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江苏省盐城市建湖县第二中学2015-2016学年高二数学5月阶段考试试题


江苏省盐城市建湖县第二中学 2015-2016 学年高二数学 5 月阶段考试 试题
时间:120 分钟 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.命题“ ? ”的否定是 x ? 2 ? 0 x?R, x ?
2



. ▲ .

2.设复数 z 满足 i ,则 z 的实部为 z? ?? 3 i( i 为虚数单位)

3.某校高一年级有 400 人,高二年级有 600 人,高三年级有 500 人,现要采取分层抽样的 方法从全校学生中选出 100 名学生进行问卷调查,那么抽出的样本中高二年级的学生人 数为 ▲ .
2

4. “ x ? 2 ”是“ x ? 4?0”的



条件 (在“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充

要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空). 5.一个盒子中放有大小相同的 3 个白球和 1 个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不 同色的概率为 ▲ . 6.根据如图所示的伪代码,可知输出的 S 的值为 ▲ .

i ? 1

7. 在平面直角坐标系 xO y 中, 已知中心在坐标原点的双曲线 C 经过点 (1, 0) , 且它的右焦点 F 与抛物线 y ? 8x 的焦点相同,则该双曲线的标准方程
2

W h ile i ? 8 i ? i? 2 S ? 2i? 3 E n d W h ile P r in t S
第6题







? y ? x, ? 8.已知点 P?x , y? 在不等式组 ? y ? ? x , 所表示 ?x ? 2 ?
的平面区域内,则 z? 2 x?y 的最大值为 ▲ .

9.已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 ? 2 , 3 ? ? 3 , 4? ? 4 ,?., 15 15 8 8 3 3 a a ?6 ( a , b 均为正实数) ,则 a ? b = b b
▲ .

类比这些等式,若 6 ?

10. (理科学生做)已知 ( x ?

3

2 n ) 展开式中所有项的二项式系数和为 32,则其展开式中 x
1

的常数项为





(文科学生做)已知平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 2 , |a ,则向量 a , b 夹角的 ? 2 b |? 5 余弦值为 ▲ . 11. (理科学生做)现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动,若甲、乙两名同学不能同时 入选,则共有 ▲ 种不同的选派方案.(用数字作答) (文科学生做)设函数 f (x) ?

ex ?ae?x 是奇函数,则实数 a 的值为 x2
2





12.设正实数 x, y, z 满足 x ,则当 ? 3 x y ? 9 y ? z ? 0
2

xy x 取得最大值时, 的值为 z y




x

13.若函数 f () x? ( m x ? 1 ) e在 (0, ??) 上单调递增,则实数 m 的取值范围是





14. 设点 P 为函数 f (x 与g 以P 为 ) ? x ?2 ax () x ? 3l an x ? 2 b (a ? 0) 图象的公共点,
2
2

1 2

切点可作直线 l 与两曲线都相切,则实数 b 的最大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (理科学生做)设某地区 O 型血的人数占总人口数的比为

1 ,现从中随机抽取 3 人. 2

(1)求 3 人中恰有 2 人为 O 型血的概率; (2)记 O 型血的人数为 ? ,求 ? 的概率分布与数学期望.
2 (文科学生做)给定两个命题, p :对任意实数 x 都有 a 恒成立; q : x ? a x ?? 10 2 .如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围. a ? 8 a ? 2 0 ? 0

16. (本小题满分 14 分) 2 (理科学生做)设数列 ? a n ? 满足 a1 ? 3 , a . ? a ? 2 n a ? 2 n ? 1 n n (1) 求 a2,a 3,a 4; (2)先猜想出 ? a n ? 的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想.

? 0 , ? ? 0 , ? ? ? (文科学生做)已知函数 fx (A )的一段图象如图所 ( ) ? A s i n (x ? )
示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (3)若 x ?[?

? ?

3? ? , ] ,求函数 f ( x ) 的值域. 8 4
2

17. (本小题满分 14 分) (理科学生做)如图,在直三棱柱 A 中,?ACB ? B C ? A B C 1 1 1 点,且 A C ? B C ? AA 1 ?2. (1)求直线 B C 1 与 A1 D 所成角的大小; (2)求直线 A1 E 与平面 A1CD 所成角的正弦值. A1 E C A D 第 17 题 B

?
2

, D , E 分别是 AB, BB 1 的中 C1 B1

2 x? a x )? ( a? 2 ). (文科学生做)设函数 f( x? 1
(1)用反证法证明:函数 f ( x ) 不可能为偶函数;

?? , 1 )上单调递减的充要条件是 a ? 2 . (2)求证:函数 f ( x ) 在 (?

18. (本小题满分 16 分) 如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆 P 构成,其底端三点 H , H A , H B , H C ,P A , B,C 均匀地固定在半径为 3 m 的圆 O 上(圆 O 在地面上) , H,O三点相异且共线,

P O 与 地 面 垂 直 . 现 要 求 点 P 到 地 面 的 距 离 恰 为 3 3m , 记 用 料 总 长 为 ,设 ? . L ? P H ? H A ? H B ? H C H A O ? ? P (1)试将 L 表示为 ? 的函数,并注明定义域; (2)当 ? 的正弦值是多少时,用料最省?

