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湖北省2013届高三5月高考模拟及答题适应性考试数学(理)试题B卷 Word版含答案


湖北省 2013 届高三 5 月高考模拟及答题适应性考试 数学(理)试题 B
本试题卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方 框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上 无效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题 区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔 涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题 区域内,答在试题卷、草稿纸上无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数
i 2i ? 1

在复平面内对应的点位于 C.第二象限
x? y 2
2

A.第四象限 B.第三象限 2.下列命题中错误的是 A.若 x , y ? R ,则“ x ? y ”是“ xy ? (
2

D.第一象限

) ”成立的充要条件
2

B.命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2 ,则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ” C.对命题 p : ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R ,则 x ? x ? 1 ? 0
2 2

D.已知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 和 q 中必一真一假 3.已知函数 f ( x ) ? cos ? x ( x ? R , ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ? x ? ?
sin( ? x ?

?
4

) 的图象,只要将 y ? f ? x ? 的图象

A.向右平移 C.向右平移

?
8

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向左平移

?
8

个单位长度 个单位长度

?
4

?
4

4.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则 判断框中应填 A. n ? 7 ? B. n ? 7 ? C. n ? 6 ? D. n ? 6 ?
?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 5.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 ? x, y ? 0, ?
z ? ax ? b ( a , b ? 0 ) 的最大值是 12,则 a ? b
2 2

的最小值是 A.
36 5

B.

6 13
?

C.

36 13

D.

6 5

6.在 ? OAB 中, ? AOB ? 120 , OA ? 2 , OB ? 1 ,D、C 分别是线段 AB 和 OB 的中 点,则 OD ? AC ? A. ?
3 2 3 4 1 2

B. ? 2

C.

D. ?

7.如图,已知三棱锥的俯视图是边长为 2 的正三角形, 侧视图是有一直角边长为 2 的直角三角形,则该三 棱锥的正视图可能为

2 俯视图

2 侧视图

8. 乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时, 甲、 假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达, 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A.
1 2

B.
x
2

9 16
2

C.
y

3 8

D.

7 16
2 2

9.设点 P 是双曲线

?

9

7

? 1 右支上一动点, M , N 分别是圆 ? x ? 4 ? ? y ? 1 和

? x ? 4?

2

? y ? 1 上的动点,则 P M ? P N 的取值范围是
2

A. ? 2 , 6 ?

B.

? 4, 8 ?

C. ? 8,1 2 ?

D. ? 6, 8 ?
x? y 1 ? xy )成

1 1 10. f ? x ? 是定义在 ? ? 1 ,? 上的函数, 对于 ? x , y ? ? ? 1 ,? , f ? x ? ? f ? y ? ? f ( 有

立,且当 x ? ? ? 1 ,0 ? 时, f ? x ? ? 0 .给出下列命题: ① f ?0? ? 0 ; ③函数 f ? x ? 只有一个零点; 其中正确命题的个数是 A.4 B.3 ②函数 f ? x ? 是偶函数; ④f( )? f( )? f( ).
2 3 4 1 1 1

C.2

D.1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.已知函数 f ? x ? ? ? 12.若 ( 2 x ?
1 x
n

? 1 ? x 2 , ? 1 ? x ? 1, ? ? e , x ? 1, ?
x

则 ? f ( x ) d x =__________.
?1

2

) 的展开式中仅第 4 项的二项式系数最大,则它的第 4 项系数是________.

13.如图是斯特林数三角阵表,表中第 r 行每一个 数等于它左肩上的数加上右肩上的数的 r ? 1 倍, 则此表中: (Ⅰ)第 6 行的第二个数是______________; (Ⅱ)第 n ? 1 行的第二个数是___________. (用 n 表示)

1 1 2 6 11 3 6 1 1

1 24 50 35 10 1 ???????????
1 a ? 1 b ? 1 c

C b c 且不等式 14. 已知直角三角形 ABC 的三内角 A ,B , 的对边分别为 a , , ,
? m a ?b?c

恒成立,则实数 m 的最大值是___________.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB,OA=2,C 为 OA 的中点,连结 BC 并延长交圆 O 于点 D,则 CD= . 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 的参数方程为 ?
? x ? 2t, ? y ? 1 ? 2t

( t 为参数),以坐标原点为

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 为 ? co s ? ? sin ? .设直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,则 OA ? OB = . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin x cos 值. (Ⅰ)求 φ 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(A)= 3 , 2
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x ( 0 ? ? ? ? )在 x ? ? 处取最小

