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备战2013高考真题测试:圆锥曲线测试理科教师版

圆锥曲线强化测试
(时间 90 分钟,总分 80 分)
一,填空题(每小题 5 分,共 8 题,40 分) 1. 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若

AF ? 3 ; 则 ?AOB 的面积为(
( A)



2 3 2 ( B ) 2 (C ) ( D) 2 2 2 2

【答案】选 C 【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3
1 2 3 ? 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

1 1 3 2 2 3 2 ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? ? 2 2 2 3 2

2. 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为( A



x2 y 2 + =1 16 12 x2 y 2 + =1 8 4

B

x2 y 2 + =1 12 8 x2 y 2 + =1 12 4

C 【答案】C

D

a2 【解析】由焦距为 2c ? 4, 可得 c ? 2 ,准线 x ? ? ? ?4, 可得 c

a2 ? 8, a2 ? c2 ? b2 , b2 ? 4 ,答案为 C
3. 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, PF1 ? 2PF2 , 则 cos ?F1PF2 ? (
1 3 (B) 4 5 【答案】C

) (C)
3 4

(A)

(D)

4 5

【解析】由双曲线定义我们可以知道 2a ? PF1 ? PF2 ? PF2 , PF1 ? 4a,

a2 ? 2, b2 ? 2, c2 ? 4

PF1 ? PF2 ? ? 2c ? 3 ? 由余弦定理我们可以得到 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 PF2 4
2 2 2

4. 已知 双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线 4 b

的焦点到其渐近线的距离等 于( A. 5 【答案】A B. 4 2

) C.3 D.5

【解析】由抛物线方程可知抛物线的焦点为 ? 3,0 ? ,所以双曲线中

c ? 3, a2 ? 4, b2 ? 5, b ? 5, a ? 2 ,则渐近线方程为 y ?

5 x ,利用点到直线距离 2

公式有 d ?

5 ?3? 0 2 5 +1 2

= 5

x2 y 2 5. 已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P ? 21 ? 在 C 的渐近线上,则 C 的 , a b
方程为( A ) B
x2 y 2 ? ?1 5 20

x2 y 2 ? ?1 20 5

C

x2 y 2 ? ?1 80 20

D

x2 y 2 ? ?1 20 80
b x, a

【答案】A 【解析】由双曲线方程可以知道,焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y ? ? 由点 P ? 2,1? 在渐近线上可以知道

b 1 ? , a ? 2b, a 2 ? 4b 2 , 所以首先排除 B,D。 又由 a 2

于焦距为 2c ? 10, c ? 5, c2 ? a2 ? b2 ? 25 ,所以选 A 6. 已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 双曲线 x2 ? y 2 ? 1的渐近线 2 a b 2

与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方 程为( )
x2 y 2 ? ?1 A 8 2 x2 y 2 ? ?1 B 12 6 x2 y 2 ?1 C ? 16 4
x2 y 2 ?1 D ? 20 5

【答案】D 【解析】由椭圆离心率可以知道

c 3 4 1 ? , 3a ? 2c,3a 2 ? 4c 2 , a 2 ? c 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? c 2 ,? a 2 ? 4b 2 ,又由于双曲线 a 2 3 3

是等轴双曲线,渐近线方程为 y ? ? x ,所以根据对称性可以知道,所围成四边形 为正方形,所以边长为 4 ,即 ? 2, 2 ? 点在椭圆上,代入可得答案 D 7. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 【答案】B
2 【解析】 根据题意, 设抛物线方程为 y2 ? 2 px ? p ? 0? , 所以有 y0 ? 4 p, y0 ? 2 p 。

) D、 2 5

B、 2 3

C、 4

p? ? ?p ? 点 M 到焦点 F ? , 0 ? 的距离为, d ? ? 2 ? ? ? 2 p ? 0 2? ? ?2 ?

2

?

?

2

? 3, 整理得到 p ? 2 ,

所以 M 2, 2 2 。所以 OM ? 4 ? 8 ? 2 3 ,答案为 B
x y2 ? 2 ? 1 ( a, b ? 0 )的在左、右焦点, B 是 8. 如图, F1 , F2 分别是双曲线 C: 2 a b
2

?