H

C B θ A 第 18 题 O

3

19. (本小题满分 16 分)
2 2 x y 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ),其中 b ? a, 2 2 a b 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 过椭圆 E 内一点 P (1,1) 的两条直线分别与椭圆交于点 A , C 和 B , D ,且满足 A , P ? ? P C ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ,其中 ? 为正常数. 当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 ? ? . B P ? ? P D 7 (1)求椭圆 E 的离心率; (2)求 a 与 b 的值; y (3)当 ? 变化时, k A B 是否为定值?若是,请求出此定值;

如图所示,在平面直角坐标系 xO y 中,设椭圆 E :

若不是,请说明理由.

A

D P O C 第 19 题

B x

20. (本小题满分 16 分) 3 2 (a?R) . () x ? x ? 3 x ? a x 设函数 f (1)当 a ? ? 9时,求函数 f ( x ) 的极大值;

( x ) ? ? x ln x (2)若函数 f ( x ) 的图象与函数 ? 的图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围;
( )? | f( x ) |,当 a ? 0 时,求函数 g ( x ) 的单调减区间. (3)设 gx

4

建湖县第二中学高二数学独立练习参考答案 时间:120 分钟 2016.05.21

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.命题“ ? ”的否定是 x ? 2 ? 0 x?R, x ?
2





【知识点】命 题 的 否 定 ’ 【答案解析】 ? 解析 :解 : ∵ 命 题 “ ? ”是 x ? 2 ? 0 x?R, x ? xR ? , x ? x ? 20 ?
2

2

特 称 命 题 ,∴ 否 定 命 题 为 : ? . xR ? , x ? x ? 20 ?
2

故答案为: ? . xR ? , x ? x ? 20 ?
2

【思路点拨】由 于 命 题 是 一 个 特 称 命 题 , 故 其 否 定 是 全 称 命 题 , 根 据 特 称 命 题 的 否定的格式即可. 2.设复数 z 满足 i ,则 z 的实部为 ▲ . z? ?? 3 i( i 为虚数单位) 【知识点】复 数 代 数 形 式 的 混 合 运 算 ; 复 数 的 基 本 概 念 . 【答案解析】1 解析 :解:由 i = z? ?? 3 i, 得 z

-3 + i ) 3 + i ( )=+ (-i = 13 i, i i ) (-i

则 z 的实部为 1. 故 答 案 为 : 1. 【思路点拨】由 i z? ?? 3 i, 两 边 除 以 i , 按 照 复 数 除 法 运 算 法 则 化 简 计 算 . 3.某校高一年级有 400 人,高二年级有 600 人,高三年级有 500 人,现要采取分层抽样的 方法从全校学生中选出 100 名学生进行问卷调查,那么抽出的样本中高二年级的学生人 数为 ▲ .

【知识点】分 层 抽 样 的 方 法 . 【答案解析】40 解析 :解 : 设 从 高 二学 生 中 抽 取 的 人 数 应 为 x , 根 据 分 层 抽 样 的 定义和方法可得

x 600 , 解 得 x=40, = 100 1500

故 答 案 为 40. 【思路点拨】设 从 高 二学 生 中 抽 取 的 人 数 应 为 x ,根 据 分 层 抽 样 的 定 义 和 方 法 可 得

x 600 = ,由此求得 x 的值,即为所求. 100 1500
4?0”的 4. “ x ? 2 ”是“ x ?
2



条件 (在“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充

要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空). 【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 .

4?0, 得 x > 2 或 x < -2 . 即 q : x > 2 或 x 【答案解析】充分不必要解析 :解 : 由 x ?
2

4?0的 充 分 不 必 要 条 件 , < -2 . ∴ x ? 2 是 x ?
2

5

故 答 案 为 : 充分不必要.
2 【思路点拨】求 出 x ? 4?0成 立 的 条 件 , 根 据 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判

断. 5.一个盒子中放有大小相同的 3 个白球和 1 个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不 同色的概率为 ▲ . 【知识点】古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 . 【答案解析】

1 2 解析 :解:∵ 总 个 数 n=C , 6 4 = 2
1

∵事件 A 中包含的基本事件的个数 m ,∴ p = =C 3 3 = 故答案为:

m 3 1 = = n 6 2

1 . 2
2 1

【思路点拨】算 出 基 本 事 件 的 总 个 数 n=C 4 =6 , 再 算 出 事 件 A 中 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 m=C 3 =3 , 算 出 事 件 A 的 概 率 , 即 P ( A ) =

m 即可. n

6.根据如图所示的伪代码,可知输出的 S 的值为 ▲ . 【知识点】伪 代 码 . 【答案解析】21解析 :解:由 题 意 , 第 一 次 循 环 , i=3 , S=2 × 3+3=9 ; 第 二 次 循 环 , i=5 , S=2 × 5+3=13 ; 第 三 次 循 环 , i=7 , S=2 × 7+3=17 ; 第 四 次 循 环 , i=9 , S=2 × 9+3=21 , 退 出 循 环 故 答 案 为 : 21 【思路点拨】第 一 次 循 环 , i=3 , S=2 × 3+3=9 ;第 二 次 循 环 , i=5 , S=2 × 5+3=13 ;第 三 次 循 环 , i=7 , S=2 × 7+3=17 ;第 四 次 循 环 , i=9 , S=2 × 9+3=21 , 退 出 循 环 , 故 可 得 结 论 . 7.在平面直角坐标系 xO y 中, 已知中心在坐标原点的双曲线 C 经过点 (1, 0) , 且它的右焦点 F 与抛物线 y ? 8x 的焦点相同,则该双曲线的标准方程
2

i ? 1 W h ile i ? 8 i ? i? 2 S ? 2i? 3 E n d W h ile P r in t S
第6题

为 ▲ . 【知识点】抛 物 线 、 双 曲 线 方 程 .

