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(经典1)高三数学上学期第三次月考试题 理

2018 年秋四川省棠湖中学高三第三学月考试

数学(理)试卷

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.

1.在复平面内,复数 z 满足 z(1? i) ? 2 ,则 z 的共轭复数对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知集合 M ? {x x ?1 ? 2},集合 N ?{x ?Z (x ?1)(x ?3) ? 0},则 M N ?

A.{0,1, 2}

B.{?1, 0,1, 2}

C.{?1, 0, 2,3}

D.{0,1, 2,3}

3.角? 的终边经过点 P(4, y) ,且 sin? ? ? 3 ,则 tan? ?
5

A. ? 4 3

B. 4 3

C. ? 3 4

D. 3 4

4.已知数列?an ? 的通项公式为 an

?

n

?

a n

,则“

a2

?

a1 ”是“数列?an ? 单调递增”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.若当 x ? ? 时,函数 f ? x? ? 3sin x ? 4cos x 取得最大值,则 cos? ?

A. 3 5

B. 4 5

C. ? 3 5

D. ? 4 5

6.《周碑算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立

夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,前九个节气日影

长之和为 85.5 尺,则小满日影长为

A.1.5 尺

B. 2.5 尺

C. 3.5 尺

7.函数 f (x) ? e|x| ? 2 | x | ?1 的图象大致为

D. 4.5 尺

8.已知向量 a,b 满足 a ? b ? 0 , | a ? b |? m | a | ,若 a ? b 与 a ? b 的夹角为 ?? ,则 m 的值为 3

A.2

B. 3

C.1

D. 1

2

1

? ? 9.已知函数 f ? x? ? ln 1? 9x2 ? 3x ?1,则 f ?lg(lg3)? ? f ?lg(log310)? =

A.-1

B.0

C.1

D.2

10.若

a

? 1 ,设函数

f

(x)

?

ax

?

x

?

4 的零点为

m



g(x)

?

loga

x

?

x

?

4

的零点为

n

,则

1 m

?

1 n

的取值范围是

A.(3.5,+∞)

B.(1,+∞)

C.(4,+∞)

D.(4.5,+∞)

11.己知直线 l :

3x ?

y?m

? 0 与双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?

0, b

?

0?

右支交于

M,N

两点,点

M

在第一象限,

若点 Q 满足 OM ? OQ ? 0 (其中 O 为坐标原点),且 ?MNQ ? 30 ,则双曲线 C 的渐近线方程为

A. y ? ? 1 x 2

B. y ? ?x

C. y ? ?2x

D. y ? ? 2x

? ? 12.已知 P ? ? f ?? ? ? 0 ,Q ? ?? g ?? ? ? 0? ,若存在? ? P, ? ?Q ,使得 ? ? ? ? n ,则称函数 f ? x?与g ?x?

互为“n 度零点函数”.若 f ? x? ? 2x?2 ?1与 g ? x? ? x2 ? aex (e 为自然对数的底数)互为“1 度零点函数”,则实
数 a 的取值范围为

A.

? ??

1 e2

,

4 e

? ??

B.

? ??

1 e

,

4 e2

? ??

C.

? ??

4 e2

,

2 e

? ??

D.

? ??

4 e3

,

2 e2

? ??

第Ⅱ卷(共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. x(x ? 2)5 展开式中的 x4 项的系数为__________.

? ? 14.曲线 f ? x? ? x2 ? a 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,则实数 a ? x 15.在平面四边形 ABCD中,AB ? 1, AC ? 5, BD ? BC, BD ? 2BC ,则 AD 的最小值为____________.

16.函数 f (x) ? ln x ? ax , g(x) ? ax2 ?1,当 a ? 0 时,对任意 x1 、 x2 ??1, e? ,都有 f (x1) ? g(x2 ) 成立,则 a

的取值范围是



三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必

须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共 60 分。

17.(本大题满分 12 分)

已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 8 , a3 ? a8 ? 2a5 ? 2 .

(Ⅰ)求 an ;

(Ⅱ)设数列{ 1 } 的前 Sn

n

项和为 Tn

,求证: Tn

?

