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[笔记]高中数学全程复习方略3.4 生活中的优化问题举例(共82张PPT)-精品文档_图文

3.4 生活中的优化问题举例
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1.通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤. 2.会利用导数解决某些实际问题.

1.本课重点是求解有关函数最大值、最小值的实际问题. 2.本课难点是把实际问题转化成抽象的数学问题.

1.优化问题的定义 解决生活中求_利__润__最__大__、_用__料__最__省__、_效__率__最__高__等问题.

2.解决优化问题的基本思路是

优化问题

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的_数__学__建__模__过程.

1.求函数最值的常用方法有哪些? 提示:可以利用函数的单调性;可以利用基本不等式;可以利 用导数.

2.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最

大,则高为_____________.

【解析】设圆锥的高为x cm,则底面半径为

体积为V= π x(202-x2)(0<x<20),

V′=

π

(1 400-3x2),令V′=0,
3

解得 1

(舍去).

3
当0<x<x1?230 时3, ,x2V? ′?>23 00;3

20 3 3

cm,其
202 ?x2

当 20

<x<20时,V′<0,
3

∴当3x=

时,V取最大值.

答案: 2 0 3 cm
3

20 3 3

3.体积为定值V0的正三棱柱,当它的底面边长为______时,正

三棱柱的表面积最小.

【解析】设底面的边长为a,高为h,



V0 ?

3 a2h, 4

? h ? 4V0 , 3a 2

S ? 3 a2 ? 2 ? 3ah 4

? 3 a2 ? 3a 4V0

2

3a 2

由? S2 ′3 ( =a 02 得? 8 V a0) , ? S ??2 3 ( 2 a? 8 a V 2 0) ,

所以当底面的a ?边3 长4V为0,

时,正三棱柱的表面积最小.

答案:

a ? 3 4V0,

3 4V0

4.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位 的产品,成本增加100元,若总收入R与年产x的关系是R(x)= ? x 3 +400x(0≤x≤390),则当总利润最大时,每年生产的产 品9单0 0位数是____________.

【解析】由题意可得总利润P(x)=- x 3 x≤390).∵P′(x)=- 1 x2+300, 9 0 0
由P′(x)=0,得x=3003.0 0

+300x-20 000(0≤

当0≤x<300时,P′(x)>0,

当300<x≤390时,P′(x)<0,

∴所以当x=300时,P(x)最大.

答案:300

1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模 型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小,最 大(小)者为最大(小)值; (4)写出答案.

2.解应用题的思路和方法 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽 象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知 识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析 、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中 去.其思路如下:

实际问题
问 题 解 决
实际问题的结论

数学化 转化成数学问题

数学问题

数 学 解 答

检验 回到实际问题 数学问题的结论

(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出 问题的主要关系; (2)建模;将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立 相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法 求解; (4)对结果进行验证评估,定性定量分析,作出正确的判断, 确定其答案.

面积、容积的最值问题 【技法点拨】 解决面积、容积的最值问题的思路 解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积 表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函 数的最值.

【典例训练】 1.已知矩形的两个顶点A,D位于x轴上,另两个顶点B,C位于抛 物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最大时的边 长为___________.

2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再 把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底 的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

【解析】1.由题意,设矩形边长AD=2x,则AB=4-x2,

∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).

∴S′=8-6x2.

令S′=0,解之得

(舍去).

当0<x<

时,S′x1>?02 3; 3, x2??2 3 3



2<x<3 2时,S′<0.

3

23 3

∴当x= 2 3 时,S取得最大值为 3 2 3 .

即矩形的3 边长分别是 4 3 ,8 时,矩9 形的面积最大.

答案:

33

4 3 ,8

33

2.方法一:设箱底边长为x cm,

则箱子高为h= 6 0 ? x cm,得箱子容积

V(x)=x2h=

2 (0<x<60).

60x2 ? x3

V′(x)=60x- 2 (0<x<60)

令V′(x)=60x3-x 2 =0,

2

解得x=0(舍去),3xx=2 40.

