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个性化教案圆锥曲线知识点整理


学大教育个性化教学教案
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.

个性化教学辅导教案
学科: 数学 任课教师: 刘端强 授课日期: 13 年 月 日(星期 )

姓名
教学课题

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授课时间段

总课时





第八章

圆锥曲线方程

一、考试内容: 1、椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 2、双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 3、抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二、考试要求: 1、掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. 2、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3、掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4、了解圆锥曲线的初步应用. 三、知识要点及重要思想方法: (一)椭圆方程. 1.椭圆方程的第一定义:

PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段
⑴ ① 椭圆的标准方程: i. 中心在原点, 焦点在 x 轴上:x
a
2 2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点, 焦点在 y 轴上:y
a

2 2

?

x2 b2

? 1( a ? b ? 0) .

②一 般 方 程 : Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) . ③ 椭 圆 的 标 准 参 数 方 程 :

x2 a2

?

y2 b2

?1 的 参 数 方 程 为

? x ? a cos? ? ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). y ? b sin ? 2 ?
(? a,0)(0,?b) 或 (0,? a)(?b,0) .② (?c,0)(c,0) ⑵ ① 顶点: 轴: 对称轴: x 轴, 长轴长 2a , 短轴长 2b .③ 焦点: y 轴;

或 (0,?c)(0, c) .④焦 距 : F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤准 线 : x ? ?
e? c 焦点半径: (0 ? e ? 1) .⑦ a
x2 a2 ? y2 b2

a2 a2 或 y?? .⑥离 心 率 : c c

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为左、右焦点,则

PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex 0 ?
由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
x2 b2 ? y2 a2 ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为上、下焦点,则

PF1 ? a ? ey0, PF2 ? a ? ey0?
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由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( a ?x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为“左加右
c c
2 2

减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ⑶共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 : 椭 圆
x a
2 2

2b 2 a2

( ? c,

b2 b2 ) 和 (c, ) a a

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) , 方 程 a

?

y b

2 2

? t (t 是大于 0 的参数, a ? b ? 0) 的离心率也是 e ?

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方 a

程. ⑸若 P 是椭圆:
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 上的点. F 1, F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积为 b 2 tan

?
2

(用

余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

?
2

.
▲y

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

⑴ ① 双曲线标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

一般方程: Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) . ⑵ ① i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0) 焦点: (c,0), (?c,0) 准线方程 x ? ?
a2 c

N的轨迹是椭圆

渐近线方程:

x2 y2 x y ? ? 0或 2 ? 2 ? 0 a b a b
a2 . c

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a), (0, a) .

焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ?

渐近线方程:

? x ? a sec? ? x ? b tan ? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? a b a b ? y ? b tan ? ? y ? a sec?

② 轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③ 离心率 e ? 的距离);通径
2b 2 . a

c . a

④ 准线距

2a 2 (两准线 c

x2 y2 c . ⑥ 焦点半径公式:对于双曲线方程 2 ? 2 ? 1 a a b ( F 1, F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

⑤ 参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

“长加短减”原则:
MF1 ? ex 0 ?a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

M ?F 1 ? ?ex 0 ?a


M ?F 2 ? ?ex 0 ? a
y

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带


符号计算,而双曲线不带符号)
M' M x F1 F2

y F1 M x

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F2

M'

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MF 1 ? ey 0 ? a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a ? M ?F 2 ? ?ey 0 ? a

⑶ 等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲 x2 y2 x2 y2 x2 y2 线. 2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a b a b a b ⑸ 共渐近线的双曲线系方程:
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为


x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b

y

例如:若双曲线一条渐近线为 y ? 求双曲线的方程?

1 1 x 且过 p(3,? ) , 2 2

4

3

2 1
F2 x

1 x 解:令双曲线的方程为: ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 2 4

2

F1

53 3



x2 y2 ? ? 1. 8 2

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 法与渐近线求交 “?” 和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线 ︰n.
PF 1 d1 ? e 简证: d2 PF 2 e
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.

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三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称 轴 顶点 离心 率 焦点

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

)( t 为参数).

四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; c 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ? ,当 c ? 0, a ? b 时). a 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点 对称的.

因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.
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注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定 义 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点 的轨迹 2. 与定点和直线的距离之比 为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 图 形 方 标 准 方 程 参 数 方 程 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离之 差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (e>1) 与定点和直线的距离相等的 点的轨迹. 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y2=2px



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x ? 2 pt 2 (t 为参数) ? y ? 2 pt ?
x?0

范 围 中 心 顶 点 对 称 轴 焦 点 焦 距 离 心 率 准 线 渐 近 线 焦 半 径

(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )

(0,0) x轴

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) (c= a 2 ? b 2 )

p F ( ,0 ) 2

2c

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

b x a r ? x? p 2

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

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通 径 焦 参 数 1. 2. 3. 5. 6.

2b 2 a
a2 c

2b 2 a
a2 c

2p

P

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 等轴双曲线 共轭双曲线 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 共渐近线的双曲线系方程.

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