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2017步步高大一轮复习讲义数学1.2


1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)如果 p?q,且 q?p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q?p,且 p q,则 p 是 q 的必要不充分条件; (5)如果 p q,且 q p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( × ) π π (2)命题“α= ,则 tanα=1”的否命题是“若 α= ,则 tanα≠1”.( × ) 4 4 (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ (4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( √ ) (5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( √ ) )

(6)若 p 是 q 的充分不必要条件,则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.( √ )

1.(教材改编)命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是( A.“若 x<y,则 x2<y2” C.“若 x>y,则 x2>y2” 答案 B

)

B.“若 x≤y,则 x2≤y2” D.“若 x≥y,则 x2≥y2”

解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命 题是“若 x≤y,则 x2≤y2”. 2.已知命题 p:若 x=-1,则向量 a=(1,x)与 b=(x+2,x)共线,则在命题 p 的原命题、 逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( A.0B.2C.3D.4 答案 B 解析 向量 a,b 共线?x-x(x+2)=0?x=0 或 x=-1, ∴命题 p 为真,其逆命题为假, 故在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 2. 3.(2015· 重庆)“x>1”是“log 1 (x+2)<0”的(
2

)

)

A.充要条件 C.必要而不充分条件 答案 B 解析

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x>1?x+2>3?log 1 (x+2)<0,log 1 (x+2)<0?x+2>1?x>-1,故“x>1”是
2 2

“log 1 (x+2)<0”成立的充分不必要条件.因此选 B.
2

4.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a=3 时 A={1,3},显然 A?B. 但 A?B 时,a=2 或 3.所以 A 正确. 5.(教材改编)下列命题: ①x=2 是 x2-4x+4=0 的必要不充分条件;

)

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sinα=sinβ 是 α=β 的充要条件; ④ab≠0 是 a≠0 的充分不必要条件. 其中为真命题的是________(填序号). 答案 ②④

题型一
例1

命题及其关系
)

(1)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数“的逆否命题是(

A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 (2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假 性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否 定表达是“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶 数”. (2)先证原命题为真:当 z1,z2 互为共轭复数时,设 z1=a+bi(a,b∈R),则 z2=a-bi,则|z1| =|z2|= a2+b2, ∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取 z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但 是 z1,z2 不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选 B. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q“形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直 接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. π 1 (1)命题“若 α= ,则 cosα= ”的逆命题是( 3 2 ) ) B.假,假,真 D.假,假,假

π 1 A.若 α= ,则 cosα≠ 3 2 π 1 B.若 α≠ ,则 cosα≠ 3 2 1 π C.若 cosα= ,则 α= 2 3 1 π D.若 cosα≠ ,则 α≠ 2 3 (2)已知命题 α:如果 x<3,那么 x<5;命题 β:如果 x≥3,那么 x≥5;命题 γ:如果 x≥5,那 么 x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( ①命题 α 是命题 β 的否命题,且命题 γ 是命题 β 的逆命题; ②命题 α 是命题 β 的逆命题,且命题 γ 是命题 β 的否命题; ③命题 β 是命题 α 的否命题,且命题 γ 是命题 α 的逆否命题. A.①③ C.②③ 答案 (1)C (2)A π 1 1 π 解析 (1)命题“若 α= ,则 cosα= ”的逆命题是“若 cosα= ,则 α= ”. 3 2 2 3 (2)命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结 论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定,然后交换条件与结论所得, 因此①正确,②错误,③正确,故选 A. B.② D.①②③ )

题型二

充分必要条件的判定
)

例 2 (1)(2015· 四川)设 a, b 都是不等于 1 的正数, 则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 m 1 (2)一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( n n A.m>1,且 n<1 C.m>0,且 n<0 答案 (1)B (2)B 解析 (1)根据指数函数的单调性得出 a,b 的大小关系,然后进行判断. B.mn<0 D.m<0,且 n<0 )

∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时 loga3<logb3 正确;反之,若 loga3<logb3,则不一定得到 3a>3b>3, 1 1 例如当 a= ,b= 时,loga3<logb3 成立,但推不出 a>b>1.故“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的 2 3 充分不必要条件. m 1 m 1 (2)∵y=- x+ 经过第一、三、四象限,故- >0, <0,即 m>0,n<0,但此为充要条件, n n n n

因此,其必要不充分条件为 mn<0. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断; (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行 判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的某种条 件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的某种条件. (1)(2015· 陕西)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

π (2)若命题 p:φ= +kπ,k∈Z,命题 q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则 p 是 q 的( 2 A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 (1)A (2)A B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 (1)∵sinα=cosα?cos2α=cos2α-sin2α=0;cos2α=0?cosα=± sinα sinα=cosα,故选 A. π (2)当 φ= +kπ, k∈Z 时, f(x)=± cosωx 是偶函数, 所以 p 是 q 的充分条件; 若函数 f(x)=sin(ωx 2 π +φ)(ω≠0)是偶函数,则 sinφ=± 1,即 φ= +kπ,k∈Z,所以 p 是 q 的必要条件,故 p 是 q 2 的充要条件,故选 A.

