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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修1-2


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运 算学案 新人教 A 版选修 1-2
【学习目标】 1. 理解共轭复数的概念; 2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算. 【学习过程】 一.自我阅读: (课本 第 109 页至第 11 0 页) 完成知识点的提炼 复习:计算: ( a ? b) 2 = (3a ? 2b)(3a ? 2b) = (3a ? 2b)(?a ? 3b) = 探究任务一:复数代数形式的乘法运算 规定,复数的乘法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么
(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 = (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i

即:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的 结果中把 i 2 换成 ?1 , 并且把实 部与虚部分别合并即可. 问题:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及 乘法对加法的分配律? 试试:计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1?z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 )

反思:复数的四则运算类似于多项式的四则运算,也满足其在实数集上的运算 律. ※ 知识拓展 i 具有周期性,即: i 4 n ? 1 ; i 4 n ?1 ? i ; i 4 n ? 2 ? i 2 ? ?1 ; i 4 n ?3 ? ?i ; 探究任务二 :共轭复数 新知:当两个复数的实部相等,虚部互为相反 数时,这两个复数叫做互为共轭复数。虚部 不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
1

试 试: 3 ? 4i 的共轭复数为 a ? bi 的共轭复数为 bi 的共轭复数为 问:若 z1 , z2 是共轭复数,那 么(1)在复平面内,它们所对应的点 的位置关系为: (2) z1 ? z2 是一个怎样的数? 探究任务三:复数的除法法则
(a ? bi ) ? (c ? di ) ? a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(c ? di ? 0)

二.研究课本例题: (是对基本知识的体验) 例 1 计算: (1) (3 ? 4i)(3 ? 4i) ; (2) (1 ? i)2

变式:计算: (1) ( 3 ? 2i)(? 3 ? 2i) ; (2) (1 ? i)2 ; (3) i(2 ? i)(1 ? 2i)

小结:复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例 2 计算(1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ; (2)
?2 3 ? i 2 1996 ?( ) 1? i 1 ? 2 3i

2

变式:计算(1)

3 ? 2i 3?i , (2) 2 (1 ? i ) 2 ? 1 (1 ? 2i )

小结:复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。 ※ 动手试试 练 1. 计算: (1) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

练 2 . 计算: (1)

1? i 1? i (?1 ? i)(2 ? i) , (2) , (3) 1? i 1? i ?i

【课堂小结与反思】 (体会本节课所学知识、题型、方法)用自已的语言来概述本节课题的 内容如下:

【课堂自我检测】 5 1. 复数 的共轭复数是( ) i?2 A. i ? 2 B. i ? 2 C. ?2 ? i D. 2 ? i 1 3 3 i ) 的值是( 2. 复 数 ( ? ) 2 2 A. ?i B. i C. ?1 D.1 2 ? bi 3. 如果复数 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( 1 ? 2i 2 2 A. 2 B. ? 2 C. ? D. 3 3 2 4.若 z ? 1 ? 2i ,则 z ? 2 z 的值为 1? z 5. 若复数 z 满足 ? i ,则 | z ? 1 | 的值为 1? z 【课后作业】



3

1.已知 (3 ? 3i) z ? ?2 3i ,那么复数 z 对应的点位于复平面内的 ( A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 2.设复数: z1 ? 1 ? i, z 2 ? x ? 2i( x ? R), 若z1 z 2 为实数,则 x=( A.-2 3.复数 B.-1 C.1 D.2 ( )



2 ? i3 1? 2 i

?
C. 2 2 ? i D. ? 2 2 ? i



A. i

B. ? i
1? i

4.复数 z ? 1 的共轭复数是 ( A. 1 ? 1 i
2 2 2


2

B. 1 ? 1 i

C. 1 ? i

D.1 ? i

5. (1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1? i A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i





D. 2 ? i

6.若 z1 ? a ? 2i, z 2 ? 3 ? 4i, 且 7.复数 z ?

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 _____________ ___ z2
________________.

5 的共轭复数 z = 3 ? 4i

8.计算: 1 3 3 1 1 3 i )(1 ? i ) ; i) (1) (? ? (2) ( i ? )(? ? 2 2 2 2 2 2 5(4 ? i ) 2 2?i (3) ; (4) i (2 ? i ) 7 ? 4i

9. 已知 2i ? 3 是关于 x 的方程 2x2 ? px ? q ? 0 的一个根,求实数 p, q 的值 .

4

10.在复数范围内解方程 | z | ? ( z ? z )i ?
2

3?i ( i 为虚数单位). 2?i

11.设 z 为虚数,且满足 ? 1 ? z ?

1 ? 2,求 z . z

5


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