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2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学


2016 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测

理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 A. ?

z1 ?( D ) z2
D. i

1 2

B.

2.已知平面向量 a ? ? 3,6? , b ? ? x, ?1? ,如果 a / / b ,那么 | b |? (B ) A. 5 B.

?

1 2

C. ? i

?

?

?

?

5 2

C.3

D.

3 2

3.函数 y ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x 的最小值为(C ) A.-4 4. ? ? x ? A.45 B. ? 3 ? 1
10

C. ? 2 ? 1

D.-2

? ?

1? 2 ? 的展开式中 x 的系数等于( A ) x?
B.20 C.-30 D.-90

5.若运行如图所示程序框图,则输出结果 S 的值为( A ) A.94 B.86 C.73 D.56
开始

i=1,S=1 i=i+1 S=2(S+1) i>5 输出S
结束 否

6.下图是底面半径为 1,高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图(注:正视图

也称主视图,俯视图也称左视图) ,则被削掉的那部分的体积为( B ) A.

? ?2
3

B.

5? ? 2 3

C.

5? -2 3

D. 2? ?

2 3

2 1 1 正视图

侧视图

俯视图
7.为得到 y

? cos(2 x ? ) ,只需要将 y ? sin 2 x 的图像( 6

?

D )

A.向右平移

? 个单位 3 ? 个单位 3

B.向右平移

? 个单位 6 ? 个单位 6

C.向左平移

D.向左平移

8.在数列 an 中, a1 ? A.

? ?

5 6

B.

7 3

1 1 , a2 ? , an an ? 2 ? 1 ,则 a2016 ? a2017 ? ( C ) 2 3 7 C. D.5 2
2 2

9.已知 a , b 都是实数, P : a ? b ? 2;q : 直线 x ? y ? 0 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 2 相切, 则 p 是 q 的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? 4 y ? -3 ? 10. 若 x, y 满足约束条件 ?3 x+5 y ? 25 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( C ) ?x ? 1 ?
A.6 B.5 C.3 D.1

11.在长为 3 m 的线段 AB 上任取一点 P ,则点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1 m 的概 率等于( D )

A.

1 2

B.

1 4

C.

2 3

D.

1 3

12.已知双曲线 M 的焦点 F1 , F2 在 x 轴上,直线 7 x ? 3 y ? 0 是双曲线 M 的一条渐近线,
2 M 的一个 点 P 在双曲线 M 上,且 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,如果抛物线 y ? 16 x 的准线经过双曲线

???? ???? ?

焦点,那么| PF1| ? |PF2|? ( D ) A.21 B.14 C .7 D.0

???? ???? ?

第Ⅱ卷
二、填空题
13.已知函数 f ? x ? 的定义域为实数集 R , ?x ? R, f ? x ? 90? ? ?

?lg x, x ? 0 ,则 ? ? x, x ? 0

f ?10? ? f ? ?100? 的值为

-8

.

14.已知三棱锥 P ? ABC 的顶点 P、A、B、C 在球 O 的表面上, ?ABC 是边长为 3 的等 边三角形,如果球 O 的表面积为 36 ? ,那么 P 到平面 ABC 距离的最大值为 3 ? 2

2

15.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,如果 ?ABC 的面积等于 8, a ? 5 ,

5 4 a?b?c tan B ? ? ,那么 = 3 sin A ? sin B ? sin C
16.已知实数 a , b 都是常数,若函数 y ?

65 4

a x ?1 ? 1? ? be2 x ?1 的图象在切点 ? 0, ? 处的切线方程 x?2 ? 2?

为 3x ? 4 y ? 2 ? 0, y ?

a x ?1 3 ? be2 x ?1 与 y ? k ? x ? 1? 的图象有三个公共点, 则实数 k 的 x?2

取值范围是 (??, ?

1 ) ? (0, ??) . 4

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n ,

3an ? 2Sn ? 2 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求证: Sn?2 Sn ? Sn?12 . (Ⅰ)解:∵对任意正整数 n , 3an ? 2Sn ? 2 ,∴ 3an?1 ? 2Sn?1 ? 2 ∴ 3an?1 ? 3an ? 2Sn?1 ? 2Sn ? 0 ,即 3an?1 ? 3an ? 2 ? Sn?1 ? Sn ? ? 0 ∴ 3an?1 ? 3an ? 2an?1 ? 0 ,解得 an?1 ? 3an . 当 n ? 1 时, 3a1 ? 2S1 ? 2 ,即 a1 =2 .∴ an ? 2 ? 3n?1 ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? 3n?1 . (II)证明:又(I)可得 Sn ?