题型三

充分必要条件的应用

例 3 已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件,求 m 的取值范围. 解 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S?P. 1-m≤1+m, ? ? 则?1-m≥-2, ∴0≤m≤3. ? ?1+m≤10, ∴当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,

? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9, ? ?

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 2.本例条件不变,若 x∈綈 P 是 x∈綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S P. ∴[-2,10]?[1-m,1+m].
?1-m≤-2, ?1-m<-2, ? ? ∴? 或? ? ? ?1+m>10 ?1+m≥10.

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是( A.0<a≤1 C.a≤1 B.a<1 D.0<a≤1 或 a<0 )

(2)已知条件 p:2x2-3x+1≤0,条件 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不充 分条件,则实数 a 的取值范围是________. 1? 答案 (1)C (2)? ?0,2? 解析 (1)方法一 当 a=0 时,原方程为一元一次方程 2x+1=0,有一个负实根. 当 a≠0 时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是 Δ=4-4a≥0,即 a≤1. 设此时方程的两根分别为 x1,x2, 2 1 则 x1+x2=- ,x1x2= , a a a≤1, ? ? 当只有一个负实根时,?1 ?a<0; <0 ? ?a

? 2 ?- <0,?0<a≤1. 当有两个负实根时,? a 1 ? ?a>0

a≤1,

综上所述,a≤1. 方法二 (排除法)当 a=0 时,原方程有一个负实根,可以排除 A,D;当 a=1 时,原方程有 两个相等的负实根,可以排除 B.
? 1 ? (2)命题 p 为?x|2≤x≤1?, ? ?

命题 q 为{x|a≤x≤a+1}. 1 綈 p 对应的集合 A={x|x>1 或 x< }, 2 綈 q 对应的集合 B={x|x>a+1 或 x<a}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, a+1>1, a+1≥1, ? ? ? ? ∴? 1 或? 1 a≤ ? ? ? 2 ?a<2, 1 ∴0≤a≤ . 2

1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)已知 p:(a-1)2≤1,q:?x∈R,ax2-ax+1≥0,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

(2)已知条件 p:x2+2x-3>0;条件 q:x>a,且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,则 a 的取 值范围是( A.[1,+∞) C.[-1,+∞) ) B.(-∞,1] D.(-∞,-3]

解析 (1)由(a-1)2≤1 解得 0≤a≤2,∴p:0≤a≤2. 当 a=0 时,ax2-ax+1≥0 对?x∈R 恒成立;
? ?a>0 当 a≠0 时,由? 得 0<a≤4, 2 ?Δ=a -4a≤0 ?

∴q:0≤a≤4.∴p 是 q 成立的充分不必要条件. (2)由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件. ∴{x|x>a}?{x|x<-3 或 x>1},∴a≥1. 答案 (1)A (2)A

温馨提醒 (1)本题用到的等价转化 ①将綈 p,綈 q 之间的关系转化成 p,q 之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题,在解题中经常用 到.

[方法与技巧] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定 义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命 题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法: 即利用 A?B 与綈 B?綈 A; B?A 与綈 A?綈 B; A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系, 对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若 A?B,则 p 是 q 的充分条 件或 q 是 p 的必要条件;若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是 q 的充要 条件. [失误与防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若 p, 则 q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件 是 q”等语言.

A 组 专项基础训练

(时间:30 分钟) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” )

D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.(2015· 天津)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由|x-2|<1 得 1<x<3,所以 1<x<2?1<x<3;但 1<x<3 1<x<2,故选 A. 3.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、 否命题、逆否命题 3 个命题中,真命题的个数是( A.3B.2C.1D.0 答案 C 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限,则函数 y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个. 4.下列结论错误的是( ) ) )

A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0” 答案 C 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0”.若方程有实根,则 Δ =1+4m≥0, 1 即 m≥- ,不能推出 m>0.所以不是真命题,故选 C. 4 5.设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A

解析 因为菱形的对角线互相垂直, 所以“四边形 ABCD 为菱形”?“AC⊥BD”, 所以“四 边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件; 又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形, 所 以 “AC⊥BD” “ 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ” , 所 以 “ 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ” 不 是

“AC⊥BD”的必要条件. 综上,“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 6. 设 U 为全集. A, B 是集合, 则“存在集合 C 使得 A?C, B??UC”是“A∩B=?”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 答案 C 解析 由 Venn 图易知充分性成立.反之,A∩B=?时,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C, 同时满足 A?C,B??UC. )

故“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件. 7. (2015· 北京)设 α, β 是两个不同的平面, m 是直线且 m?α.则“m∥β”是“α∥β”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 m?α,m∥β α∥β,但 m?α,α∥β?m∥β,∴m∥β 是 α∥β 的必要而不充分条件.
? ?log2x,x>0, 8.函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ?-2 +a,x≤0 ?