y2 ? 1 解析 :解:抛 物 线 y2 ? 8x 的 焦 点 坐 标 为( 2 , 0 ),则 双曲 【答案解析】 x ? 3
2

线 C 的右焦点 F ( 2 , 0 ) , 所 以 a + , b= 4

2

2

设双曲线方程为

x2 y 2 1 2 2 - 2= 1, 代 入 点 ( 1 , 0 ) , 可 得 2 = 1 ,即 a = 1 , b = 3 . 2 a b a
2

∴双曲线的方程为 x ?

y2 ? 1. 3

y2 ? 1. 故答案为: x ? 3
2

6

【思路点拨】求 出 抛 物 线 y ? 8x 的 焦 点 坐 标 , 可 得 双 曲 线 的 一 个 顶 点 , 设 出 双 曲
2

线方程,代入点的坐标,即可求出双曲线的方程.

? y ? x, ? 8.已知点 P?x , y? 在不等式组 ? y ? ? x , 所表示的平面区域内,则 z? 2 x?y 的最大值为 ?x ? 2 ?
▲ . 【知识点】简 单 线 性 规 划 .

? y ? x, ? 【答案解析】6 解析:解: P( x , y )在 不 等 式 组 ? y ? ? x , 表 示 的 平 面 区 域 内 ,如 图 : ?x ? 2 ?

所 以 z=2x+y 的 经 过 A 即 í

ì? y = x 的 交 点 ( 2 , 2 ) 时 取 得 最 大 值 : 2 × 2+2=6 . ?? x = 2

故 答 案 为 : 6. 【思路 点拨】画 出 约 束 条 件 表 示 的 可 行 域 , 确 定 目 标 函 数 经 过 的 位 置 , 求 出 最 大 值即可. 9 .已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 ?2 ?4 , 3? ? 3 , 4? ,?.,类比这些等式,若 15 15 8 8 3 3
▲ .

6?

a a ?6 ( a , b 均为正实数) ,则 a ? b = b b

【知识点】类 比 推 理 . 【答案解析】41 解析 :解:观 察 下 列 等 式

2?

2 2 3 3 ? 2 , 3? ? 3 , 8 8 3 3
n +1
2

4?

n +1 4 4 ?4 ,?.,第 n 个 应 该 是 n +1+ = ( n +1 ) 2 15 15 ( n +1) - 1
2

( n+1)

-1

则 第 5 个 等 式 中 : a=6 , b=a -1=35,a+b=41 . 故 答 案 为 : 41 . 【思路点拨】根据观 察 所 给 的 等 式 , 归 纳 出 第 n 个 式 子 , 即 可 写 出 结 果 .
7

10. (理科学生做)已知 ( x ?

2 n ) 展开式中所有项的二项式系数和为 32,则其展开式中 3 x

的常数项为 ▲ . 【知识点】二项式定理. 【答案解析】 ? 80 解析 :解:因为展开式中所有项的二项式系数和为: ,解得 n = 5 ,由二项式展开式 T C C + C + C + . . . + C = 2 = 3 2 r + 1=
5- r r 2 3

0 n

1 n

2 n

n n

n

r 5

( x)

5 -r

骣2 琪 -3 琪 x 桫

r

整理得: - 2 C x . -8 0 ) C= (-2
3 5 3

( )

r

r 5

,所以

5- r r - = 0 ,故 r = 3 ,则其展开式中的常数项为: 2 3

故答案为: - 80 . 【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出 n ,然后欲求展开式中的常数项,则令x的指 数

5- r r - = 0 可求得结果. 2 3

(文科学生做)已知平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 2 , |a ,则向量 a , b 夹角的 ? 2 b |? 5 余弦值为 ▲ . 【知识点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角 . 【答案解析】

5

16 ? ? ?? ? ? 2 2 ,解得: a ? b a+ 4 b+ 4 ab ? 2 5 5 16
.

解析 :解:设 向 量 a , b 的 夹 角 为 q ; 因为 |a ,平方变形得: ? 2 b | ? 5

? ?

