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圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系高考题及详解


圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题 1. (2013·重庆高考文科·T4)设 P 是圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上的动点, Q 是直线
x ? ?3 上的动点,则 PQ 的最小值为

( C. 3

) D. 2

A. 6

B.4

【解题指南】 PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径. 【解析】 选 B. PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心 (3,?1) 到直 线 x ? ?3 的距离为 6 ,半径为 2 ,所以 PQ 的最小值为 6 ? 2 ? 4 . 2.(2013·天津高考文科·T5)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直 线 ax-y+1=0 垂直,则 a= A.
? 1 2

( D.
1 2

)

B. 1

C. 2

【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求 a 的值. 【解析】 选 C.因为点 P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5 上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0) 与点 P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点 P(2,2)的连线的斜 率 k=2,故过点 P(2,2)的切线斜率为- 1 ,所以直线 ax-y+1=0 的斜率为 2,因此 a=2.
2

3.(2013·安徽高考文科·T6)直线 x+2y-5+ 5 =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的 弦长为( A.1 ) B.2 C.4 D. 4 6

【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形,利用勾股定理即 可求得半弦长。 【 解 析 】 选 C. 由 ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 5 得 圆 心 ( 1,2 ) ,半径 r = 5 ,圆心到直线 x+2y-5+ 5 =0 的距离 d =
|1 + 4 - 5 + 5 | = 1,在半径、圆心距、半弦长组成的直角三 5
-1-

角形中,弦长 l = 2 r 2 - d 2 = 2 4 = 4 。 4. (2013·重庆高考理科·T7)已知圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 C2 :
( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 , M 、 N 分别是圆 C1 、 C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,

则 PM ? PN 的最小值为 A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1

(

) C. 6 ? 2 2 D. 17

【解题指南】根据圆的定义可知 PM ? PN ? PC1 ? PC2 ? 4 ,然后利用对称性求解. 【解析】选 A.由题意知,圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 的圆心分别为 C1 (2,3), C2 (3,4) , 且 PM ? PN ? PC1 ? PC2 ? 4 ,点 C1 (2,3) 关于 x 轴的对称 点为 C (2,?3) ,所以 PC1 ? PC2 ? PC ? PC2 ? CC2 ? 5 2 , 即 PM ? PN ? PC1 ? PC2 ? 4 ? 5 2 ? 4 . 5.(2013·广东高考文科·T7)垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x2 ? y 2 ? 1相切于第一 象限的直线方程是( ) A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

【解析】选 A. 由题意知直线方程可设为 x ? y ? c ? 0 ( c ? 0 ) ,则圆心到直线的距 离等于半径 1,即
|0?0?c| 12 ? 12 ? 1 , c ? 2 ,所求方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

6. (2013·陕西高考文科·T8)已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 ( A. 相切 B. 相交 ) C. 相离 D. 不确定

【解题指南】 利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离, 列出关系式,解之即可判断直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系. 【解析】选 B.点 M(a, b)在圆 x 2 ? y 2 ? 1外 ? a 2 ? b 2 ? 1.
-2-

圆心O(0, 0)到直线ax ? by ? 1距离d ?

1 a ? b2
2

? 1 =圆的半径,故直线与圆相交.

7. (2013·江西高考理科·T9)过点( 2 ,0)引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△ AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率 等于( ) A.
3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,△AOB 为等腰三角形,所以 AB 的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而△AOB 的面积可表示为圆心到直 线的距离 d 的函数,借助二次函数思想可以求解出当△AOB 的面积取最大值时的 d 值,进而可以求出直线的斜率. 【解析】选 B. 曲线 y ? 1 ? x 2 表示以 (0, 0) 为圆心,以1 为半径的上半圆.设直线 l 的方程为 y ? k(x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 ,若直线与半圆相交,则 k ? 0 ,圆心到 直线的距离为 d ?
s?

2k 1? k
2

( d ?1 ) , 弦 长 为 AB ? 2 1 ? d 2 , △ AOB 的 面 积 为

2k 2 1 1 1 1 A B d? d 1 ? 2 d? d 2 (1 ? d 2 ) ,易知当 d 2 ? 时 s 最大,解 ( ) ? 得 k2 ? , 2 2 3 2 2 1? k

故k ? ?

3 . 3

8. (2013·山东高考理科·T9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线, 切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 ( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系,利用圆的几何性质解题即可. 【解析】选 A. 由图象可知, A(1,1) 是一个切点,根据切线的特点可知过点 A.B

-3-

的直线与过点(3,1) 、 (1、0)的直线互相垂直, k AB ? ? 的方程为 y ? 1 ? ?2?x ? 1? ,即 2x+y-3=0. 二、填空题

1 ? ?2 ,所以直线 AB 1? 0 3 ?1

9. (2013·山东高考文科·T13)过点(3,1)作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中 最短的弦长为__________ 【解题指南】过圆内一点的弦,最长的为直径,最短的为垂直于直径的弦.这样 圆心到点 ?3,1? 的距离,与弦长的一半,半径长构成一个直角三角形. 【解析】 半径为 r ? 2 , 圆心为 ?2,2? , 圆心到点 ?3,1? 的距离 d ? ?3 ? 2?2 ? ?1 ? 2?2 ? 2 , 所求最短弦长为 2 22 ? ? 2 ? ? 2 2
2

【答案】 2 2 . 10.(2013·浙江高考文科·T13)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等 于 .

