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2013年高考数学试题分类汇编:9圆锥曲线(理)

2013 年高考理科数学试题分类汇编:9 圆锥曲线
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(理) )过点 ( 2, 0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 ? AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 A. y ? EB ? BC ? CD ( )

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

【答案】B 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于 4
B.





A.

2 5

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5

【答案】C 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD

版) )已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 程是

F ? 3, 0 ?

3 ,离心率等于 2 ,在双曲线 C 的方
( )

x2 y 2 ? ?1 5 A. 4
【答案】B

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 5 C. 2

x2 y 2 ? ?1 5 D. 2

错误! 未指定书签。.2013 年高考新课标 1 理)已知双曲线 C : ( ( )

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2
( )

的离心率为

5 ,则 C 的渐近线方程为 2
B. y ? ?

A. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

【答案】C 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) 已 知 0 ? ? ? ( )

?
4

,则双曲线

x2 y2 y2 x2 C1 : ? ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos2 ? sin 2 ? sin ? sin ? tan 2 ?
A.实轴长相等 【答案】D B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等





y 错误! 未指定书签。 . 2013 年高考四川卷 ( (理) 抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? ) ?1 3
2
2

2

的渐近线的距离是 A.

( B.



1 2

3 2

C. 1

D. 3

【答案】B 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD

x2 版) )如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 4
在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C2 的离心率是
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

( C.



A. 2 【答案】D

B. 3

3 2

D.

6 2

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) ) 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别 2 a b
( )

交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = A.1 B.
3 2

C.2

D.3

【答案】C 错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答 案(已校对) )椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 4 3
( )

的斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 A. ? , ? 2 4 【答案】B

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案 . (已校对) )已知抛物线 C : y ? 8 x 与点 M ? ?2, 2 ? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与
2

???? ???? C 交于 A, B 两点,若 MA?MB ? 0 ,则 k ?
A.





1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【答案】D

x2 y 2 错误!未指定书签。(2013 年高考北京卷(理) . )若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则 a b
其渐近线方程为 A.y=±2x B.y= ? 2x C. y ? ? ( )

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

【答案】B 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) . )

已知抛物线

C1 :

y?

1 2 x2 x ? y2 ? 1 2 p ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : 3 的右焦点的连线交
( )

C1 于第一象限的点 M .若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ?
3 A. 16
【答案】D 错误!未指定书签。(2013 年高考新课标 1(理) . )已知椭圆 E :

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则

E 的方程为
A.

( B.



x2 y 2 ? ?1 45 36

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

【答案】D 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) . (纯 WORD
2 版含答案) )设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以

MF 为直径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为
A. y ? 4 x 或 y ? 8 x
2 2


2 2



B. y ? 2 x 或 y ? 8 x

C. y ? 4 x 或 y ? 16 x
2 2

D. y ? 2 x 或 y ? 16 x
2 2

【答案】C 错误!未指定书签。(2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))已知 A、 为平面内两定 . B 点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N .若 MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为 常数,则动点 M 的轨迹不可能是 ( A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 【答案】C 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) . ) 已 知 圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分 别 是 圆
2 2 2 2

???? 2 ?

???? ??? ?



C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为
A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17





【答案】A 二、填空题 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) . (已校对

x2 y2 纯 WORD 版含附加题) )双曲线 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 16 9
【答案】 y ? ?

3 x 4
2

错误!未指定书签。(2013 年高考江西卷(理) . )抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,其准

线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 相 交 于 A, B 两 点 , 若 ?ABF 为 等 边 三 角 形 , 则 3 3

P ? _____________ 【答案】6
错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 设 F1 , F2 是 双 曲 线

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 ,P 是 C 上 一 点 , 若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 a 2 b2

?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.
【答案】 3 错误!未指定书签。(2013 年高考上海卷(理) . )设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且

?CBA ?

?
4

,若 AB=4, BC ?

2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为________

【答案】

4 6 . 3

错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) (纯 WORD 版) 试题 ) 已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC 为
2

直角,则 a 的取值范围为___ _____. 【答案】 [1,??) 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) . (已校对 纯 WORD 版含附加题) )抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为
2

D (包含三角形内部与边界).若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范
围是__________. 【答案】 ?? 2, ? 2

? ?

1? ?

错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) . (已校对 纯 WORD 版 含 附 加 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直 a 2 b2
线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d 2 ? 【答案】

6d1 ,则椭圆 C 的离心率为_______.

3 3

错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 (理) (纯 WORD 版) 试题 ) 椭圆 ?:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 . 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 焦 距 为 2c, 若 直 线 a 2 b2

y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等
于__________ 【答案】 3 ? 1 错误!未指定书签。(2013 年高考陕西卷(理) . )双曲线 于___9_____. 【答案】9

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等 16 m 4

错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) . ) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, a 2 b2
4 ,则 C 的离心率 e= ______. 5

连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? 【答案】

5 7
2

错误!未指定书签。(2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))抛物线 y ? 8 x 的准线方 . 程是_______________ 【答案】 x ? ?2 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) . (已校对 纯 WORD 版 含 附 加 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 定 点 A(a, a ) , P 是 函 数 )

y?