? ? 5 a× b 5 ,所以 cosq = ? ? = . 4 a ×b 16

故答案为:

【思路点拨】先 设 出 其 夹 角 ,根 据 已 知 条 件 整 理 出 关 于 夹 角 的 等 式 ,解 方 程 即 可 . 11. (理科学生做)现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动,若甲、乙两名同学不能同时 入选,则共有 ▲ 种不同的选派方案.(用数字作答) 【知识点】排 列 组 合 及 简 单 计 数 问 题 . 【答案解析】55 解析 :解:从 8 名学生中选出 4 人, 共 有 C8 = 70 种 选 法 , 其 中 甲 乙 同 时 参 加 的 有 C6 =15 种 选 法 , 所 以 从 8 名学生中选出 4 人, 甲 乙 不 同 时 参 加 的 选 法 有 70-15=55 种 , 故 答 案 为 55 . 【思路点拨】所 有 选 法 共 有 C
4 8 2 4

种,减去甲乙同时参加的情况 C

2 6

种即可.

ex ?ae?x (文科学生做)设函数 f (x) ? 是奇函数,则实数 a 的值为 x2
【知识点】奇函数的定义.





8

【答案解析】 ? 1 解析 :解:因为函数 f (x) ?

ex ?ae?x e- x +aex ,所以 , f ( x ) = x2 (- x)2
x -x -x x e + a e e + a e ,解得 a =- 1, + = 0 2 2 x ( -x )

又因为函数是奇函数,所以 f ,即 () x +f (x ) = 0

故答案为: ? 1 . 【思路点拨】利用奇函数的定义 f 解方程即可. () x +f (x ) = 0 12 . 设 正 实 数 x, y, z 满 足 x ,则当 ? 3 x y ? 9 y ? z ? 0
2 2

xy x 取得最大值时, 的值为 z y

▲ . 【知识点】基本不等式. 【 答 案 解 析 】 3 解 析 : 解 : 因 为 x, y, z 为 正 实 数 , 且 x ,则 ? 3 x y ? 9 y ? z ? 0
2 2 2 2 ,所以 z ? x ? 3 x y ? 9 y

x y x y 1 1 1 ?2 ? ? ? ,当且仅当 2 9 y z x? 3 x y ? 9 y x ? 3 ? ? 3 293 y x

x = 3y 时等号成立,此时
故答案为3.

x =3. y
xy 并判断出等号成立的条件即可. z
▲ .

【思路点拨】把原式整理代入

13.若函数 f () x? ( m x ? 1 ) e在 (0, ??) 上单调递增,则实数 m 的取值范围是
x

【知识点】函数的单调性;不等式恒成立问题. 【答案解析】 ?1, ?? ? 解析 :解:因为 f 在 (0, ??) 上单调递增,即 () x? ( m x ? 1 ) e
x
x ? f ( x ) = em + m 10 > 在 (0, ??) 上恒成立,令 g ,即 () x = m xm +1 ) (x

在 (0, ??) 上恒成立,故 g(0 g ( x ) = m x + m -> 1 0 ) ? 0,则 m ? 1. 故答案为: ?1, ?? ? . 【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题,然后求解即可.

) ? x ?2 ax 14. 设点 P 为函数 f (x 与g 以P 为 () x ? 3l an x ? 2 b (a ? 0) 图象的公共点,
2
2

1 2

切点可作直线 l 与两曲线都相切,则实数 b 的最大值为 【知识点】导数的几何意义;利用导数求最大值.





9

1 2 ? 2 3 3 ? y0 ? x0 ? 2ax0 【答案解析】 e 解析 :解:设点 P 坐标为 ? x0 , y0 ? ,则有 ? ,因为以 2 4 2 ? ? y0 ? 3a ln x0 ? 2b

? ? ,即 x0 ? 2a ? ? f ( x ) ? g ( x ) P 为切点可作直线 l 与两曲线都相切,所以 k 0 0

3a2 , x0

? 5a 2 ? 5a 2 ;所以点 P 坐标为 ? a , ?x0 ?a, 或 x0 ?? 3 a由 (a ? 0) ,故 x0 ? a ,此时 y 0 ? ?, 2 ? 2 ?
5 a2 3 a2 代入 g 整理得: b? ? lna, () x ? 3l an x ? 2 b 4 2
2

1 5 3 3 ? ? ,令 ,即 ,得 ,可判 a ? e b ? 0 a ? 3 a l n a ? 0 ? b ? a ? 2 aa l n ?? a a ? 3 aa l n ? ? 2 2

?1 ? ?1 ? 3 3 5 e 3 ? ? ?e ? 1 1 32 ? ? ? ? 3 3 3 断当 a ? e 时有极大值也是最大值,? , b? ? l ne ? e 4 2 4
3 故答案为: e 3 . 4
【思路点拨】设点 P 坐标为 ? x0 , y0 ? 满足两个函数解析式成立,再借助于斜率相同可解得a, 代入函数 g ( x ) ,最后利用导数求最大值即可. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (理科学生做)设某地区 O 型血的人数占总人口数的比为
2

2

2

1 ,现从中随机抽取 3 人. 2

(1)求 3 人中恰有 2 人为 O 型血的概率; (2)记 O 型血的人数为 ? ,求 ? 的概率分布与数学期望. 【知识点】n次独立重复试验恰有k次发生的概率;分布列;期望. 【答案解析】(1)

3 3 (2) 8 2

解析 :解:(1)由题意,随机抽取一人,是 O 型血的概率为

1 , 2

????2 分

3 2 1 3 ????6 分 ? 3 人中有 2 人为 O 型血的概率为 P?C 3( ) ? . 2 8 (2) ? 的可能取值为 0,1,2,3, ????8 分 3 0 13 1 1 13 2 13 3 ( ?? 0 )? C ( ?? 1 )? C ()? , P ( ?? 2 )? C ? P 3( ) ? , P 3 3( ) ? , 2 8 2 8 2 8 1 1 3 3 ????12 分 P ( ?? 3 )? C 3( ) ? , 2 8
10

? E (? ) ?