【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长. 【解析】由 ?
y ? 2 x ? 3, ? x ? ?1 ? x ? 3 ,解得 ? 或? ,所以两交点坐标为 ? ?1,1? 2 ? x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0, ? y ?1 ?y ? 9 ?
2

和 ? 3,9 ? ,所以弦长 l ? (?1 ? 3) 2 ? (1 ? 9) 2 ? 4 5 . 【答案】 4 5 . 11. (2013·江西高考文科·T14)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0) ,且与直 线 y=1 相切,则圆 C 的方程是 .

【解题指南】设出圆的标准方程,得出圆心坐标和半径的关系,再代入已知点. 【解析】设圆的方程为 (x ? a)2 ? (y ? b)2 ? r 2 ,因为圆 C 经过点(0,0)和点(4,0) , 所 以 a=2 , 又 圆 与 直 线 y=1 相 切 , 可 得 1 ? b? r, 故 圆 的 方 程 为
-4-

3 5 (x ? 2)2 ? (y ? b)2 ? (1 ? b)2 ,将(0,0)代入解得 b ? ? , r ? ,所以圆的方 2 2
3 2 25 2 程为 (x ? 2) ? (y ? ) ? . 2 4
2 2 【答案】 (x ? 2) ? (y ? ) ?

3 2

25 . 4

12. (2013· 湖北高考文科· T14)已知圆 O :x2 ? y2 ? 5 , 直线 l :x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ?? ?

π ).设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? 2

.

【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比 较. 【解析】半径为 R= 5, 圆心到直线 l 的距离 d= k=4. 【答案】4. 三、解答题 13.(2013·江苏高考数学科·T17) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) , 直线 l : y ? 2 x ? 4 。设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。
1 sin 2 ? ? cos2 ? ?1? 5 . 故数形结合 2

-5-

【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何 条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用 MA=2MO 确定点 M 的轨迹方程,再 利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是 切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,
| 3k ? 1| k ?1
2

= 1, 解得 k=0 或- ,

3 4

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 , 化简得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 , 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1≤CD≤2+1, 即 1≤ a 2 ? (2a ? 3) 2 ≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 5 . 12 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, 5 ]. 14.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段长为 2 3 。
-6-

(1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y ? x 的距离为
2 ,求圆 P 的方程。 2

【解题指南】(1)设出点 P 的坐标与圆 P 半径,利用弦长、圆心距、半径之间的 关系求得点 P 的轨迹方程; (2)利用已知条件求得点 P 的坐标,从而求出半径,写出圆的方程. 【解析】 (1)设 P ? x, y ? ,圆 P 的半径为 r. 由题设 y2 ? 2 ? r 2 , x2 ? 3 ? r 2 . 从而 y 2 ? 2 ? x2 ? 3 . 故 P 点的轨迹方程为 y 2 ? x2 ? 1. (2)设 p( x0 , y0 ),由已知得
? ? x0 ? y0 ? 1, ? 2 2 ? ? y0 ? x0 ? 1,
? ? x0 ? 0. ? x0 ? y0 ? 1, 得 ? 2 ? 2 ? y0 ? x0 ? 1, ? y0 ? ?1. ?
x0 ? y0 2 ? 2 . 又 P 点在双曲线 y 2 ? x2 ? 1上,从而得 2

此时圆的半径 r= 3 .
? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0. ? 得? ? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1, ? y0 ? 1. ?

此时,圆的半径 r= 3 .
2 2 故圆 P 的方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 3或x 2 ? ? y -1? ? 3 ,

15.(2013·四川高考文科·T20) 已知圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,点 O 是坐标原点。直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M , N 两点。 (1)求 k 的取值范围; (2)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且
2 1 1 ? ? 。请将 n 表示为 m 的函 2 2 | OQ | | OM | | ON |2
-7-

数。 【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解 k 的取值范围 时可以利用判别式进行求解,在第二问的处理上要注意 使用,从而寻找到 m, n 的关系. 【解析】 (1)将 y ? kx 代入 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 中,得
(1 ? k 2 ) x2 ? 8kx ? 12 ? 0(?)
2 1 1 的 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

由 ? ? (?8k )2 ? 4(1 ? k 2 ) ?12 ? 0 ,得 k 2 ? 3 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) . (2)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1, kx1 ),( x2 , kx2 ) 则 OM ? (1 ? k 2 ) x12 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 2 , 又 OQ ? m 2 ? n 2 ? (1 ? k 2 )m 2 . 由
2 1 1 ? ? ,得 2 2 | OQ | | OM | | ON |2
2 2 2

2 1 1 , ? ? 2 2 2 2 (1 ? k )m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x22



2 1 1 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 , ? ? ? m2 x12 x22 x12 x22
8k 12 36 , x1 x2 ? ,所以 m2 ? 2 2 2 1? k 1? k 5k ? 3 n 36 ,代入 m2 ? 2 中并化简,得 m 5k ? 3

由 (?) 式可知, x1 ? x2 ?

因为点 Q 在直线 y ? kx 上,所以 k ?
5n2 ? 3m2 ? 36 .

由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 ,可知 0 ? m2 ? 3 ,即 m ? (? 3,0) ? (0, 3) . 2 5k ? 3

根据题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m2 15m2 ? 180 . ? 5 5

于是 n 与 m 的函数关系为 n ?

15m2 ? 180 (m ? (? 3,0) ? (0, 3)) . 5
-8-


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