18学年高中数学27二倍角的三角函数(2)练习(含解析)北师大版必修4

27 二倍角的三角函数 2 时间：45 分钟 满分：80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题 5 分，共 5?6＝30 分) 1 1．下列各式中，值为 的是( ) 2 2π A．sin15°cos15° B．2cos －1 12 1＋cos30° tan22.5° D. 2 2 1－tan 22.5° 答案：D tan22.5° 1 1 解析： ＝ tan45°＝ . 2 1－tan 22.5° 2 2 2．函数 y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为( A．1＋ 2 B. 2－1 C. 2 D．2 答案：A C. ) π? ? 2 解析：∵y＝2sin x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝1＋ 2sin?2x－ ?， 4? ? ∴ymax＝1＋ 2.故选 A. 3．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos2θ ＝( ) 4 3 A．－ B．－ 5 5 3 4 C. D. 5 5 答案：B 1 2 3 2 解析： 依题意： tanθ ＝2， ∴cosθ ＝± ， ∴cos2θ ＝2cos θ －1＝ －1＝－ 或 cos2θ 5 5 5 1－tan θ 1－4 3 ＝ ＝ ＝－ ，故选 B. 2 1＋tan θ 1＋4 5 2 (sin56° － cos56°) ， b ＝ cos50°cos128° ＋ cos40°cos38° ， c ＝ 2 2 1－tan 40°30′ 1 2 ，d＝ (cos80°－2cos 50°＋1)，则 a，b，c，d 的大小关系为( ) 2 1＋tan 40°30′ 2 A．a＞b＞d＞c B．b＞a＞d＞c C．d＞a＞b＞c D．c＞a＞d＞b 答案：B 2 解析：∵a＝ ? 2sin(56°－45°)＝sin11°， 2 b＝－sin40°?sin38°＋cos40°?cos38° ＝cos78°＝sin12°， c＝cos81°＝sin9°， 1 d＝ (cos80°－cos100°)＝cos80°＝sin10°，故 b＞a＞d＞c. 2 θ 5．已知 2π <θ <3π ，cosθ ＝m，则 sin ＝( ) 2 4．设 a＝ 1 2 A．－ C．－ 答案：A 1－m B. 2 1＋m D. 2 1－m 2 1＋m 2 1－cosθ ＝ 2 θ 3π θ 解析：因为 2π <θ <3π ，所以 π < < .又 cosθ ＝m，所以 sin ＝－ 2 2 2 － 1－m ，故选 A. 2 π? cos2x－1 ? 6．已知函数 f(x)＝ ?0<x≤ 3 ?，则( π ? ? ? ? cos?2x－ ? 2? ? A．函数 f(x)的最大值为 3，无最小值 B．函数 f(x)的最小值为－ 3，最大值为 0 3 C．函数 f(x)的最大值为 ，无最小值 3 ) D．函数 f(x)的最小值为－ 3，无最大值 答案：D 2 cos2x－1 cos2x－1 －2sin x π 解析：因为 f(x)＝ ＝ ＝ ＝－tanx,0<x≤ ，所以函数 π sin2 x 2sin x cos x 3 ? ? cos?2x－ ? 2? ? f(x)的最小值为－ 3，无最大值，故选 D. 二、填空题：(每小题 5 分，共 5?3＝15 分) 2 π x 7．已知 sinx＝ ，且 ＜x＜π ，则 sin ＝__________. 3 2 2 答案： 15＋ 3 6 π 5 2 解析：∵ ＜x＜π ，∴cosx＝－ 1－sin x＝－ ， 2 3 ∴sin ＝ 2 x 1－cosx ＝ 2 1＋ 2 5 3 ＝ 3＋ 5 ＝ 6 ? 5＋1? 15＋ 3 ＝ . 12 6 2 π? 2 ? 8．已知 θ ∈(0，π )，且 sin?θ － ?＝ ，则 tan2θ ＝________. 4 ? ? 10 24 答案：－ 7 π? 2 2 2 1 ? 解析：由 sin?θ － ?＝ ，得 (sinθ －cosθ )＝ ? sinθ －cosθ ＝ .解方程组 4 ? 10 2 10 5 ? 1 ? ?sinθ －cosθ ＝ 5 ? 2 2 ? ?sin θ ＋cos θ ＝1 4 ? ?sinθ ＝5 ，得? 3 ?cosθ ＝5 ? 3 ? ?sinθ ＝－5 或? 4 ?cosθ ＝－5 ? .因为 θ ∈(0，π )， 2 3 sinθ ＝－ ? ? 5 所以 sinθ >0，所以? 4 cosθ ＝－ ? ? 5 4 不合题意，舍去，所以 tanθ ＝ ，所以 tan2θ ＝ 3 4 2? 3 2tanθ 24 ＝ ＝－ . 2 1－tan θ 7 ?4?2 1－? ? ?3? ? ? 2 2?π 2?π 9．化简 cos A＋cos ? －A?＋cos ? ＋A?＝ 3 3 ? ? ? ? __________. 3 答案： 2 ?2π ? ?2π ? 1＋cos? －2A? 1＋cos? ＋2A? 1＋cos2A ? 3 ? ? 3 ? 解析：原式＝ ＋ ＋ 2 2 2 ＝ 3 2 ＋ 1 2 2π ? ? 2π ?cos2A＋?cos 3 cos2A＋sin 3 ? ? ? sin2A ＋ 2π 2π cos cos2A－sin sin2A? ? 3 3 ? 3 1 2π ＝ ＋ cos2A＋2cos cos2A 2 2 3 1 3 1? ? 3 ＝ ＋ ?cos2A＋2?－ cos2A?＝ . 2 2 2? ? 2 三、解答题：(共 35 分，11＋12＋12) 1 1 10．已知 tanα ＝ ，tanβ ＝ ，且 α ，β 均为锐角，求 α ＋2β 的值． 7 3 2tanβ 3 解析：tan2β ＝ ＝ ， 2 1－tan β 4 tanα ＋tan2β tan(α ＋2β )＝ ＝1.