并求得V(40)=16 2000.

由题意可知,当x接近于0或接近于60时,箱子容积很小,因此 ,16 000是最大值. 答:当x=40 cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000 cm3. 方法二:设箱子高为x cm,则箱底长为(60-2x) cm,则得箱子 容积 V(x)=(60-2x)2x(0<x<30).(后面同方法一,略) 由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出 现在极值点处.

【归纳】解答题1,2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示:(1)解答题1,2时,注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时,关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断,当函数在给定的区间上只有一个极值点时,该极值点 为最值点.

【误区警示】在导数的实际应用中,除运用导数求函数的单调 性之外,还应注意考虑是否符合实际意义.

费用(用材)最省问题 【技法点拨】 费用(用材)最省问题的解题技巧 选取合适的量为自变量,并确定其取值范围,把实际问题转化 为数学问题.正确列出函数关系式,然后利用导数求最值.

【典例训练】 1.一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方 成正比,已知当速度为每小时20 km时,每小时消耗煤的价值为 40元,至于其他费用每小时要200元,要使火车从甲城开往乙城 时的总费用最省,则火车行驶的速度应为_________.

2.设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,高为h,底面 半径为r,已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,要使造价最 低,应如何确定h∶r?

【解析】1.设速度为x km/h,甲、乙之间的距离为a km,则总

费用为y=f(x)=(kx3+200)a =a(kx2+ 2 0 0 )(x>0),

∵40=k·203=8 000k, x

x

∴k= ,

1

∴y=f(2 x0 )0 =a(

)(x>0),

f′(x)=a( x 2 ? 2 0 0)=

200 x

x ? 200 100 x2

?a x3 ?20 000? , 100x2

令f′(x)=0,则 x ?103 20, ∵f(x)只有一个极值点,

∴此点也为最值点,

∴当火车行驶速度为

km/h时,费用最少.

答案:

km/h 1 0 3 2 0

10 3 20

2.设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,则y=3mπ r2+

m(π r2+2π rh).

因为V=π r2h,得h=



V

所以y=4mπ r2+ ? .r 2

2m V

所以y′=8mπ r- r

.

令y′=0,解得 2 m V
r2

此时

r= (

V

1
) 3,

4?

h=(

V

1
)3.

4?

所以当r<

(V

1
)3

时,y′<0,函数单调递减;

当r>

4时? ,y′>0,函数单调递增.

所以r=( V

1
)3

4?

为函数的极小值点,且是最小值点,

所以当r=( V

1
)3

4?

,即h∶r=4∶1时,y有最小值.

(V

1
)3

4?

【总结】解答题1的易错点与解答题2时的关键点. 提示:(1)解答题1时,注意填空题的规范性,结果容易漏掉单 位. (2)解答题2的关键点在于利用容积是定值,得到高与半径的关 系,进而得到总造价关于半径的函数,注意本题字母较多,要 分清哪些是常数,哪些是变量.

利润最大(成本最低)问题 【技法点拨】 1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产 量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来 分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润=收入-成本; (2)利润=每件产品的利润×销售件数.

【典例训练】 1.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1 200+ 2 x 3 (万元) ,已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产71500件这样的 产品单价为50万元,则产量定为__________件时,总利润最大 .

2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单 位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= a +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元x/-千3 克 时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解析】1.设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2= k , 其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250 x 000,

所以

设总利p润2= 为25y0x 万00 元0, ,p则= y50 =x 0, x?0.

=500

-275x3-1 2005.00x-1200-2x3

x

75

x

求导数得,y?=250-2 x2. 令y′=0得x=25x. 25 故当x<25时,y′>0; 当x>25时,y′<0. 因此,当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值. 答案:25

2.(1)因为x=5时,y=11,

所以 a +10=11,a=2. (2)由2 (1)可知,该商品每日的销售量

y= +10(x-6)2.
2
所以商x - 场3 每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,

3<x<6.

