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湖北省襄阳市2014届高三12月调研统一测试数学文试题(WORD版)


襄阳市 2013-2014 学年普通高中调研统一测试 高三数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 2 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x -2x-3≤0},则 A∩(СRB)= A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 2.设 a、b 为实数,若复数 A.a=

1 ? 2i =1+i 则 a ? bi

1 3 ,b= D.a=1,b=3 2 2 2 1 3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , ),则 log4f(2)的值为 2 2 1 1 A. B.C.2 D.-2 4 4 4.已知向量 a=(cos ? ,sin ? ),向量 b=( 3 ,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别
B.a=3,b=1 C.a= 是 A.4 2 ,0 B.4,4 2
x

3 1 ,b= 2 2

C.16,0

D.4,0

5.“a=1”是“函数 f(x)=

2 ?a 在其定义域上为奇函数”的 2x ? a

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.学校高中部共有学生 2000 名,高中部各年级男、女生人数如下表,已知在高中部学生中 随机抽取 1 名学生,抽到高三年级女生的概率是 0.18,现用分层抽样的方法在高中部抽取 50 名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为 高一 高二 高三 女生 373 y x 男生 327 Z 340 A.14 B.15 C.16 D.17 7.执行如右图所示的程序框图,若输出的值为-105,则输入的 n 值可能为

A.5 B.7 C.8 D.10 8.已知正数 x、y 满足 x+2y-xy=0,则 x+2y 的最小值为 A.8 B.4 C.2 D.0 9.给出下面结论:

①“a>1”是“f(x)=logax(a>0,a≠1)在[0,+∞)为增函数”的充要条件; ②函数 f(x)=cosxsinx 的图象关于点(-

?

4

,0)成中心对称;

③函数 f(x)=2x+3x 的零点所在区间是(-1,0); 2 2 ④命题 p: ?x0 ? R ,x0 ? 3 x0 ? 2 ≥0”的否定为 ?p : ?x ? R ,x0 ? 3 x0 ? 2 ? 0 ”. “ “ 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.定义域是一切实数的函数 y=f(x),其图像是连续不断的,且存在常数 ? ( ? ∈R)使 得 f(x+ ? )+ ? f(x)=0 对任意实数 x 都成立,则称 f(x)是一个“ ? ~伴随函数”.有 下列关于“ ? ~伴随函数”的结论: ①f(x)=0 是常数函数中唯一一个“ ? ~伴随函数”; ②“

③f(x)= x 是一个“ ? ~伴随函数”; 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。将答案填在答题卡相应位置上。) 11.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积
2

1 ~伴随函数”至少有一个零点; 2

等于其余 n-1 个小矩形面积和的 12.若函数 f(x)=2sin(

?
6

x+

?

1 ,则这个小矩形对应的频数是 ▲ . 5
)(2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与

3

f(x)的图象交于 B、C 两点,O 为坐标原点,则( OB + OC )· OA =

??? ???? ?

??? ?

▲ .

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 13.若实数 x、y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x+y 的最大值为 ▲ . ?x ? y ?1 ? 0 ? ? 14.已知函数 y=sinx+sin(x- ) 3
(1)f(x)的最小正周期为 ▲ ; (2)f(x)的最大值是 ▲ .

2 n ) }中的最大值是第 k 项,则 k= ▲ . 3 16.已知 a 是 f(x)=2x- log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值与 0 的大小关系是 ▲ .
15.若数列{n(n+4)(
2

17.5 位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学报的数是 1,第二位同学报的数也 是 1,之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和;若报的数为 3 的倍数,则报该数 的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数, (1)当 5 位同学依次循环共报 20 个数时,甲同学拍手的次数为 ▲ ; (2)当甲同学开始第 10 次拍手时,这 5 位同学己经循环报数到第 ▲ 个数. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 18.(本大题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin ? x cos ? x +2 3 sin (1)求函数 f(x)的单调增区间;
2

? x - 3 ( ? >0)的最小正周期为 ? .