3 . 2

????14 分

【思路点拨】(1)代入n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式即可;(2)根据n次独 立重复试验恰有k次发生的概率的公式依次求出 ? 为0,1,2,3,时的概率,最后求出期望 值.
2 (文科学生做)给定两个命题, p :对任意实数 x 都有 a 恒成立; q : x ? a x ?? 10

2 .如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围. a ? 8 a ? 2 0 ? 0

试题解析:解:命题 p :ax +ax+1>0 恒成立 当 a=0 时,不等式恒成立,满足题意) 当 a≠0 时, ,解得 0<a<4

2

∴0≤a<4 2 命题 q :a +8a﹣20<0 解得﹣10<a<2 ∵ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题∴ p , q 有且只有一个为真, 当 p 真 q 假时 ?

?0 ? a ? 4 ?a?4 得2 a?2 ?a ? ?10或 ?a ? 0或a ? 4 1 0 ? a ? 0 得? ??10 ? a ? 2

当 p 假 q 真时 ?

所以﹣10<a<0 或 2≤a<4 16. (本小题满分 14 分) 2 (理科学生做)设数列 ? a n ? 满足 a1 ? 3 , a . ? a ? 2 n a ? 2 n ? 1 n n (1) 求 a2,a 3,a 4; (2)先猜想出 ? a n ? 的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想. 【知识点】数 学 归 纳 法 ; 归 纳 推 理 .

= 5 , a = 7 , a = 9 ; 【答案解析】(1) a (2) a ,证明见解析. 2 n? 1 n? 2 3 4
2 2 解析 :解:(1)由条件 a ,依次得 a , ? a ? 2 n a ? 2 ? a ? 2 a ?? 25 n ? 1 n n 2 1 1
2 2 ,a , a ? a ? 4 a ?? 27 ? a ? 6 a ?? 29 3 2 2 4 3 3 (2)由(1) ,猜想 a . 2 n? 1 n? 下用数学归纳法证明之: ①当 n ? 1 时, a ,猜想成立; ???? 3 211 1 ②假设当 n ? k 时,猜想成立,即有 a , 2 k? 1 k? 2 k ? 1 k k

????6 分 ????7 分 ???8 分 ????9 分

1 则当 n?k? 时,有 a , ? a ? 2 k a ? 2 ? a ( a ? 2 kk ) ? 2 ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ? 2 ? 2 ( k ? 1 ) ? 1 k k 1 即当 n?k? 时猜想也成立, ????13 分 a 综合①②知,数列 ? n ? 通项公式为 a . ????14 分 2 n? 1 n?
【思路点拨】( 1 ) 直 接 利 用 已 知 关 系 式 , 通 过 n=1 , 2 , 3 , 4 , 求 出 a 2 , a 3 , a 4 ; ( 2 )利 用( 1 )猜 想 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 ,利 用 数 学 归 纳 法 证 明 的 步 骤 证 明 即 可 .

? 0 , ? ? 0 ,? ? ? (文科学生做)已知函数 fx (A )的一段图象如图所 ( ) ? A s i n (x ? )
11

? ?

示.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (3)若 x ?[?

3? ? , ] ,求函数 f ( x ) 的值域. 8 4

3 ?? ? ? A ? 2 , T ? 2 ? ? ? ? ? 2? ? 2 ? ?? ?8 8 ? ,∴ T (1)由题意知: , ? ?? ? ? 2 s i n [ 2 ? ? ?? ? ]? 2 ?? ? ?2 k ? ? (k?Z) , 8 ? ? 4 2 又 ,∴

??

3? 3 ? ? ? ? 2k? ? ? ? (k?Z) ,又 4 . 4 ,∴

∴函数 f ( x ) 的解析式:

3 ? f( x )? 2 s i n ( 2 x ? ) 4 .

?2 3 ?2 ? 5 ? ? 2 k ? ?? x ? ? k ? ? k ?? ?x? k ?? 2 4 2 8 8, (2)由 , k ?Z ,得
5 ? ? [k ?? ,k ?? ] 8 8 , k ?Z , 所以 f ( x ) 的增区间为 x ?[?
(3)∵

3? ? 3 ? 5 ? , ] 2 x? ? [0 , ] 8 4 ,∴ 4 4 ,

3 ? 2 s i n ( 2 x ? ) ? [ ?2 ,2 ] 4 ∴ .
∴值域为 [? 2,2] 17. (本小题满分 14 分) (理科学生做)如图,在直三棱柱 A 中,?ACB ? B C ? A B C 1 1 1

?
2

, D , E 分别是 AB, BB 1 的中

12

点,且 A C ? B C ? AA 1 ?2. (1)求直线 B C 1 与 A1 D 所成角的大小; (2)求直线 A1 E 与平面 A1CD 所成角的正弦值. 【知识点】异面直线所成的角;直线与平面所成的角. A1