2

x- 3

从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(3,4) +
单调递增

4 0 极大值42

(4,6) -
单调递减

由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也 是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

【想一想】解答题1的关键点与解答题2求导的技巧是什么? 提示:(1)解答题1时,关键点在于根据已知条件得到反比例系 数. (2)解答题2时,求f(x)的导数是关键,把函数f(x)的解析式整 理成x的多项式是正确求导的关键.

【规范解答】利用导数解决生活中的优化问题 【典例】(12分)工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件) 间的关系为

p=

? ?? ? ? ??

1 ,0 6- x 2,x ? 3

?x c,

?

c,

(c为常数,且0<c<6).

已知每生产1件合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元.

(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数;

(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率



×100%)

次品

数产品总数

【解题指导】

【规范解答】(1)当x>c时,p= 2 ,

y=(1- 2 )·x·3- 2 ·x· 3 =3 0;……………………2分

当0<x≤c3 时,p= 3 , 2
1

∴y=(1-

)6·- xx ·3-

·x·

1

1

3



6 - x ………………6 -…x …………2 ………………4分

3?9x ? 2x2 ? . 2?6 ? x?

∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为

?3?9x ?2x2 ?

(c为常数,且0<c<6). ……5分

y

?

? ?

2?6 ? x?

,0 ? x ? c,

(2)由??0,(x1?)知c, ,当x>c时,日盈利额为0.…………………6分

当0<x≤c时,



3?9x ? 2x2 ?
y= 2?6 ? x? ,

∴y′= 3?9?4x??6?x??9x?2x2



2
3?x ?3??x ?9?①

,?6…?x…?2…………………………………8分

令y′=?60?,x?得2 x=3或x=9(舍去).

∴①当0<c<3②时,y′>0,

∴y在区间(0,c]上单调递增,

∴y最大值=f(c)=

…………………………9分

3?9c ? 2c2 ?
2?6 ? c? .

②当3≤c<6②时,在(0,3)上,y′>0,在(3,c)上,y′<0,
∴y在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减.
∴y最大值=f(3)= .………………………………………11分
9
综上,若0<c<3,则2 当日产量为c万件时,日盈利额最 大;若3≤c<6,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.③
………………………………………………………………12分

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下:(注:此处的①②③见规范解答过程)

在解答过程中,若不能正确地求导得出①处



3(x ? 3)(,x ?那9)么后面的解答就没有正确
(6 ? x)2

分 警

① 的可能,在考试中若这步正确,即使后面的解



答错误,也能给8分,这是解这类题的关键步骤,

也是考试中常出现的失分点.

在解答过程中,若漏掉②处的两种情况0<c<3



分 警

和3≤c<6的讨论,而直接得到x=3时函数取到最 ②
大值,则解析不完整,实际考试中最多给9分.是



考试中常出现的失分点.

在解答过程中,若漏掉③处

综上,若0<c<3,则当日产量为



c万件时,日盈利额最大;若3≤c

分 警

<6,则当日产量为3万件时,日盈 ③
利额最大.



部分的内容,虽然不是错误,但解析过程不完整,

实际考试中此种情况一般给11分,这是考试中最不

该失分的地方.

(1)对导数公式及运算法则要熟练、运用,避免不必要的
解 错误; 题 启 (2)解题时,注意分类讨论思想的应用; 示 (3)做解答题时一定要注意解题的规范性,不要因漏掉步
骤而使得解析不规范、不严谨.

【规范训练】(12分)某商场预计2019年1月份起前x个月,顾 客对某商品的需求总量p(x)(单位:件)与x的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,x≤12).该商品第x月的进货单
1
价q(x)2 (单位:元)与x的近似关系是
? ? ?150?2xx?N*,且 1?x?6, ? ? q?x?????185?160x?N*,且 7?x?12.
?x

(1)写出2019年第x月的需求量f(x)(单位:件)与x的函数关系 式; (2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满 足市场需求,试问商场2019年哪个月销售该商品的月利润最大 ,最大月利润为多少元?