(2)将函数 f(x)的图象向左平移

?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)

的图象,求 y=g(x)的零点; (3)若 y=g(x)在[0,b](b>O)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 19.(本大题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件中随机抽取 20 个, 对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m、n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率. 20.(本大题满分 13 分) 已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且{an}、 {bn}满足条件:S4=4a3-2,Tn=2 bn-2. (1)求公差 d 的值; * (2)若对任意的 n∈N ,都有 Sn≥S5 成立,求 a1 的取值范围; (3)若 a1=1,令 Cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和. 21.(本大题满分 14 分) 3 2 已知 m∈R,设函数 f(x)= x -3(m+1)x +12 m x+1. (1)若 f(x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (2)若存在 x0∈(0,3),使得 f(x0)是 f(x)在[O,3]上的最值,求 m 的取值范围. 22.(本大题满分 14 分) 3 2 已知函数 f(x)=mx +nx (m、n∈R,m>n 且 m≠0)的图象在(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)确定实数 m、n 的正、负号; 2 (2)若函数 y=f(x)在区间[n,m]上有最大值为 m-n ,求 m 的值.

高三数学(文科)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:BAADA BCABA 二.填空题:11.10 12.32 13.9 14.(1) 2? (2) 3 15.4 16.f (x0) < 0 17.(1)1 (2)190 三.解答题: ? 18.(1)解:由题意得: f ( x) ? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2 sin(2? ? ) 2分 3

由函数的最小正周期为 ? ,得 ? ? 1 ? ∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) 4分 3 ? ? ? ? 5? 由 2k ? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? + ,得: k ? ? ,k∈Z ≤ x ≤ k? ? 2 3 2 12 12 ? 5? 所以函数 f (x)的单调增区间是 [k ? ? 6分 ,? ? k ] ,k∈Z 12 12 ? (2)解:将函数 f (x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 6 ? ? 得到 y ? 2 sin[2( x ? ) ? } ? 1 ,即 y ? 2 sin 2 x ? 1 的图象 6 3 所以 g ( x) ? 2 sin 2 x ? 1 8分 7? 11? 令 g (x) = 0 得: x ? k ? ? 或 x ? k? ? ,k∈Z 12 12 7? 11? ∴y = g (x)的零点为 x ? k ? ? 或 x ? k? ? ,k∈Z 10 12 12 分 (3)解:由(2)知,y = g (x)在每个周期上恰好有两个零点 若 y = g (x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 11? 59? 即 b 的最小值为 4? ? 12 ? 12 12 分 19.(1)解:由频率分布表得 0.05 + m + 0.15 + 0.35 + n = 1 即 m + n = 0.45 2分 2 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 n ? 4分 ? 0.1 20 所以 m = 0.45﹣0.1 = 0.35. 5分 (2)解:由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1、x2、x3 等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1、y2 从 x1、x2、x3、y1、y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为:(x1,x2),(x1,x3), (x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1, y2) 共计 10 种 9分 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等” 则 A 包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个 11 分 4 故所求概率为 P( A) ? 12 ? 0.4 10 分 20.(1)解:设等比数列{bn}的公比为 q,由 S4 = 4a3﹣2,得: 4?3 2分 4a1 ? ? d ? 4(a1 ? 2d ) ? 2 ? d ? 1 . 2 (2)解:由公差 d = 1 > 0 知数列{an}是递增数列 由 Sn≥S5 最小知 S5 是 Sn 的最小值 ? S ≥ S5 ?a ≤ 0 ∴? 4 4分 ? ? 5 ? S 6 ≥ S5 ?a6 ≥ 0

?a ? 4 ≤ 0 即? 1 ,解得:-5≤a1≤-4 ?a1 ? 5 ≥ 0 ∴a1 的取值范围是[-5,-4]. 另解:由 Sn≥S5 最小知:S5 是 Sn 的最小值 n(n ? 1) 1 2 1 Sn ? na1 ? ? n ? (a1 ? )n 2 2 2 1 当 n ? ? a1 时,Sn 有最小值 2 1 1 1 又 Sn 的最小值是 S5,∴ 4 ? ≤ ? a1 ≤ 5 ? 2 2 2 故-5≤a1≤-4 ∴a1 的取值范围是[-5,-4]. (3)解:a1 =1 时,an = 1 + (n﹣1) = n 当 n = 1 时,b1 = T1 = 2b1﹣2,解得 b1 = 2 当 n≥2 时,bn = Tn﹣Tn﹣1 = 2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) = 2bn﹣2bn﹣1,化为 bn = 2bn﹣1. ∴数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴ bn ? 2 ? 2n ?1 ? 2n

6分

4分

6分

∴ cn ? n ? 2n 记数列{cn}的前 n 项和为 Vn,则 ∴ Vn ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

8分

2Vn ? 22 ? 2 ? 23 ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ?
分 两式相减得: ?Vn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1
? 2(2n ? 1) ? n ? 2n ?1 ? ?(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 2 ?1 ?2.