1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 x

a 的所有值为_______.
【答案】 ?1 或 10 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) (纯 WORD 版) 试题 ) 设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,过点 P (?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点
2

Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________.
【答案】 ?1 三、解答题 错误!未指定书签。(2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第 1 . 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1, 、 F2 (1, ,短轴的两个端点分别为 B1、 2 0) 0) B (1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 两点,且 F1 P ? F1Q , Q 求直线 l 的方程. [解](1) (2)

????

????

【答案】[解](1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

根据题意知 ?

?a ? 2b ?a ? b ? 1
2 2

, 解得 a 2 ?

4 2 1 ,b ? 3 3

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 1 3 3

(2)容易求得椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
设 P ( x1,1 ), ( x2, 2 ) ,则 y Q y

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? x1 ? x2 ? 2 ,1 x2 ? x , 1 P ? ( x1 ? 1,1 ), 1Q ? ( x2 ? 1, 2 ) F y F y 2k ? 1 2k 2 ? 1
因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? 0 ,即

????

????

???? ????

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1

7k 2 ? 1 ? 2 ? 0, 2k ? 1
解得 k 2 ?

7 1 ,即 k ? ? . 7 7

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 . 错误!未指定书签。(2013 年高考四川卷(理) . )已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的 a 2 b2

两个焦点分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) ,且椭圆 C 经过点 P ( , ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

4 1 3 3

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? 【答案】解: 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ?3?
所以, a ?

2

2

2

2

2.

又由已知, c ? 1 , 所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 2 ? ? a 2 2

x2 ? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 2
设点 Q 的坐标为(x,y). (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? , ? 0, ?1? 两点,此时 Q 点坐标为

? 3 5? ? 0, 2 ? ? ? 5 ? ? ?
(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .
2 2

又 AQ ? x 2 ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k 2 ) x 2 .
2 2



2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得

2 1 1 ,即 ? ? 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22

2 1 1 ? x ? x ? ? 2x x ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 x x1 x2 x1 x2
2



将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 2


? 2k

2

? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0
2

由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k 2 ?
2

?

?

3 . 2

8k 6 , x1 x2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1 18 代入①中并化简,得 x 2 ? ③ 10k 2 ? 3
由②可知 x1 ? x2 ? ? 因 为 点 Q 在 直 线 y ? kx ? 2 上 , 所 以 k ?

y?2 ,代入③中并化简,得 x

10 ? y ? 2 ? ? 3 x 2 ? 18 .
2

由③及 k 2 ?

? 3 3 6 ? ? 6? ,可知 0 ? x 2 ? ,即 x ? ? ? . ,0 ? ? ? 0, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?

又 ? 0, 2 ?

? ? ?

? 3 5? 6 6? 2 2 . ? 满足 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,故 x ? ? ? ? ? 2 , 2 ? ? 5 ? ? ?

由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 , 又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 2 有
2

? y ? 2?


2

?1 3 5? ?9 9 ? ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? , 2 ? ?. ?2 5 ? ?5 4 ? ?




Q













10 ? y ? 2? ? 3x 2 ? 18
2

,



中, x ? ? ?

? ? ?

?1 6 6? 3 5? , ? , y ?? ,2 ? ? ? ?2 2 2 ? 5 ? ?

错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) . ) 椭圆 C :

x2 y 2 3 右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 2 a b 2

于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线

PM 交 C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明 值.

1 1 ? 为定值,并求出这个定 kk1 kk2

x2 y 2 b2 ? 2 ?1 y ? ? 2 2 2 2 b a 【答案】解:(Ⅰ)由于 c ? a ? b ,将 x ? ?c 代入椭圆方程 a 得 2b 2 ?1 2 由题意知 a ,即 a ? 2b
所以 a ? 2 , b ? 1

e?


3 c ? 2 a

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 4

???? ???? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? ? ? ???? = ???? ? ,设 P( x0 , y0 ) 其 (Ⅱ)由题意可知: ???? ???? = ???? ???? , | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
2 2 3 2 中 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4 x0 ? 16) ? 3 x0 ? 12 x0 ,因为 x0 ? 4 ,

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

y0 y0 x0 x x 1 1 ,代入 中得 , k2 ? ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? ? 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3
x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
错误!未指定书签。 (2013 年高考上海卷(理) . )(3 分+5 分+8 分)如图,已知曲线

C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1 ,P 是平面上一点,若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 2

都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一 条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点”; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“C1—C2 型点”. 2

【答案】:(1)C1 的左焦点为 F (? 3, 0) ,过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ?

2 ), 2

与 C2 交于 (? 3, ?( 3 ? 1)) ,故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”,且直线可以为 x ? ? 3 ; (2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ? ?| y |?| x | ?1
直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx 1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,若方程组有解,则必须 k 2 ? ? 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2
故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点”. (3)显然过圆 x 2 ? y 2 ?