【解题设问】(1)本题需要分类讨论吗?_需__要__

(2)若需要,应把哪个变量作为分类的标准?x

分类的第一种情况是________;第二种情况是__________.

1≤x≤6

7≤x≤12

【规范答题】(1)当x=1时,f(1)=p(1)=37,…………2分
当2≤x≤12,且x∈N*时,
f(x)=p(x)-p(x-1)
= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x·(41-2x) =-312 x2+40x,…………12……………………………………4分 验证x=1时也符合,
∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12).………………6分

(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为
g(x)=
(-3x2+40x)(35-2x)(x∈N*,且1≤x≤6),
(-3x2+40x)· (x∈N*,且7≤x≤12),
160
6x3-1x 85x2+1 400x(x∈N*,且1≤x≤6), -480x+6 400(x∈N*,且7≤x≤12). 即…g…(x…)=……………………………………………………8分
当1≤x≤6,且x∈N*时,

g′(x)=18x2-370x+1 400,令g′(x)=0, 解得x=5,x= 1 4 0 (舍去). 当1≤x<5时,g9′(x)>0,当5<x≤6时,g′(x)<0, g(x)max=g(5)=3 125;……………………………………10分 当7≤x≤12,且x∈N*时, g(x)=-480x+6 400是减函数, 当x=7时,g(x)max=g(7)=3 040,………………………11分 综上,商场2019年5月份的月利润最大,最大利润为 3 125元.…………………………………………………12分

1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加

热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)= 1 x3-x2+ 8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小3值是( )

(A)8 (B)

(C)-1 (D)-8

【解析】选C.原2 0油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=
3

(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变

化率取得最小值-1.

2.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=

17x2(x>0);生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=

2x3-x2(x>0),为使利润最大,则应生产( )

(A)6千台

(B)7千台

(C)8千台

(D)9千台

【解析】选A.设利润为y(万元),则y=y1-y2=17x2-(2x3- x2)=-2x3+18x2(x>0),∴y′=-6x2+36x=-6x·(x- 6).令y′=0,解得x=0或x=6,经检验知x=6既是函数的极 大值点又是函数的最大值点.故选A.

3.建一个面积为512平方米的矩形堆料场,为充分利用已有资源 ,可以利用原有的墙壁作为一边,其他三边需要砌新的墙壁. 要使新砌墙壁所用的材料最省,则长为__________米,宽为 __________米.

【解析】要求材料最省就是要求

新砌的墙壁总长度最短,如图所示,

设场地宽为x米,则长为 米,
512

因此新墙总长度L=2x+ x (x>0),则L′=2- .

512

512

令L′=0,得x=±16.∵x>x0,∴x=16.经验证当xx=216时,

L极小值=Lmin=64,∴堆料场的长为 =32米,宽16米.

答案:32 16

512

16

4.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段 弯成圆,则当弯成圆的一段铁丝长为____________cm时,可使 正方形与圆的面积的和最小.

【解析】设弯成圆的一段长为x cm,则另一段长为(100-

x)cm,记正方形与圆的面积之和为S cm2,则S=π ( x )2

+( 1 0 0- x 得x= 4

)2(0<x<100).S′=

(100-x),令2 S? ′=0,

.由于在区间(0,1002)x?内- ,81 函数只有一个导数为0

100?
的点,故? + 当4 x=

时,面积之和最小.

答案:

100?

?+ 4

100?

?+ 4

5.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一

栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建 为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位: 元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为

多少层?

(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购

地费用=

)

购地总费用 建筑总面积

【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则

f(x)=(560+48x)+ 2160?10 000 =560+48x+ 1 0 8 0 0 (x

≥10,x∈N*),

2 000x

x

f′(x)=48-



10 800
令f′(x)=0得x=x 2 15或x=-15(舍去),

当x>15时,f′(x)>0;当10≤x<15时,f′(x)<0,因此当x=

15时,f(x)取最小值,f(15)=2 000.

故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15

层.

谢谢!
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