C1

B1 E

C D 【答案解析】(1)

B

A ? 3 (2) 第 17 题 3 6 解析 :解:分别以 CA 、 CB 、 CC 1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得: A ,0 ,2 ), B ,2 ,2 ), C ,0 ,2 ), (2 ,0 ,0 ), B (0 ,2 ,0 ), C (0 ,0 ,0 ), A 1(2 1(0 1(0 又? D , E 分别是 AB, BB ????3 分 ( 1 ,1 ,0 ), E (0 ,2 ,1 ). 1 的中点,? D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)因为 B , A , C ( 0 ,? 2 ,2 ) D ?? (1 , 1 ,? 2 ) 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B C ? A D ? 6 3 1 1 所以 c ????7 分 o s B C , A D ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 2 ? 6 B C ? A D 1 1

? . ????8 分 6 ???? ? ? ? C A1 ? e ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 ? (2)设平面 A1CD 的一个法向量为 e?(x ,得 ? , ,y ,z ),由 ? ???? ? x ? y ? 0 C D ? e ? 0 ? ? ? ? ????10 分 ? 可取 e? ( 1 ,? 1 ,? 1 ), ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A E ? e ? 3 3 1 ? ? ? ? ?? c o s A E , e ? ? ? , ??13 分 又? A ,所以 E ?? ( 2 ,2 , ? 1 ) 1 1 3 |A E | . | e | 33 ? 1
? 直线 BC 1 与 A1 D 所成角的大小为 ? 直线 A 1 E 与平面 A1CD 所成角的正弦值为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 3

.

????14 分

【思路点拨】(1)分别以 CA 、 CB 、 CC 1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得 B ,然后利用向量的夹角公式计算可得结 C ( 0 ,? 2 ,2 ), A D ?? (1 , 1 ,? 2 ) 1? 1 果; (2)找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可. 2 x? a x )? ( a? 2 ). (文科学生做)设函数 f( x? 1 (1)用反证法证明:函数 f ( x ) 不可能为偶函数;

?? , 1 )上单调递减的充要条件是 a ? 2 . (2)求证:函数 f ( x ) 在 (?
【知识点】反 证 法 与 放 缩 法 ; 必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 . 【答案解析】(1)见解析(2)见解析 解析 :解: (1)假设函数 f ( x ) 是偶函数, ????2分

?4? a 4? a ? ,解得 a ? 2 , ?1 3 这与 a ? 2 矛盾,所以函数 f ( x ) 不可能是偶函数. 2?a 2x ? a (2)因为 f (x) ? ,所以 f ?(x) ? . (x ?1 )2 x ?1
? 2 ) ? f( 2 ) 则 f( ,即

????4分 ????6分 ????8分

13

)? ①充分性:当 a ? 2 时, f ?(x

2?a ?0, (x? 1 )2
????10分

?? , 1 )单调递减; 所以函数 f ( x ) 在 (? ?? , 1 )单调递减时, ②必要性:当函数 f ( x ) 在 (?

)? 有 f ?(x

2?a ?0,即 a ? 2 ,又 a ? 2 ,所以 a ? 2 . (x? 1 )2

????13分

综合①②知,原命题成立. ????14分 【思路点拨】( 1 ) 假 设 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 , 则 f ( -x ) =f ( x ) ,代入利用对数 的性质,可得矛盾,即可得证; ( 2) 分 充 分 性 、 必 要 性 进 行 论 证 , 即 可 得 到 结 论 . 18. (本小题满分 16 分) 如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆 P 构成,其底端三点 H , H A , H B , H C ,P A , B,C 均匀地固定在半径为 3 m 的圆 O 上(圆 O 在地面上) , H,O三点相异且共线,

P O 与 地 面 垂 直 . 现 要 求 点 P 到 地 面 的 距 离 恰 为 3 3m , 记 用 料 总 长 为 ,设 ? . L ? P H ? H A ? H B ? H C H A O ? ? P (1)试将 L 表示为 ? 的函数,并注明定义域; (2)当 ? 的正弦值是多少时,用料最省?
【知识点】函数解析式与定义域的求法;利用导数求函数的最知.

? 33 ? 3 t a n ? ? 【答案解析】(1) L
(2) sin ? ?

9 ? , ? ? (0, ) . c o s ? 3
C

H

1 时用料最省. 3 解析 :解:(1)因 P O 与地面垂直,且 A , O ? B O ? C O ? A O H , ? B O H , ? C O H 则 是 全等的直角三角形,又圆 O 的半径为3, 3 H ? B H ? C H ? 所以 O ,A , H ? 3 t a n ? c o s ?