? 4



18.(本大题满分 12 分)

2

从某校高中男生中随机选取 100 名学生,将他们的体重(单位: kg )数据绘制成频率分布直方图,如图所示.
(Ⅰ)估计该校的 100 名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)若要从体重在[60, 70) ,[70,80) 内的两组男生中,用分层抽样的方法选取 5 人,再从这 5 人中随机抽取 3 人,记体重在[60, 70) 内的人数为? ,求其分布列和数学期望 E(? ) .
19.(本大题满分 12 分)
如图,矩形 ABCD和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直, ?ABE ? 60 , G 为 BE 的中点. (Ⅰ)求证: AG ? 平面 ADF ; (Ⅱ)若 AB ? 3BC ,求二面角 D ?CA?G 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

直线 l 与椭圆

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?b

?

0) 交于

A( x1 ,

y1) , B(x2 ,

y2 ) 两点,已知 m

?

(ax1,by1 ) , n

?

(ax2 , by2 ) ,若

3

椭圆的离心率 e ? 3 ,又经过点 ( 3 ,1) , O 为坐标原点.

2

2

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)当 m ? n 时,试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,
请说明理由.

21.(本大题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ex ? ln(x ?1) ? ax ( a ? R ). (Ⅰ) g(x) 为 f (x) 的导函数,讨论 g(x) 的零点个数; (Ⅱ)当 x ? 0 时,不等式 ex ? (x ?1) ln(x ?1) ? 1 ax2 ? ax ?1恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

[选修 4—4:坐标系与参数方程] 22.(本大题满分 10 分)

在平面直角坐标系

xOy

中,已知曲线

C1

:

x

?

y

?

1与曲线

C2

:

?x

? ?

y

? ?

2 ? 2cos? 2sin?

(?

为参数,?

??0,

2?

?

).以

坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)写出曲线 C1, C2 的极坐标方程;

(Ⅱ)在极坐标系中,已知点

A 是射线 l

:?

??

??

?

0?与 C1 的公共点,点

B

是l 与C2

的公共点,当 ?

在区间

???0,

? 2

? ??

OB
上变化时,求 的最大值.
OA

23.(本大题满分 10 分)【选修 4-5:不等式选讲】
已知函数 f ? x? ? 2x ? 2x ? 3 ? m?m? R? . (Ⅰ)当 m ? ?2 时,求不等式 f ? x? ? 3 的解集; (Ⅱ) ?x ????,0? ,都有 f ? x? ? x ? 2 恒成立,求 m 的取值范围.
x

4

5

2018 年秋四川省棠湖中学高三第三学月考试

数学(理)试卷答案

一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B

二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13.40

14. 1

15. 5

16. a ? ? 1 2

三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12 分)

解析:(1)设公差为

d,由题

?2a1 ??2a1

? ?

d ? 8, 9d ? 2a1

?

8d

?

解得 2,

a1

?

3



d

?

2



···

2



所以 an ? 2n ?1. ··························· 4 分

(2)

由(1), an

? 2n ?1,则有 Sn

? n (3 ? 2n ?1) ? n2 ? 2n .则 1

2

Sn

? 1 ? 1 (1 ? 1 ) . n(n ? 2) 2 n n ? 2

所以 Tn

?

1 [(1? 1) ? (? 2 32

?

1) ? (? ? 43

1) ? 5

? ( 1 ? 1 ) ? (1 ? 1 )] n ?1 n ?1 n n ? 2

? 1 (1? ? ? 1 ? 1 ) ? 3 ······················ 12 分 2 2 n?1 n? 2 4

18.解:(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为: 0.05,0.35,0.30,0.20,0.10

2分

故估计 100 名学生的平均体重约为:
45?0.05? 55?0.35? 65?0.30? 75?0.20?85?0.10 ? 64.5
(2)由(1)及已知可得:体重在 ?60,70?及?70,80?的男生分别为:0.30?100=3( 0 人)

4分
0.20?100=2( 0 人)

6分
从中用分层抽样的方法选 5 人,则体重在?60,70? 内的应选 3 人,体重在?70,80? 内的应选 2 人

从而 ?

的可能取值为

1,2,3

且得: P??

?1? ?

C31 C53

?3 10

P??

?

2? ?

C21C32 C53

?

3 5

P??

? 3? ?

C33 C53

?1 10

10 分

其分布列为:

P

1

2

3

?