2 ? (1 ? 3n ) ? 3n-1 1? 3

? Sn?1 ? 3n?1 ? 1,Sn?2 ? 3n? 2 ? 1. ? Sn? 2 Sn ? Sn?1 ? ?4 ? 3n ? 0. ? Sn? 2 Sn ? Sn?1.
18. (本小题满分 12 分)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞 赛,根据比赛规则,某中学选拔出 8 名同学组成参赛队,其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生;高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生,竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛. (Ⅰ)设“选出的 4 人中恰有 2 名女生, 而且这 2 名女生来自同一个学部”为事件 A ,求事件 A 的 概率 P ? A? ; (Ⅱ)设 X 为选出的 4 人中女生的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ) 由已知,得 P ? A? ? 所以事件 A 的概率为
2 2 C2 C3 ? C32 C32 6 , ? 4 35 C8

6 . 35

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 由已知得 P ? X ? k ? ?

C5k C34? k ? k ? 1, 2,3, 4? . C84

所以随机变量 X 的分布列为:

X
P

1

2

3

4

3 3 7 7 1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? 14 7 7 14 2

1 14

1 14

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, CD ? BD, AB ? AD, E 为 BC 的中 点. (Ⅰ)求证: AE ? BD ; (Ⅱ)设平面 ABD ? 平面 BCD, AD ? CD ? 2, BC ? 4 ,求二面角 B ? AC ? D 的正弦值.

z

A

B E

O

D

y

x

C

(Ⅰ)证明:设 BD 的中点为 O ,连接 AO, EO , ∵ AB ? AD ,∴ AO ? BD , 又∵ E 为 BC 的中点,∴ EO / / CD , ∵ CD ? BD ,∴ EO ? BD . ∵ OA ? OE ? O ,∴ BD ? 平面 AOE , 又∵ AE ? 平面 AOE ,∴ AE ? BD . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: AO ? BD , EO ? BD , ∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ∩平面 BCD =BD , AO ? 平面 ABD , ∴ AO ⊥平面 BCD . ∵ EO ? 平面 BCD ,∴ AO ? EO ,

∴ OE、OD、OA 两两互相垂直. ∵ CD ? BD , BC ? 4, CD ? 2,? BD ?

BC 2 ? CD2 ? 2 3 . 3, OA ? AD2 ? OD2 ? 1 ,

由 O 为 BD 的中点, AO ? BD , AD ? 2 得 BO ? OD ?

以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则

O ? 0, 0, 0 ? , A ? 0, 0,1? , B 0, ? 3, 0 , C 2, 3, 0 , D 0, 3, 0 ,∴ ??? ? AB ? 0, ?

?

? ? ? ? ? ???? ???? 3, ?1? , AC ? ? 2, 3, ?1? , AD ? ? 0, 3, ?1? .
?
? ??? ? ?

?

设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? , 则 n ? AB, n ? AC .∴ ?

??? ?

? ?? 3 y ? z ? 0 ? ?2x ? 3 y ? z ? 0

,取

? ?x ? 3 ,∴ n ? 3, ? 3,3 是平面 ABC 的一个法向量. y ? ? 3 ,解得 ? ?z ? 3 ?? 同理可求平面 ADC 的一个法向量 m ? 0, 3,3 .

?

?

?

?

?? ? m? n 7 设二面角 B ? AC ? D 的大小为 ? ,则 | cos ? |?| ?? ? |? . 7 | m || n |
∵0 ? ? ? ? . ∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

42 42 ,∴二面角 B ? AC ? D 的正弦值为 . 7 7
3 , 以椭 2

20. (本小题满分 12 分)已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O , 离心率等于

圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5 ,直线 l : y ? kx ? m 与 y 轴交于点 P , 与椭圆 E 交于 A、B 两个相异点,且 AP ? ? PB . (Ⅰ) 求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在 m ,使 OA ? ?OB ? 4OP ?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理 由. 解:(Ⅰ)根据已知设椭圆 E 的方程为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,焦距为 2c ,由已知得 a 2 b2

3 a2 c 3 ,∴ c ? . a, b 2 ? a 2 ? c 2 ? ? 2 4 a 2

∵以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5 , ∴ 4 a 2 ? b2 ? 2 5a ? 4 5,? a ? 2, b ? 1 . ∴椭圆 E 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)根据已知得 P ? 0, m? ,由 AP ? ? PB ,得 OP ? OA ? ? OB ? OP .