10

∴ Vn ? (n ? 1) ? 2n ?1

13 2分 4分

分 2 21.(1)解:f ′(x)=3x -6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m) 由于 f (x)在[0,3]上无极值点,故 2m = 2,所以 m = 1 (2)解:由于 f ′(x) = 3(x-2)(x-2m) 3 当 2m≤0 或 2m≥3,即 m≤0 或 m≥ 时,取 x0 = 2 即满足题意 2 3 此时 m≤0 或 m≥ 2 当 0<2m<2,即 0<m<1 时,列表如下: x 0 f ′(x) f (x) 1 (0, 2m) + 单调递增 2m 0 极大值 (2m,2) - 单调递减 2 0 极小值 (2,3) + 单调递增 9m+1 3

6分

故 f (2)≤f (0)或 f (2m)≥f (3) 3 2 即-4+12m+1≤1 或-4m +12m +1≥9m+1 2 从而 3m≤1 或-m(2m-3) ≥0, 1 3 所以 m≤ 或 m≤0 或 m = 3 2

8分

此时 0<m≤ 分

1 3 3 时,列表如下: 2
2 0 极大值 (2,2m) - 单调递减 2m 0 极小值 (2m,3) + 单调递增 9m+1 3

10

当 2<2m<3,即 1<m< x 0 f ′(x) f (x) 1

(0,2) + 单调递增

故 f (2m)≤f (0) 或 f (2)≥f (3) 3 2 即-4m +12m +1≤1 或-4+12m+1≥9m+1 分 2 从而-m (m-3)≤0 或 3m≥4, 4 所以 m=0 或 m≥3 或 m≥ 3 4 此时 ≤m <1 3 1 4 综上所述, 实数 m 的取值范围是{m | m≤ 或 m≥ }. 3 3 分 22.(1)解: f ?( x) ? 3mx 2 ? 2nx 由图象在(2,f (2))处的切线与 x 轴平行知: f ?(2) ? 0 ,即 12m ? 4n ? 0 ∴n =-3m 又 n < m,故 n < 0,m > 0 (2)解:令 f ?( x) ? 3mx 2 ? 2nx ? 3mx 2 ? 6mx ? 0 ,得:x = 0 或 x = 2 ∵m > 0,∴当 x < 0 或 x > 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 0 < x < 2 时, f ?( x) ? 0

12

14

2分 4分

故 f (x)在区间(-∞,0)内为增函数,在(0,2)内为减函数,在(2,+∞)内为增 函数. ∴x = 0 是 f (x)的极大值点,x = 2 是 f (x)的极小值点 6分 令 f (x) = f (0) = 0,得 x = 0 或 x = 3 2 ①当 0 < m≤3 时,f (x)max = f (0) = 0,∴m-n = 0 ?n ? ?3m 1 ? 由 ?m ? n 2 ? 0 得: m ? 8分 9 ?0 ? m ≤ 3 ? ②当 m > 3 时,f (x)max = f (m) = m + m n 4 2 2 ∴m + m n = m-n ?m4 ? m2 n ? m ? n 2 3 2 由? 得:m -3m + 9m-1 = 0 n ? ?3m ? 分 3 2 记 g (m) = m -3m + 9m-1 ∵ g ?( x) ? 3m 2 ? 6m ? 9 ? 3(m ? 1) 2 ? 6 ? 0 分 ∴g (m)在 R 上是增函数,又 m > 3,∴g (m) > g (3) = 26 > 0 ∴g (m) = 0 在(3,+∞)上无实数根
4 2

10

12

综上, m ? 分

1 . 9

14


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