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2012高考数学二轮复习 专题一第3讲二次函数、基本初等函数及函数的应用课下作业(浙江专版)


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一、选择题 1 1 1.(2011·海宁模拟)幂函数 y=f(x)的图像经过点(4, ),则 f( )的值为( 2 4 A.1 C.3 B.2 D.4 )

1 1 α 解析:设幂函数 f(x)=x ,把(4, )代入得 α =- , 2 2 则 f(x)=x 答案:B 2.(2011·温州质检)设二次函数 f(x)= ax -2ax + c 在区间[0,1]上单调递减,且
2

?

1 2

1 1 1 ? - ,f( )=( ) 2 =2. 2 4 4

1

f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是(
A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞)
2

) B.[2,+∞) D.[0,2]

解析:二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0,又 f(x)=a(x- 1) -a+c, 所以 a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 答案:D 3.[理]已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上是减函数,又 g(x) 1 x =a + x,则下列选项正确的是(
2

a

) B.g(2)<g(-3)<g(4) D.g(-3)<g(4)<g(2)

A.g(-3)<g(2)<g(4) C.g(4)<g(-3)<g(2)

解析:由函数 y=loga|x|在(-∞,0)上为减函数,可得 a>1,故 g(-3)-g(2)=(a- 1)×

a5-1 a7-1 >0? g(-3)>g(2),又 g(4)- g(-3)=(a -1)× 4 >0? g(4)>g(-3),故有 a3 a

g(4)>g(-3)>g(2).
答案:B [文]设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b <1
2

)

1 1 a 1 b B. <( ) <( ) 2 2 2
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C.a <ab<1
2

2

D.log 1 b<log 1 a<0
2 2
2

解析:依题意得 ab-b =b(a-b)>0,ab>b ,因此 A 不正确;同理可知 C 不正确;由函数

y=( )x 在 R 上是减函数得,当 0<b<a<1 时,有( )0>( )b>( )a>( )1,即 <( )a<( )b,因此 B
正确;同理可知 D 不正确. 答案:B 4.(2011·北京高考)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

? cx,x<A, ? f(x)=? c ? A,x≥A ?
A.75,25 C.60,25

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装

第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( B.75,16 D.60,16

)

解析:因为组装第 A 件产品用时 15 分钟,所以 ②,联立①②解得 c=60,A=16. 答案:D 二、填空题

c c c =15①,所以必有 4<A,且 = =30 A 4 2

1 1 a b 5.(2011·东阳模拟)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=________.

a b

解析:∵2 =5 =m,∴a=log2m,b=log5m. 1 1 由 + =2,即 logm2+logm5=2,得 logm10=2,

a

b

a b

∴m= 10. 答案: 10 1 x 6.函数 y=( ) -log2(x+2)在[-1,1]上的最大值为________. 3 1 x 解析:函数 y=( ) -log2(x+2)在区间[-1,1]上是单调递减函数,所以函数的最大值是 3

f(-1)=3.
答案:3 7.已知函数 f(x)=log3(a -3 )+ x -2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:法一:函数 f(x)存在零点,即方程 f(x)=0 有解,
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x

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x

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也就是方程 log3(a-3 )+x-2=0 有解. 故 log3(a-3 )=2-x,所以 a-3 =3
x x
2-x



1 x x 2 x 也就是 a-3 =9× x,整理,得(3 ) -a×3 +9=0. 3 ? 3? 故 a=
x
2

3

x

+9 x 9 9 x =3 + x, 3 + x≥2 而 3 3

9 9 x x 3 × x=6(当且仅当 3 = x, x=1 时取得等 即 3 3

号),所以实数 a 的取值范围是[6,+∞). 法二:函数 f(x)存在零点,即方程 f(x)=0 有解,也就是方程 log3(a-3 )+x-2=0 有 解. 故 log3(a-3 )=2-x,所以 a-3 =3
x x
2-x

x

.

1 x x 2 x 也就是 a-3 =9× x,整理,得(3 ) -a×3 +9=0. 3 令 t=3 >0,则方程变为 t -at+9=0,由题意,知该方程至少有一正根,设方程的两根 分别为 t1,t2,则由根与系数之间的关系,可得 t1t2=9>0,故该方程有两个正根,所以有:
?Δ =? -a? -4×1×9≥0, ? ? ? ?t1+t2=a>0,
2

x

2

解得 a≥6.

答案:[6,+∞) 三、解答题 8.已知函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab,当 x∈(-3,2)时,f(x)>0,当 x∈(-∞, -3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,ax +bx+c≤0 的解集为 R? 解: 由题意知 f(x)的图像是开口向下, x 轴于两点 A(-3,0)和 B(2,0) 交 1 的抛物线,对称轴方程为 x=- (如图). 2 那么,当 x=-3 和 x=2 时, 有 y=0,代入原式得
?0=a? -3? ? ? 2 ? ?0=a×2 +?
2 2 2

+?

b-8? ×? -3? -a-ab,

b-8? ×2-a-ab,
或?
?a=-3, ? ? ?b=5.

解得?

?a=0, ? ? ?b=8,

经检验知?

? ?a=0, ? ?b=8,
2

不符合题意,舍去.

∴f(x)=-3x -3x+18. (1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减,
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所以,当 x=0 时,y=18,当 x=1 时,y=12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)令 g(x)=-3x +5x+c, 要使 g(x)≤0 的解集为 R. 则需要方程-3x +5x+c=0 的判别式 Δ ≤0, 25 即 Δ =25+12c≤0,解得 c≤- . 12 25 2 ∴当 c≤- 时,ax +bx+c≤0 的解集为 R. 12 9.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励 销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价 就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时,
2 2

p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
?60, 0<x≤100, ? ∴p=? ? ?62-0.02x, 100<x≤600.

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时,

y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2.
?20x, 0<x≤100, ? ∴y=? 2 ? ?22x-0.02x , 100<x≤600.

当 0<x≤100 时, =20x 是单调增函数, x=100 时, 最大, y 当 y 此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时,

y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050,
∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元. 10.设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x +2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 2x -2x (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a -4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2
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2

x

-x

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解:∵f(x)是定义域为 R 上的奇函数,∴f(0)=0, ∴k-1=0,即 k=1. 1 (1)∵f(1)>0,∴a- >0.又 a>0 且 a≠1,

a

∴a>1,f(x)=a -a . ∵f′(x)=a lna+a lna=(a +a )lna>0, ∴f(x)在 R 上为增函数, 原不等式可化为 f(x +2x)>f(4-x). ∴x +2x>4-x,即 x +3x-4>0. ∴x>1 或 x<-4. ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. 3 1 3 2 (2)∵f(1)= ,∴a- = ,即 2a -3a-2=0. 2 a 2 1 ∴a=2 或 a=- (舍去). 2 ∴g(x)=2 +2
x
-x 2 2x -2x 2 2 2

x

-x

x

-x

x

-x

-4(2 -2 )
x
-x

x

-x

=(2 -2 ) -4(2 -2 )+2. 令 t(x)=2 -2 (x≥1), 则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2 ∴原函数变为 w(t)=t -4t+2=(t-2) -2. ∴当 t=2 时,w(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.
2 2

x

-x

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