?

?

∴ OA ? ?OB ? ?1 ? ? ? OP .∵ OA ? ?OB ? 4OP ,∴ ?1 ? ? ? OP=4OP ,若 m ? 0 ,由椭 圆的对称性得 AP ? PB ,即 OA ? OB ? 0 . ∴ m ? 0 能使 OA ? ?OB ? 4OP 成立. 若 m ? 0 ,则 1 ? ? ? 4 ,解得 ? ? 3 . 设 A? x1 , kx1 ? m? , B ? x2 , kx2 ? m? ,由 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? y ? kx ? m
2 2 ?4x ? y ? 4 ? 0



?k

2

? 4 ? x 2 ? 2mkx ? m 2 ? 4 ? 0 ,由已知得

? ? 4m 2 k 2 ? 4 ? k 2 ? 4 ?? m 2 ? 4 ? ? 0 ,即 k 2 ? m2 ? 4 ? 0 .
且 x1 ? x2 ?

?2km m2 ? 4 , x x ? .?10 分 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4
2

由 AP ? 3PB 得 ? x1 ? 3x2 ,即 x1 ? ?3x2 .∴ 3 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 0 , ∴

??? ?

??? ?

12k 2 m2

?k

2

? 4?

2

?

4 ? m2 ? 4 ? k2 ? 4

? 0 ,即 m2 k 2 ? m2 ? k 2 ? 4 ? 0 .当 m2 ? 1 时,
4 ? m2 2 2 ,∵ k ? m ? 4 ? 0 , 2 m ?1

m2 k 2 ? m2 ? k 2 ? 4 ? 0 不成立.∴ k 2 ?

4 ? m2 ? m2 ? 4 ? m2 2 ? m ? 4 ? 0 ∴ 2 ,即 ? 0. m ?1 m2 ? 1
2 ∴ 1 ? m ? 4 ,解得 ?2 ? m ? ?1 或 1 ? m ? 2 .

综上述,当 ?2 ? m ? ?1 或 m ? 0 或 1 ? m ? 2 时, OA ? ?OB ? 4OP .

??? ?

??? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? 2 x ? 3 ?

ln ? 2 x ? 1? 2x ? 1

.

(Ⅰ)求证:当 x ? 0 时, f ? x ? 取得极小值; (Ⅱ)是否存在满足 n ? m ? 0 的实数 m, n ,当 x ? ? m, n? 时, f ? x ? 的值域为 ? m, n? ?若存 在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)证明:由已知得 f ? x ? 的定义域为 ? ?

? 1 ? , ?? ? . ? 2 ?

2 ? 2 ln ? 2 x ? 1? 8 x 2 ? 8 x ? 2 ln ? 2 x ? 1? 1 ? 当 x ? ? 时, f ' ? x ? ? 2 ? . 2 2 2 ? 2 x ? 1? ? 2 x ? 1?
设 F ? x ? ? 8x2 ? 8x ? 2ln ? 2x ? 1? ,则 f ' ? x ? ?
2

F ? x?

? 2 x ? 1?

2



? 1 ? 1 ?? 2 当 x ? ? 时, 8 x ? 8 x ? 8 ? x ? ? ? ? ? ? 2 是单调递增函数, 2ln ? 2 x ? 1? 也是单调递 2 ? 2 ?? ?
增函数, 当x? ? ∴当 ?

1 时, F ? x ? ? 8x2 ? 8x ? 2ln ? 2x ? 1? 单调递增. 2

1 ? x ? 0 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ,当 x ? 0 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 . 2 1 ∴当 ? ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减,当 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调 2
递增. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? 取得极小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是单调递增函数,若存在满足 n ? m ? 0 的实数 m ,

n ,当 x ? ? m, n? 时, f ? x ? 的值域为 ? m, n? ,则 f ? m? ? m, f ? n ? ? n ,即 f ? x ? ? x 在

?0, ??? 上有两个不等的实根 m , n .
∴ 2x2 ? 7 x ? 3 ? ln ? 2x ? 1? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有两个不等的实根 m , n ,设

8 x 2 ? 18 x ? 5 . H ? x ? ? 2x ? 7 x ? 3 ? ln ? 2x ? 1? ,则 H ' ? x ? ? 2x ? 1
2

当 x ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 , 8 x 2 ? 18 x ? 5 ? 0 ,所以 H ' ? x ? ?

