2 ]

8.已知 sin α cos α =

1 π ,且 α ∈ (0, ) ,则 sin α +cos α 的值为 8 2
B. -

A.

5 2

5 2

C.

±

5 2

D.

3 2

9. y = (sin x ? cos x) 2 ? 1 是

A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

10.在 (0,2π ) 内,使 sin x > cos x 成立的 x 取值范围为 A. (

π π

5π , ) U (π , ) 4 2 4

B. (

π
4

,π )

C. (

π 5π
4 , 4

)

D. (

π
4

,π ) U (

5π 3π , ) 4 2

11.已知,函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1,x2,若| x1-x2|的最小值为 π,则 A.ω=2,θ= 12. 设 a = sin
π
2

B.ω= ,θ=

1 2

π
2

C.ω= ,θ=

1 2

π
4

D.ω=2,θ=

π
4

5π 2π 2π , b = cos , c = tan ,则 7 7 7 A. a < b < c B. a < c < b C. b < c < a

13.已知函数 f ( x ) = sin(2 x + ? ) 的图象关于直线 x = A.

π

D. b < a < c

π
2

B.
1? cos 2 x cos x

?

π
4

C.

π
4

8

对称,则 ? 可能是 D.

3π 4

14. 函数 f(x)=

π 3π 3π π A.在 ?0, ? 、 ? , π ? 上递增,在 ?π , ? 、 ? , 2π ? 上递减 ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ?
π π 3π 3π B.在 ?0, ? 、 ? π, ? 上递增,在 ? , π ? 、 ? , π ? 上递减 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ?

C.在 ? , ? 、 ? ? ? π?
?2 ? ?

π

3π ? π? ? ? 3π ? ,π ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? π, ? 上递减 2 2 ? ? 2? ? 2 ? ?

D.在 ?π , ?

3π ? ? 3π ? ? π? ?π ? , 2π ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? , π ? 上递减 ? 、? 2 ? ? 2 ? ? 2? ?2 ?

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分,)

15. 已知 α ∈ ? ?

? ?

π
2

,

π ?

2 ? ,求使 sin α = 成立的 α = 2 ? 3
π
2

16.sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数 y=Asin( ω x+ ? )( ω >0,| ? |< 函数表达式为 ,x∈R)的部分图象如图,则

18.已知 α , β 为锐角,且 cos α = 19.给出下列命题: (1)存在实数 α ,使 sin α cos α = 1

1 7

cos (α + β ) = ?

11 , 则 cos β =_________ 14
3 2

(2)存在实数 α ,使 sin α + cos α =

(3) 函 数 y = sin( π + x ) 是 偶 函 数 ( 4 ) 若 α、β 是 第 一 象 限 的 角 , 且 α > β , 则

3 2

sin α > sin β .其中正确命题的序号是________________________________

三.解答题(每小题 12 分,共 60 分,) 20.已知函数 y=3sin (

1 π x? ) 2 4

(1)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

21.已知 sin(θ + kπ ) = -2 cos(θ + kπ ) k ∈ Z 求:(1)

4 sin θ ? 2 cos θ ; 5 cos θ + 3 sin θ

(2)

1 2 2 sin θ + cos 2 θ 4 5

22.设 a ≥ 0 ,若 y = cos 2 x ? a sin x + b 的最大值为 0,最小值为-4,试求 a 与 b 的值, 并求 y 的最大、最小值及相应的 x 值.

23.已知 tan(α ? β ) =

1 1 , tan β = ? ,且 α , β ∈ (0, π ) ,求 2α ? β 的值. 2 7

24.设函数 f ( x ) =

3 cos 2 ωx + sin ωx cos ωx + a (其中 ω >0, a ∈ R ) ,且 f(x)的图象在

y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求 ω 的值; (2)如果 f ( x ) 在区间 [ ?

π


6

π 5π
3 , 6

] 的最小值为 3 ,求 a 的值.

测试题答案 测试题答案
.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA

2 1 3 解答题: 三、解答题:
二 arcsin
1 2

y= - 4 sin(

π
8

x+

π
4

)

1 2

(3)

20.已知函数 y=3sin ( x ? )
4

π

(1)用五点法作出函数的图象; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 (1)列表: x
π
2 3 π 2 5 π 2 7 π 2 9 π 2

1 π x? 2 4

0
π 4

π
2

π

3 π 2

2π 0

3sin ( x ? )

1 2

0

3

0

-3

描点、连线,如图所 示:…………………………………………………………………………………………5 (2)周期 T=


ω

=

2π =4 π ,振幅 A=3,初相是 1 2

-

π
4

. ………………………………………………………….8
1 2

(3)令 x ?