1 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 2

根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t , t ? 1)(t ? 0) ,则

l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0
直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ?

|1 ? t ? kt | 2 1 内部有交点,故 ? 2 2 k 2 ?1
1 2 (k ? 1) ............① 2

化简得, (1 ? t ? tk ) 2 ?

若直线 l 与曲线 C1 有交点,则

? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 ? ? (k 2 ? ) x 2 ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 1 ? 0 ? x2 2 2 ? y ?1 ? ? 2
1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt ) 2 ? 4(k 2 ? )[(1 ? t ? kt ) 2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 2(k 2 ? 1) 2
化简得, (1 ? t ? kt ) ? 2(k ? 1) .....②
2 2

1 2 (k ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 2 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )]2 ? 1, (k ? 1) ? 1 ,即①式不成立; 2 1 当 k 2 ? 时,①式也不成立 2 1 综上,直线 l 若与圆 x 2 ? y 2 ? 内有交点,则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 2 1 即圆 x 2 ? y 2 ? 内的点都不是“C1-C2 型点” . 2
由①②得, 2(k 2 ? 1) ? (1 ? t ? tk ) 2 ? 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 (理) (纯 WORD 版) 试题 ) 如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为 (0,10) . 分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结 OBi ,过

Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) .
(1)求证:点 P (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; i (2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为

4 :1 ,求直线的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,过 Ai (i ? N ,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i
*

? Bi (10, i ) ,? 直线 OBi 的方程为 y ?

i x 10

? x?i 1 2 ? x ,即 x 2 ? 10 y , 设 Pi 坐标为 ( x, y ) ,由 ? i 得: y ? 10 ? y ? 10 x ?

? Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程为 x 2 ? 10 y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? kx ? 10

由?

? y ? kx ? 10 2 得 x ? 10kx ? 100 ? 0 2 ? x ? 10 y
2

此时 ? ? 100k +400 ? 0 ,直线与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N 设: M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? x1 ? x2 ? 10k ? x1 ? x2 ? ?100

? S?OCM ? 4 S?OCN ? x1 ? 4 x2
又? x1 ? x2 ? 0 ,? x1 ? ?4 x2 分别带入 ?

3 ? y ? kx ? 10 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y 3 x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x +2 y ? 20 ? 0 2
2

直线的方程为 y ? ?

错误!未指定书签。(2013 年高考湖南卷(理) . )过抛物线 E : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作 斜率分别为 k1 , k2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且 k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相 交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P ;
2

???? ???? ?

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 【 答 案

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5
】 解 : (Ⅰ)

p F (0, ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线l1方程:y ? k1 x ? , 与抛物线E方程联立,化简整理得: x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 同理, ? x34 ? x1 ? x2 p 2 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2

x1 ? x2 p 2 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p ) . 2 2
2 2

? FM ? FN ? k1k 2 p 2 ? k1 k 2 p 2 ? p 2 k1k 2 (k1k 2 ? 1)

? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ? 1) ? 2 p
所以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕) (Ⅱ)

1 p p 1 p 2 2 设圆M、N的半径分别为r1 , r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, 2 2 2 2 2
? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,
2 2

设圆M、N的半径分别为r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为( x ? x12 ) 2 ? ( y ? y12 ) 2 ? r12 ,

( x ? x34 ) 2 ? ( y ? y34 ) 2 ? r2 ,直线l的方程为:
2

2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 .
2 2 2 2 2 2

? 2 p (k2 ? k1 ) x ? 2 p (k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )( x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1 )(r2 ? r1 ) ? 0
2 2

? 2 p (k2 ? k1 ) x ? 2 p (k2 ? k1 ) y ? 2 p 2 (k1 ? k2 ) ? p 2 (k1 ? k2 )(k1 ? k2 ? 1) ? p 2 (k2 ? k1 )(k1 ? k2 ? 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? x ? 2 y ? p ? p (k1 ? k 2 ? 1) ? p (k1 ? k 2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
2 2 2 2

1 1 2(? ) 2 ? (? ) ? 1 x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 7p 7 4 4 点M ( x12 , y12 )到直线l的距离d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? ? ? 5 5 5 5 8 5 5
2

? p ? 8 ? 抛物线的方程为x 2 ? 16 y .
错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) (纯 WORD 版) 试题 )

x2 y2 如 图 , 点 P (0,?1) 是 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 顶 点 , C1 的 长 轴 是 圆 a b

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 ,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两
点, l2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A l2 (第 21 题图) B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

【答案】 解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1; 4

(Ⅱ)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P (0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 ,

直 线

l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , 所 以 圆 心 (0, 0) 到 直 线 k

l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?
2 3 ? 4k 2 1? k2

1 1? k
2

,所以直线 l1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4

所截的弦 AB ? 2 4 ? d 2 ?

;

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ,所以 ?| DP |? (1 ? 2 ) 2 ? 2 k2 ? 4 k (k ? 4) 2 k ?4

S ?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3
2

4k 2 ? 3


?

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 ?k?? 时 等 号 成 立 , 此 时 直 线 2 2

l1 : y ? ?

10 x ?1 2

错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) . ) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 . (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使 椭圆上的其余点均在圆 Q 外.若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程.

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴 2

【答案】


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