8 x 2 ? 18 x ? 5 ? 0, 2x ? 1

∴ H ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是单调递增函数,即当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0? ? 3 . ∴ 2x2 ? 7 x ? 3 ? ln ? 2x ? 1? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上没有实数根. 所以,不存在满足条件的实数 m , n .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,BC 是⊙ O 的直径,EC 与⊙ O 相切于 C , AB 是⊙ O 的弦,D 是 AC 弧的中点,BD 的延长线与 CE 交于 E . (Ⅰ)求证: BC ? CD ? BD ? CE ; (Ⅱ)若 CE ? 3, DE ?

9 ,求 AB . 5

F

A D

E

B

C

(Ⅰ)证明:∵ BC 是⊙ O 的直径, EC 与⊙ O 相切于 C , D 是 AC 弧的中点, ∴ ?CBD ? ?ECD, ?BDC ? ?CDE ? ?BCE ? 90 ,
?

∴ ? BCD ∽ ? CED . ∴

BC BD ? , CE CD

∴ BC ? CD ? BD ? CE . (Ⅱ)解:设 BA 的延长线与 CD 的延长线交于 F , ∵ D 是 AC 弧的中点,∴ ?ABD ? ?CBD ,

∵ BC 是⊙ O 的直径,∴ ?BDC ? ?BDF ? 90? , ∴ ?BDC ? ?BDF . ∴ CD ? FD, BC ? BF ,在 Rt ?CDE 中, CD ? ∴ FD ?

CE 2 ? DE 2 ?

12 . 5

12 . 5

∵ ?BDC ? ?BCE ? 90? ,

CD 2 16 ? , ∴ CD ? BD ? DE ,∴ BD ? DE 5
2

∴ BC ?

BD2 ? CD2 ? 4 ,

∴ BF ? 4 .????????????8 分 由割线定理得 ? FB ? AB ? ? FB ? FD ? FC , 即 ? 4 ? AB ? ? 4 ? ∴ AB ?

12 24 28 ? ,解得 AB ? . 5 5 25

28 . 25

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 ,( t 为参数) ,在以原点 O 为极点, x ?y ? t ? 2
3 1 ? 2 cos 2 ?
.

轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? (Ⅰ)直接写出直线 l 、曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上的点到与直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围. 解: (Ⅰ)直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 曲线 C 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 .
2 2 2 2 (Ⅱ)∵曲线 C 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,即 x ?
2

y2 ? 1, 3

∴曲线 C 上的点的坐标可表示为 cos ? , 3 sin ? . ∵ 2sin ?

?

?

?? ? ?? ? ? 3 ? 1? 0, ?6 ?

?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 2sin ? ?? ? ? 3 ? cos ? ? 3 sin ? ? 3 6 ? ? ?6 ? ∴d ? , ? ? 2 2 2
∴ d 的最小值为

1 2

=

2 5 5 2 2 5 2 , d 的最大值为 .∴ , ?d? = 2 2 2 2 2

即 d 的取值范围为 ?

? 2 5 2? , ?. 2 2 ? ?

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 . (Ⅰ)求证: f ? x ? ? 5 ;
2 (Ⅱ)若对任意实数 x,15 ? 2 f ? x ? ? a ?

9 都成立,求实数 a 的取值范围. a ?1
2

? ?4 x ? 3, x ? ?2 ?5, ?2 ? x ? ?1 ? (Ⅰ)证明:∵ f ? x ? ? ? , ? 2 x ? 7, ?1 ? x ? 2 ? ? 4 x ? 3, x ? 2
∴ f ? x ? 的最小值为 5,∴ f ? x ? ? 5 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: 15 ? 2 f ? x ? 的最大值等于 5. ∵a ?
2

9 9 ? ? a 2 ? 1? ? 2 ?1 ? 2 a ?1 a ?1
2

?a

2

? 1? ?

9 ?1 ? 5 , a ?1
2

9 ,即 a ? ? 2 , a ?1 9 2 ∴当 a ? ? 2 时, a ? 2 取得最小值 5. a ?1 9 2 ? 5, 当 a ? ? 2 时, a ? 2 a ?1 9 2 又∵对任意实数 x , 15- 2 f ? x ? ? a ? 2 都成立, a ?1
2 “=”成立 ? a ? 1 =

?

?

2

∴a ? ? 2. ∴ a 的取值范围为 a ? ? 2 .


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