)

)

A.a<0 1 C. <a<1 2 答案 A

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

解析 因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+a(x≤0)没有 零点?函数 y=2x(x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察选项,根据集合间关系得{a|a<0}?{a|a≤0 或 a>1},故答案选 A. 9.“若 a≤b,则 ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个

数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 10. 若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}?{x|x<m-1 或 x>m+1}, 又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
? ? ?-1≤m-1, ?-1<m-1, ∴? 或? ∴0≤m≤2. ?m+1<3, ?m+1≤3, ? ?

11.给定两个命题 p、q,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的________条件. 答案 充分不必要 解析 若綈 p 是 q 的必要不充分条件,则 q?綈 p 但綈 p q,其逆否命题为 p?綈 q 但綈 q ?/p,所以 p 是綈 q 的充分不必要条件. 12.下列命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b; ②若 sinα=sinβ,则 α=β; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③④ 解析 对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b 正确; 对于②,sin30° =sin150° 30° =150° , 所以②错误; 对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a?a=0 且 A1C2≠A2C1,所以③正确; ④显然正确. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 13.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 C )

解析

先证 “a>b” ? “a|a|>b|b|”. 若 a>b≥0 ,则 a2>b2 ,即 a|a|>b|b| ;若 a≥0>b ,则

a|a|≥0>b|b|;若 0>a>b,则 a2<b2,即-a|a|<-b|b|,从而 a|a|>b|b|. 再证“a|a|>b|b|”?“a>b”.若 a,b≥0,则由 a|a|>b|b|,得 a2>b2,故 a>b;若 a,b≤0,则 由 a|a|>b|b|,得-a2>-b2,即 a2<b2,故 a>b;若 a≥0,b<0,则 a>b. 综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
2 14.(2015· 湖北)设 a1,a2,?,an∈R,n≥3.若 p:a1,a2,?,an 成等比数列;q:(a2 1+a2+? 2 2 2 2 +a2 n-1)(a2+a3+?+an)=(a1a2+a2a3+?+an-1an) ,则(

)

A.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 答案 B
2 2 2 2 2 2 解析 若 p 成立,设 a1,a2,?,an 的公比为 q,则(a2 1+a2+?+an-1)(a2+a3+?+an)=a1(1 2 2n 4 2 2 +q2+?+q2n 4)· a2 ) = a1 a2 (1+q2+?+q2n 4)2,(a1a2+a2a3+?+an-1an)2 2(1+ q +?+ q
- - -

=(a1a2)2(1+q2+?+q2n 4)2,故 q 成立,故 p 是 q 的充分条件.取 a1=a2=?=an=0,则 q


成立,而 p 不成立,故 p 不是 q 的必要条件,故选 B. 15.(2015· 浙江)设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中 card(A) 表示有限集 A 中元素的个数, 命题①:对任意有限集 A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),( A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 答案 A 解析 命题 ① 成立,若 A≠B ,则 card(A∪B)>card(A∩B) ,所以 d(A , B) = card(A∪B) - )

card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推,故“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②成立,由 Venn 图, 知 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C), d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C), ∴d(A,B)+d(B,C)-d(A,C) = card(A) + card(B) - 2card(A∩B) + card(B) + card(C) - 2card(B∩C) - [card(A) + card(C) - 2card(A∩C)]

=2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C) =2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)] ≥2card(B)+2card(A∩C)-2[card((A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)] =[2card(B)-2(card(A∪C)∩B)]+[2card(A∩C)-2card(A∩B∩C)]≥0, ∴d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得证.
? 1 x ? 16.已知集合 A=?x|2<2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个充分 ? ?

不必要条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)
? 1 x ? 解析 A=?x|2<2 <8,x∈R?={x|-1<x<3}, ? ?

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A?B,∴m+1>3,即 m>2. 17.设 a,b 为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的________条件. 答案 充分不必要 解析 ∵a-b>1,即 a>b+1. 又∵a,b 为正数, ∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1, 即 a2-b2>1 成立, 反之, 当 a= 3, b=1 时, 满足 a2-b2>1, 但 a-b>1 不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件. 18.下列四个结论中: ①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;②在△ABC 中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件;③若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 全不为零”的充要条 件;④若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④ 解析 由 λ=0 可以推出 λa=0,但是由 λa=0 不一定推出 λ=0 成立,所以①正确. 由 AB2+AC2=BC2 可以推出△ABC 是直角三角形, 但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个 角是直角,所以②不正确. 由 a2+b2≠0 可以推出 a,b 不全为零, 反之,由 a,b 不全为零可以推出 a2+b2≠0, 所以“a2+b2≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件,而不是“a,b 全不为零”的充要条件, ③不正确,④正确.


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