3

3

1

10

5

10

故得: E(? ) ? 1? 3 ? 2? 3 ? 3? 1 ? 1.8 10 5 10

12 分

19.(本小题满分 12 分)

6

(Ⅰ)证明:∵矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直, ∵矩形 ABCD 菱形 ABEF ? AB , ∴ AD ? 平面 ABEF , ∵ AG ? 平面 ABEF , ∴ AD ? AG ,……………………3 分

∴ AD ? AB ,

∵菱形 ABEF 中, ?ABE ? 60 , G 为 BE 的中点. ∴ AG ? BE ,即 AG ? AF ……………………5 分 ∵ AD AF ? A , ∴ AG ? 平面 ADF .……………………6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 AD, AF, AG 两两垂直,以 A 为原点,AG 为 x 轴,AF 为 y 轴,AD 为 z 轴,建立空间

直角坐标系,设 AB ? 3BC ? 3 ,则 BC ? 1, AG ? 3 ,故 A(0, 0, 0) , C( 3 , ? 3 ,1) , D(0, 0,1) , G(3 , 0, 0) ,

2

22

2

z

则 AC ? ( 3 , ? 3 ,1) , AD ? (0, 0,1) , AG ? (3 , 0, 0) ,

D

22

2

设平面 ACD 的法向量 n1 ? (x1, y1, z1) ,



? ??n1

?

AC

?

3 2

x1

?

3 2

y1

?

z1

?

0

,取

y1

?

? ?

n1 ? AD ? z1 ? 0

3 ,得 n1 ? (1,

3,0) ,

设平面 ACG 的法向量 n2 ? (x2, y2, z2) ,

C A

B

G

E

x

?



??n2 ?

?

??

?

AC

?

3 2

x2

n2 ? AG

? ?

3 2

y2

?

3 2

x2

?

0

z2

?

0

,取

y2

?

2

,得 n2

?

(0, 2,

3) ,……………10 分

设二面角 D ?CA?G 的平面角为? ,则 cos? ? n1 ? n2 ? 2 3 ? 21 , ……………11 分
| n1 | ? | n2 | 2? 7 7

易知? 为钝角,∴二面角 D ?CA?G 的余弦值为 ? 21 .……………………12 分
7

Fy

20.解

:(1)∵

? ??e ?

?

c a

?

a2 ? b2 ? 3

a

2

?1 ?? a2

?

3 4b2

?1

∴ a ? 2,b ? 1

∴椭圆的方程为 y2 ? x2 ? 1 4

…………………4 分

(2)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,

由已知 m ? n ? 0 ,得 4x12 ? y12 ? 0 ? y12 ? 4x12

又 A(x1, y1) 在椭圆上, 所以

x12

?

4 x12 4

? 1 ?| x1 |?

2 2

,|

y1

|?

2

7

S

?

1 2

|

x1

||

y1

?

y2

|?

1 2

|

x1

|

2

|

y1

|?

1

,三角形的面积为定值.

…………………6 分

②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t

? ? ??

y2 4

?

x2

? ?1

(k 2

?

4) x 2

?

2ktx ? t2

?4

?

0

必须 ? ? 0



4k 2t2

?

4(k 2

?

4)(t 2

?

4)

?

0

得到

x1

?

x2

?

?2kt k2 ?4



x1x2

?

t2 k2

?4 ?4

…………………8 分

∵ m ? n ,∴ 4x1x2 ? y1y2 ? 0 ? 4x1x2 ? (kx1 ? t)(kx2 ? t) ? 0

代入整理得: 2t2 ? k 2 ? 4

S?1 2

| t | | AB |? 1 | t |

1? k2

2

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x1

? |t |

4k 2 ? 4t2 k2 ?4

?16

?

4t 2 2|t|

?1

所以三角形的面积为定值.

…………………12 分

21.解:(1) g(x) ? f '(x) ? ex ? 1 ? a , x ? ?1 ,……………… x ?1

…1 分

g

'( x)

?

ex

?

1 (x ?1)2



g

'(0)

?

0 ,且当

x ? (?1, 0) 时, ex

?1, 1 1? x

? 1,所以 g '(x)

?