B θ O ????3分 A 第 18 题

9 ? 33 ? 3 t a n ? ? 又P ,所以 L , ????6分 H ? 3 33 ? t a n ? c o s ? ? ? 若点 P , H 重合,则 ta n ?? 3,即 ? ? ,所以 ? ? (0, ) , 3 3 9 ? ? 33 ? 3 t a n ? ? 从而 L , ? ? (0, ) . ????7分 c o s ? 3 9 3 ? s i n ? 3 3 ? 3 t a n ? ? 3 3 ? 3 ? (2)由(1)知 L , c o s c o s 3sin? ?1 1 ? ?3? 所以 L ,当 L? ? 0时, sin ? ? , ????11分 2 c o s? 3 1 ? ? (0 ,? ? ? 0; 令 sin ? 0 ? , ? 0 ? (0, ) ,当 ? ? (? 0 , ) 时, L? ? 0;当 ?? 0) 时, L 3 3 3 ? 所以函数 L 在 (0, ? 0 ) 上单调递减,在 ( ? 0 , ) 上单调递增, ????15分 3 1 所以当 ? ? ? 0 ,即 sin ? ? 时,L 有最小值,此时用料最省. ????16分 3

? ?

? ?

【思路点拨】(1)通过图形分别求出的值 P ,然后写出解析式并注明定义 H , H A , H B , H C ?

14

域即可; (2)利用导数结合单调性即可求出最值. 19. (本小题满分 16 分)
2 2 x y 3 如图所示,在平面直角坐标系 xO y 中,设椭圆 E : 2? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),其中 b ? a, a b 2? ? ? ? ? ? ? ? 过椭圆 E 内一点 P (1,1) 的两条直线分别与椭圆交于点 A , C 和 B , D ,且满足 A , P ? ? P C ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ,其中 ? 为正常数. 当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 ? ? . B P ? ? P D 7 (1)求椭圆 E 的离心率; y (2)求 a 与 b 的值; (3)当 ? 变化时, k A B 是否为定值?若是,请求出此定值;

若不是,请说明理由.

A

D P O

B x C

【知识点】椭圆的性质;椭圆的标准方程;根与系数的关系.

1 3 【答案解析】(1) (2) a ? 2 ,b ? 3(3) k AB ? ? 为定值. 2 4 第 19 题 3 2 3 2 1 3 2 2 2 解析 :解:(1)因为 b ? a ,所以 b ? a ,得 a ? c ? a ,即 a 2 ? c 2 , 4 4 4 2 c 1 所以离心率 e ? ? . ???4 a 2


? ? ? ? ? ? ? ? 5 12?5a 12 ,所以由 A ,得 A P ? ? P C ( , ), 7 7 7 2 2 ( 1 2?5 a) 1 2 将它代入到椭圆方程中,得 ? ?1,解得 a ? 2 , 2 3 2 4 9a 4 9? a 4 所以 a ? 2 ,b ? 3. ( x , y ) , B ( x ,) y , C ( x ,) y , D ( x ,) y (3)法一:设 A , 1 1 2 2 3 3 4 4
(2)因为 C(a,0) , ? ?

???7 分

???10 分

1 ? x1 ? x3 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由A ,得 ? , P ? ? P C ? y ? 1 ? y1 ? 1 3 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 x y x y x y 3 3 1 1 ? ? 1 ,所以由 ? ? 1 , ? ? 1 又椭圆的方程为 , 4 3 4 3 4 3 1 ? x 2 1 ? y 2 2 2 x 4 y 1 2 ①, 且 3 ( 1 ? 1 )? 4 ( 1 ? 1 )? 1 2 得3 1? 1 ?

???12 分

?

?

②,

由②得, 即

?

12 2 2 , [ ( 34 x ? y ) ? 7 ? 2 ( 3 xy ? 4 ) ] ?? [ 7 ( 3 xy ? 4 ) ] ? 5 1 1 1 1 1 2 1

?

1 2 2 2 [ 3 ( 1) ?? x ( 1) ? y ] ? [ 3 ( 1) ? x ? 4 ( 1) ?? y ] 5 , 1 4 1 1 1 2

?

x 4 y 结合①,得 3 1? 1?

1 9 ? 1 4 ? ? 5 ? , 2 ? ? 2
2

?

???14 分

15

2 1 9 ? 1 4 ? ? 5 ? ,所以 3 , x ? 4 y ? 3 x ? 4 y 1 1 2 2 2 ? ? 2 y ? y2 3 3 从而 1 ???16 分 ? ? ,即 k AB ? ? 为定值. 4 x1 ? x2 4 法二:设 A , ( x , y ) , B ( x ,) y , C ( x ,) y , D ( x ,) y 1 1 2 2 3 3 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 ? ?x3 ?1? ? ?x2 ? ?x4 ?1? ? 由A ,得 ? ,同理 ? ,??12 分 P ? ? P C y ? ? y ? 1 ? ? y ? ? y ? 1 ? ? 1 3 ? 2 4 ? 2 2 ?3x1 ? 4y1 ?12 ? 将 A , B 坐标代入椭圆方程得 ? 2 ,两式相减得 2 3 x ? 4 y ? 12 ? ? 2 2 3 ( x ?? x ) ( x x ) ? 4 ( y ?? y ) ( y y ) ? 0 , 12 12 12 12 ( x ? x )4 ? ( yy ? ) k ? 0 即3 , ??14 分 1 2 1 2 A B ( xx ? ) ? 4 ( yy ? ) k ? 0 同理, 3 , 3 4 3 4 C D ( xx ? ) ? 4 ( yy ? ) k ? 0 而 kAB ?k , C D,所以 3 3 4 3 4 A B ( x ? x ) ? 4 ( y ? y ) k ? 0 所以 3 , 3 4 3 4 A B ( x ? x ? x ? x ) ? 4 ( y ? y ? y ?? y )0 k 所以 3 , 13 2 4 1 3 2 4 A B 3 ( 1)8 ? ?? ( 1) k ? 0 即6 ,所以 k AB ? ? 为定值. ???16 分 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 【思路点拨】( 1 )根据椭圆的性质求出 a , c 的关系式即可;( 2 )由 A 得 P ? ? P C 12?5a 12 A( , ) 代入到椭圆方程中即可得结果; 7 7 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)设 A ,由 A ,得到点坐标间的关系, ( x , y ) , B ( x ,) y , C ( x ,) y , D ( x ,) y P ? ? P C 1 1 2 2 3 3 4 4 k ?kCD即可. 再将将 A , B 坐标代入椭圆方程后两式相减,再利用 AB