求角 C. 18. (本小题满分 12 分) 某车站每天上午安排 A、B 两种型号的客车运送旅客,A 型车发车时刻可能是 8:00, 8:20,8:40;B 型车发车时刻可能是 9:00,9:20, 9:40.两种型号的车发车时 刻是相互独立的.下表是该车站最近 100 天发车时刻统计频率表: 频 数 频 率 25 A 型车 8:00 发车 0.25 m A 型车 8:20 发车 0.50 25 A 型车 8:40 发车 0.25 25 B 型车 9:00 发车 0.25 50 B 型车 9:20 发车 0.50 25 n B 型车 9:40 发车 (Ⅰ)直接写出表中的 m,n 的值; (Ⅱ)某旅客 8:10 到达车站乘车,根据上表反映出的客车发车规律, (ⅰ)求该旅客能乘上 A 型客车的概率; (ⅱ)求该旅客候车时间 ? (单位:分钟)的分布列和数学期望. (注:将频率视为概率) 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 是公差不为零的等差数列, a 5 ? 6 ,且 a 1 , a 3 , a 7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? 4 ? ( ? 1 ) ? ? 2
n n an

(n ? N ) ,问:是否存在非零整数 ? ,使数列 ?b n ? 为递
*

增数列. 20. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、 N 分别是 CC1,BC 的中点,点 P 在线段 A1B1 上. (Ⅰ)证明:AM⊥PN; (Ⅱ)是否存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成 的二面角为 30? ,若存在,试确定点 P 的位置,若不存 在,请说明理由.

21. (本小题满分 13 分) 已知平面内一动点 P 到椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点 F 的距离与到直线 x ? ? 2 的距离相

9

5

等. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 M ( m , 0 ) ( m ? 0 )作倾斜角为 60 的直线与曲线 C 相交于 A , B 两点, 若点 F 始终在以线段 AB 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)过点 M ( m , 0 ) ( m ? 0 )作直线与曲线 C 相交于 A , B 两点,问:是否存在一 条垂直于 x 轴的直线与以线段 AB 为直径的圆始终相切?若存在,求出所有 m 的 值;若不存在,请说明理由﹒ 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)设 x1 , x 2 ? 0, p 1 , p 2 ? 0, 且 p1 ? p 2 ? 1, 证明:
p1 f ? x1 ? ? p 2 f ? x 2 ? ? f ( p1 x1 ? p 2 x 2 ) ;
?

(Ⅲ)设 x 1 , x 2 , ? , x n ? 0 , p 1 , p 2 , ? , p n ? 0 ,且 p 1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1 ,如果
p 1 x1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ? e , 证明:p 1 f ( x 1 ) ? p 2 f ( x 2 ) ? ? ? p n f ( x n ) ? e .

一、选择题: 1.D 2.C 二、填空题: 11.
?
2 ?e ?e
2

3.B

4.D

5.D

6.B

7.C

8.C

9.A

10.C

12. ? 1 6 0
3 5 5

13.274; ? 1 ?
?

?

1 2

?? ?

1? ? n! n?

14. 5 + 3 2

15.

16. 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1+cosφ 17.解: (Ⅰ)f(x)=2sinx· +cosxsinφ-sinx 2 =sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ). ∵f(x)在 x=π 处取最小值, ∴sin(π+φ)=-1,∴sinφ=1, π ∵0<φ<π,∴φ= . ????????????6 分 2 π (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 f(x)=sin(x+ )=cosx. 2 3 3 由 f(A)= ,得 cosA= . 2 2 π ∵角 A 是△ABC 的内角,∴A= . 6

a b 1 2 2 = ,得 = ,∴ sinB= . sinA sinB π sinB 2 sin 6 π 3π ∵b>a,∴B= ,或 B= . 4 4 π π π 7π 当 B= 时,C=π-A-B=π- - = ; 4 6 4 12 3π π 3π π 当 B= 时,C=π-A-B=π- - = . 4 6 4 12 7π π 故 C= ,或 C= . ????????????12 分 12 12 18.解: (Ⅰ)m=50,n=0.25. ????????????2 分 (Ⅱ) (ⅰ)设某旅客 8:20,8:40 乘上车事件分别为 A,B,则 A,B 互斥. 由正弦定理
? P ? A ? B? ? P ? A? ? P ?B ? ?
1 ? 1 ? 3



?????????????5 分

2 4 4 (ⅱ)可能取值为 ? ? 1 0, 3 0, 5 0, 7 0, 9 0 ,则 P ?? ? 10 ? ? 1 2

, P ?? ? 30 ? ?