π
4

=

π
2

+k π (k∈Z),

得 x=2k π + 令

3 π (k∈Z),此为对称轴方程. 2

1 π π x- =k π (k∈Z)得 x= +2k π (k∈Z). 2 4 2
π
2

对称中心为 (2kπ + ,0) (k∈Z)…………………………………………………………………………..12 21.已知 sin( θ +k π )=-2cos( θ +k π ) (k∈Z). 求:(1)
1 4 4 sin θ ? 2 cos θ ; 5 cos θ + 3 sin θ 2 5

(2) sin2 θ + cos2 θ . 解:由已知得 cos( θ +k π )≠0, ∴tan( θ +k π )=-2(k∈Z),即 tan θ =-2..................................................................................................2 (1)
4 sin θ ? 2 cos θ 4 tan θ ? 2 = = 10 …………………………………………………………………7 5 cos θ + 3 sin θ 5 + 3 tan θ

1 2 1 2 sin 2 θ + cos 2 θ tan 2 θ + 1 2 2 2 4 5 4 5 = 7 ………………………………….12 (2) sin θ + cos θ = = 4 5 25 sin 2 θ + cos 2 θ tan 2 θ + 1

22.设 a≥0,若 y=cos2x-asinx+b 的最大值为 0,最小值为-4,试求 a 与 b 的值,并求 . 出使 y 取得最大、最小值时的 x 值. 解:原函数变形为

y=- (sin x + ) + 1 + b + ∵-1≤sinx≤1,a≥0

a 2

2

a2 ………………………………………2 4

∴若 0≤a≤2,当 sinx=- 时 ymax=1+b+
a2 4

a 2

=0


a 2 a2 ) +1+ b + 2 4

当 sinx=1 时,ymin=- (1 +

=-a+b=-4 ② 联立①②式解得 a=2,b=-2…………………………………………………………7 y 取得最大、小值时的 x 值分别为: x=2kπ- π (k∈Z),x=2kπ+ π (k∈Z)
2 2

若 a>2 时, a ∈(1,+∞)
2

∴ymax=- (1 ? ) 2 + 1 + b + ymin=- (1 + ) 2 + 1 + b +
a 2

a 2

a2 = a + b =0 4



a2 = ? a + b = ?4 4
2



由③④得 a=2 时,而 a =1 (1,+∞)舍去………………………………………11 故只有一组解 a=2,b=-2…………………………………………………..12

23.已知 tan(α-β)= 解:由 tanβ=- 1
7

1 1 , tan β=- ,且 α、β∈(0, π ) ,求 2α-β 的值. 2 7

β∈(0,π) 得 β∈( π , π)
2

①………………………2 ∴ 0<α<

由 tanα=tan[(α-β)+β]= 1
π
2

3

α∈(0,π)

…………………………………….6

∴ 0<2α<π 由 tan2α= 3 >0
4

∴知 0<2α< π



2

∵tan(2α-β)=

tan 2α ? tan β 1 + tan 2α tan β

=1………………………………………………………………..10

由①②知 2α-β∈(-π,0)

∴2α-β=-

3π ………………………………………………………….12 4

24.设函数 f ( x ) =

3 cos 2 ?x + sin ?x cos?x + a (其中 ω>0,a∈R) ,且 f(x)的图象在 y
π

轴右侧的第一个最高点的横坐标为
6



(1)求 ω 的值; (2)如果 f (x) 在区间 [? ,
3

π 5x
6

] 的最小值为 3 ,求 a 的值.

解:(1) f(x)= =sin(2 ω x+
π
3

3 1 3 cos2 ω x+ sin2 ω x+ +a……………………………….2 2 2 2

)+ +
6

3 +a…………………………………………………..4 2

依题意得 2 ω ·

π

π

π


3 2

解得 ω = ………………………………….6
π
3

1 2

(2) 由(1)知 f(x)=sin(2 ω x+ 又当 x∈ ?? , ?
? 3 1 2

)+

3 +a 2

π 5π ? π
3

π 7π 时,x+ ∈ ?0, ? …………………………………8 ? 6 ? 3 6 ? ? ? ?

故- ≤sin(x+

)≤1……………………………………………..10
1 3 上取得最小值- + +a 2 2 6 ? ? 1 2 3 3 +1 +a= 3 故 a= ………………….12 2 2

从而 f(x)在 ?? , ?
? 3

π 5π ?

因此,由题设知- +


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