0;

当 x ? (0, ??) 时, ex ? 1, 0 ? 1 ? 1,所以 g '(x) ? 0 .……………… 1? x
于是 g(x) 在 (?1, 0) 递减,在 (0, ??) 递增,故 g(x)min ? g(0) ? 2 ? a ,

…3 分

所以① a ? ?2 时,因为 g(x)min ? g(0) ? 2 ? a ? 0 ,所以 g(x) 无零点;

② a ? 2 时, g(x)min ? g(0) ? 2 ? a ? 0 , g(x) 有唯一零点 x ? 0 ;

③ a ? 2 时, g(x)min ? g(0) ? 2 ? a ? 0 ,……………… … ……………… …5 分



x1

?

1 a

?1? (?1, 0)



x2

?

ln

a

?

0

,则

g ( x1 )

?

1 ?1
ea

?

0,

g(x2 )

?

1 1? ln

a

?

0



于是 g(x) 在 (x1, 0) 和 (0, x2 ) 内各有一个零点,从而 g(x) 有两个零点.……………… (2)令 h(x) ? ex ? (x ?1) ln(x ?1) ? 1 ax2 ? ax ?1, h(0) ? 0 ,
2 h '(x) ? ex ? ln(x ?1) ? ax ?1? a , h '(0) ? 2 ? a ,

…6 分

8

h ''(x) ? g(x) ? ex ? 1 ? a .……………………………………………… …8 分 x ?1
①当 a ? 2 时,由(1)知,h ''(x) ? 0 ,所以 h '(x) 在 (0, ??) 上递增,知 h '(x) ? h '(0) ? 2 ? a ? 0 ,则 g(x) 在[0, ??)

上递增,所以 h(x) ? h(0) ? 0 ,符合题意;…………………………………………………10 分

②当 a ? 2 时,据(1)知 g(x) 在[0, ??) 上递增且存在零点 x0 ,当 x ? (0, x0 ) 时 h ''(x) ? g(x) ? 0 ,所以 h '(x) 在

(0, x0 ) 上递减,又 h '(0) ? 2 ? a ? 0 ,所以 h(x) 在 (0, x2 ) 上递减,则 h(x) ? h(0) ? 0 ,不符合题意.

综上, a ? 2 .………………………………………………………………………………………12 分

22.(1)

?sin

????

?

? 4

? ??

?

2, 2

? ? 4cos? (2) 2 ? 2

2

(1)曲线

C1

的极坐标方程为

?

?cos?

?

sin?

?

? 1 ,即

?sin

????

?

? 4

? ??

?

2. 2

曲线 C2 的普通方程为 ? x ? 2?2 ? y2 ? 4 ,即 x2 ? y2 ? 4x ? 0 ,所以曲线 C2 的极坐标方程为

? ? 4cos? . ……………………4 分

(2)

由(1)知

OA

? ?A

?

1 cos? ? sin?

, OB

? ?B

? 4cos?



? OB ? 4cos? ?cos? ? sin? ? ? 2?1? cos2? ? sin2? ? ? 2 ? 2
OA

2sin

? ??

2?

?

? 4

? ??



由 0 ? ? ? ? 知 ? ? 2? + ? ? 5? ,当 2? ? ? ? ? ,

24

44

42

即? ? ? 时,

OB 有最大值 2 ? 2

2 .…………………………10 分

8

OA

23.解:(1)∵ 2x ? 2x ? 3 ? 5 ,

等价于

??x ? ? 3 ?2 ???2x ? 2x

?

3

?

5

,或

??? 3 ? ?2 ???2x ?

x? 2x

0 ?

3

?

5

,或

?x ? 0 ??2x ? 2x

?

3

?

5



得 ?2 ? x ? ? 3 或 ? 3 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ;

22

2

解集为

x

?

????2,12

? ??

.………………………………………………5



(2)化为

? ??

2x

?

2x

?3

?

x?

2? x ??min

?

?m

由于 2x ? 2x ? 3 ? 2x ? ?2x ? 3? ? 3 ,



?x

?

2 x

?

?

?x?

?

? ??

?

2 x

? ??

?

2

2 ,当且仅当 x ? ?

2 时取“ ? ”

∴ m ? ?3 ? 2 2 .………………………………………………10 分

9

10