同理,有 3 x 4 y 2? 2?

?

?

?? ??
?

?

20. (本小题满分 16 分) 3 2 (a?R) . () x ? x ? 3 x ? a x 设函数 f (1)当 a ? ? 9时,求函数 f ( x ) 的极大值;

( x ) ? ? x ln x (2)若函数 f ( x ) 的图象与函数 ? 的图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围;
( )? | f( x ) |,当 a ? 0 时,求函数 g ( x ) 的单调减区间. (3)设 gx

【知识点】利用导数求极值;借助导数求范围;利用导数求单调区间 . 【答案解析】(1)极大值为 5.(2) ( ? ln 2, 2) ;
9 (3)①当 a ? 3 时,函数 g ( x ) 的单调减区间为 (?? ,0) ;②当 ≤ a ? 3 时,函数 g ( x ) 的单 4 a a 1 ?1 ? ,1 ?1 ? ); 调减区间为 (?? ,0) , ( 3 3

5 4

③当 0?a?

a3 9 9 1 ?1 ? , ? ? a ), 时 , 函 数 g ( x ) 的 单 调 减 区 间 为 (?? ,0) , ( 32 4 4

a3 9 ( 1 ?1 ? , ? ? a ). 32 4
2 ? ( ) ? 36 x ? x ? 9 ? 3 ( x ?? 3 ) ( x 1 ) 解 析 : 解 : ( 1 ) 当 a ??9 时 , 由 fx =0 ,得 x ?3 或 x ??1, ???2分 列表如下:

16

x
f ?( x) f ( x)

(? ?? , 1 )
+ 递增

-1 0 极 大

(?1,3)
- 递减

3 0 极小

(3, ??)
+ 递增

所以当 x ??1时,函数 f ( x ) 取得极大值为5. (2)由 f( ,得 x ,即 a , x )? ? x l n x ? 3 x ?? a x? xx l n ? ? x? 3 x ? l n x 1? 2 ( x ? 1 ) ( 2 x ? 1 ) 2 ? 令h ,则 h , () x ? ?? 2 x3 ?? () x ? ?? x 3 x ? l n x x x 列表,得
3 2 2

???4分 ???6 分

x
f ?( x)

1 (0 , ) 2


1 2
0 极小值

1 ( ,1) 2


1 0 极 大 值2

(1, ??)


f ( x)

递减

5 ? ln 2 4

递增

递减

???8 分 由题意知,方程 a ?h(x) 有三个不同的根,故 a 的取值范围是 ( ? ln 2, 2) . 分
2 ? (3)因为 fx , ( ) ?? 36 x x ? a ?? 31 x ? a ? 3 ? ? 2

5 4

???10

所以当 a ? 3 时, f ( x ) 在 R 上单调递增; 当 0?a?3时, f ?(x ) ?0的两根为 1 ? 1 ?
a a a ,且 0 ?? 1 1 ? ??? 11 1 ? , 3 3 3

a a a a 所以此时 f ( x ) 在 (??,1? 1? ) 上递增,在 ( 1 ?1 ? ,1 ?1 ? )上递减,在 (1? 1? , ??) 3 3 3 3 上递增; ???12 分 2 令 f (x) ?0,得 x ? 0 ,或 x ? 3 x ? a ? 0(),

当a ?

3 9 9 9 时,方程()无实根或有相等实根;当 0 ? a ? 时,方程()有两根 ? ?a , 2 4 4 4 ???13 分

从而 ①当 a ? 3 时,函数 g ( x ) 的单调减区间为 (?? ???14 ,0) ; 分 a a 9 1 ?1 ? ,1 ?1 ? ); ??15 分 ②当 ≤ a ? 3 时,函数 g ( x ) 的单调减区间为 (?? ,0) , ( 3 3 4 ③当 0?a?
a3 9 9 时 , 函 数 g ( x ) 的 单 调 减 区 间 为 (??,0) , ( 1 ?1 ? , ? ? a ), 32 4 4

a3 9 ( 1 ?1 ? , ? ? a ). ???16 分 32 4 【思路点拨】(1)当 a ??9 时,求出原函数的导数,找到极值点列表求出极大值;(2)原

17

2 2 式变型为 a , 令h , 然后通过列表找到 a 的取值范围; (3) ? ? x ? 3 x ? l n x () x ? ?? x 3 x ? l n x 对 a 进行分类讨论即可.

18


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