1 4

, P ?? ? 50 ? ? ?1 ?
?

?

3? 1 1 , ?? ? 4 ? 4 16

3? 1 1 3? 1 1 ? ? P ?? ? 70 ? ? ?1 ? ? ? ? , P ?? ? 90 ? ? ?1 ? ? ? ? . 4? 2 8 4 ? 4 16 ? ?

? 的分布列是

?
P

10

30
1 4 1 4 ? 50 ? 1 16 ? 70 ? 1 8

50

70

90

1 2 1 2 ? 30 ?

1 16 ? 90 ? 1 16

1 8

1 16

? E? ? 10 ?

? 3 0 .???????12 分

19.解: (Ⅰ)设公差为 d (d≠0) , 由题意,知 a 1 ? a 7 ? a 3 , a 5 ? 6 .
2

? a1 (a1 ? 6 d ) ? (a1 ? 2 d ) 2 , 于是 ? ? a1 ? 4 d ? 6.

解得 a 1 ? 2 , d ? 1 .
? a n ? n ? 1 .?????????????????????4 分

(Ⅱ)∵ a n ? n ? 1 , ∴ b n ? 4 n ? ( ? 1) n ? 1 ? ? 2 n ? 1 .

20.解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则
A1 ( 0 , 0 ,1) , b 1 (1, 0 ,1) , M ( 0 ,1,
1 2 ),N( 1 1 , ,0 ) . 2 2

由题意,可设 P ( ? , 0 ,1) . (Ⅰ)∵ AM ? (0,1, ) , PN ? (
2
? AM ? PN ? 0 ? 1 2 ? 1 2
1 1 1 , , ), 2 2 2

1

1 2

? ?,

1 2

, ? 1) ,

? 0.

∴ AM⊥PN.????????? 6 分 (Ⅱ)设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PMN 的一个法向量, NM ? (? 则?
? NM ? n ? 0 , ? ? PN ? n ? 0 . ?

1 ? 2? 1 1 ? ? 1 y ? x, ? x? y ? z ? 0, ? ? 2 ? ? 3 2 2 即? 得? ?( 1 ? ? ) x ? 1 y ? z ? 0, ? z ? 2 ? 2 ? x. ? 2 ? 2 3 ? ?

令 x=3,得 y=1+2 ? ,z=2-2 ? , ∴ n ? (3,1 ? 2? ,2 ? 2? ) . 若存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30? , 则|cos< m, n >|=
2

| 2 ? 2? | 9 ? (1 ? 2? ) ? ( 2 ? 2? )
2 2

?

3 2



化简得 4 ? ? 10 ? ? 13 ? 0 . ∵△=100-4 ? 4 ? 13=-108<0,方程无解. ∴不存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30? .?????12 分 21.解: (Ⅰ)易知椭圆的右焦点坐标为 F ( 2 , 0 ) . 由抛物线的定义,知 P 点的轨迹是以 F ( 2 , 0 ) 为焦点,直线 x ? ? 2 为准线的抛物线. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 8 x . ??????????????4 分
2

(Ⅱ)由题意知,直线 AB 的方程为 y ? 代入 y ? 8 x ,得 3 x ? ( 6 m ? 8 ) x ? 3 m
2 2 2

3(x ? m) .
? 0.
, x1 x 2 ? m .
2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?

6m ? 8 3

因为点 F 始终在以线段 AB 为直径的圆内, ? ? AFB 为钝角. 又 FA ? ( x 1 ? 2 , y 1 ) , FB ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) ,
? FA ? FB ? 0 , ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? y 1 y 2 ? 0 .

即 x 1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 3[ x 1 x 2 ? m ( x 1 ? x 2 ) ? m ] ? 0 ,
2

? 4 x 1 x 2 ? ( 2 ? 3 m )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 3 m

2

? 0.

因此 3 m ? 36 m ? 4 ? 0 ,
2

?

18 ? 4 3

21

? m ?

18 ? 4 3

21


21 18 ? 4 , 3 21 ).
2

综上,实数 m 的取值范围是 (

18 ? 4 3

(Ⅲ)设过点 M 的直线方程为 x ? ? y ? m ,代入 y ? 8 x ,得
y
2

? 8 ? y ? 8 m ? 0 .设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 ? y 2 ? 8 ? , y 1 y 2 ? ? 8 m .
2

于是 x 1 ? x 2 ? ? ( y 1 ? y 2 ) ? 2 m ? 8 ? ? 2 m .
? AB 的中点坐标为 ( 4 ? ? m , 4 ? )
2

又 AB ?
?
2

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2 2

2

?

(1 ? ? )( y 1 ? y 2 )
2 2 2

2

(1 ? ? )[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] ?

(1 ? ? )( 64 ? ? 32 m ) .
2

设存在直线 x ? x 0 满足条件,则 2 | 4 ? ? m ? x 0 |? 化简,得 (16 ? 8 x 0 ) ? ? 8 m ? m ? x 0 ? 2 mx 0 ? 0 .
2 2 2 2 2 2

(1 ? ? )( 64 ? ? 32 m ) .
2 2

所以, (16 ? 8 x 0 ) ? ? 8 m ? m ? x 0 ? 2 mx 0 ? 0 对任意的 ? 恒成立, 所以 ?
?16 ? 8 x 0 ? 0 , ?8 m ? m
2

? x 0 ? 2 mx
2

0

? 0.

解得 x 0 ? ? 2 , m ? 2 . 所以,当 m ? 2 时,存在直线 x ? ? 2 与以线段 AB 为直径的圆始终相切.????13 分 22.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 1 ? ln x . 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?
? f
? f
1 e

;由 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ?

1 e



? x ? 在 (0, ?x? 在x
?

1 e

) 单调递减; f 1 e

? x? 在(
1 e

1 e

, ?? ) 单调递增.

1 e

取最小值 f ( ) ? ?

.??????????????????4 分

(Ⅱ)令 g ? x ? ? p 1 f ? x1 ? ? p 2 f ? x ? ? f ? p 1 x1 ? p 2 x ? ,不妨设 x1 ? x ? x 2 ,

则 g ? ? x ? ? p 2 f ? ? x ? ? p 2 f ? ? p 1 x1 ? p 2 x ? .
? p 1 x1 ? p 2 x ? x ? p 1 x1 ? p 1 x ? 0 , ? p 1 x1 ? p 2 x ? x .

而 f ? ? x ? ? 1 ? ln x 是增函数,
? f ? ? x ? ? f ? ? p 1 x1 ? p 2 x ? . ? g ? ? x ? ? p 2 f ? ? x ? ? p 2 f ? ? p 1 x1 ? p 2 x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? x1 , x 2 ? 是增函数.

? g ? x 2 ? ? g ? x1 ? ? 0 ,即 p 1 f

? x1 ? ?

p2 f

? x2 ? ?

f

? p 1 x1 ?

p2 x2 ? ? 0 .

? p 1 f ? x 1 ? ? p 2 f ? x 2 ? ? f ( p 1 x 1 ? p 2 x 2 ) .????????????8 分

(Ⅲ)先证明 p1 f ? x1 ? ? p 2 f ? x 2 ? ? ? ? p n f ? x n ? ? f ? p 1 x1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ? . 当 n ? 2 时,由(Ⅱ)知不等式成立. 假设当 n ? k 时,不等式成立,即
p1 f

? x1 ? ?

p2 f

? x2 ? ? ? ?

pk f

? xk ? ?

f

? p 1 x1 ?

p2 x2 ? ? ? pk xk ? .

当 n ? k ? 1 时,

? p 1 x1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ? e ,
? f ( p 1 x 1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ) ? f ( e) ? e .

? p 1 f ( x1 ) ? p 2 f ( x 2 ) ? ? ? p n f ( x n ) ? e .

???????????14 分


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湖北省襄阳五中2014届高三5月适应性考试数学(理)试题(w....doc
湖北省襄阳五中2014届高三5月适应性考试数学(理)试题(word含答案) - 襄阳五中高三年级五月适应性考试(一) 数学试题(理科) 命题:任健 审题:杨青林 2014.5.3 ...
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四川省南充市2013届高三第三次适应性考试数学理卷WORD版含答案 - 南充市高 2013 届第三次高考适应性考试 数学试卷(理科) 一.选择题(本大题共 10 个小题,每...
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湖北省2013届高三模拟及适应性考试数学(理)试题A.doc
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高三数学5月模拟适应性考试试题 文(B卷)新人教A版.doc
湖北省 高三 5 月高考模拟及答题适应性考试 数学()试题 B 卷试题卷共 ...用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题 区域内.答在试题卷、...
...市2013届高三5月高中毕业班适应性考试数学理试题(wo....doc
福建省厦门市2013届高三5月高中毕业班适应性考试数学理试题(word版) - 2013 年厦门市高中毕业班适应性考试数学(理科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择...
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