?

虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别教育 P, Q 两点,线段 PQ 的垂直平 分线与 x 轴交与点 M ,若 MF2 ? F1F2 ,则 C 的离心率是 A.
2 3 3





B

6 2

C. 2 D. 3

【答案】 B 【解析】 :

c ? ? y ? b ? x ? c? bc ? ? ? ac ? ?ac bc ? 可得 Q ? , , ? ? ,同理 P ? ? ,而 M ?3c,0? 由 ?c?a c?a? ?c?a c?a? ? y?bx ? a ?

MP ? MQ 可得答案为 B
二,填空题(每小题 5 分,共 8 题,40 分)
x2 y 2 9. 如图,双曲线 2 ? 2 ? 1? a, b ? 0 ? 的两顶点为 A1,A2 ,虚轴两端点为 B1,B2 , a b

两焦点为 F1,F2 。若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ,切点分别为

A, B, C, D 。则
(Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ____ __; (Ⅱ)菱形 F1B1F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
S1 ? __________。 S2

【答案】

1? 5 2? 5 , 2 2
b ? x ? c ? ,利用点到直线的距离可知道 c

【解析】首先求得直线 F1B2 的方程为 y ?

d?

? a ,整理可得 e 2 ? 3 ? 5 , 由双曲线离心率大于1,可以得到 2 b ?c bc
2 2

e2 ?

3? 5 1? 5 。 ,e ? 2 2

菱形 F1B1F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,设矩形 ABCD , BC ? 2m, BA ? 2n, 由相似三角形 得到
ac ab m c ,n ? ? ,又因为 m2 ? n2 ? a 2 ,所以有 m ? ,所以面积 n b b2 ? c 2 b2 ? c 2

S2 ? 4mn ?

S b2 ? c 2 b2 ? c 2 4a 2bc ,? 1 ? ? b2 ? c 2 S2 2a 2 2bc

?bc ? a 2 ? c2 ? b2 ,?b ?

S 5 ?1 5?2 c,? 1 ? 2 S2 2

10. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右顶点分别是 A, B 左、 右焦点分别是 F1 , F2 。 a 2 b2

若 AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 【答案】
5 5

【解析】本题着重考查等比中项 的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时 考查了函数与方程,转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: AF1 ? a ? c , F1F2 ? 2c ,
F1B ? a ? c .又已知 AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 ,即

a2 ? c2 ? 4c2 ,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?

c 5 5 .即椭圆的离心率为 . ? a 5 5

11. 已知 P, Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P, Q 的横坐标分别为 4, ?2 ,过 P, Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于 A ,则点 A 的纵坐标为__________。 【答案】 ?4 【解析】利用抛物线方程可得, P ? 4,8? , Q ? ?2,2? , y ' ? x, 则过 P 点切线方程的斜 率 k p ? 4 ,过 Q 点切线方程的斜率 kQ ? ?2 ,所以联立方程有
? y ? 8 ? 4 ? x ? 4? ? ,可得 A 点纵坐标为 y ? 4 ? ? y ? 2 ? ?2 ? x +2 ? ?

12. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F 且与该抛物线相交于

A, B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则 ?OAF 的面积为
____________ 【答案】 2 3 【 解 析 】 y 2 ? 4 x, 焦 点 坐 标 为 ?1,0 ? , 则 直 线 l : y ?

3? x 1 , 联 系 方 程 ? ?

? y2 ? 4x 1 ? , x ? 或x ? 3 ,因为点 A 在 x 轴上方,? A 3, 2 3 ? 3 ? y ? 3 ? x ? 1? ? 13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位

?

?

下降 1 米后,水面宽米。 【答案】 2 6
1 【解析】建立抛物线方程 y ? kx2 ,根据题意可以求得 k ? ? ,代入可得。 2

14. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,当 ?FAB 4 3

的周长最大时, ?FAB 的面积是____________ 【答案】3 【解析】分析可得只有当 AB 经过右焦点的时候 ?FAB 的周长最长,代入可得 AB ? 3 ,所以 ?FAB 面积为 3
? x ? 2 pt 2 , 15. 已知抛物线的参数方程为 ? ( t 为参数),其中 p ? 0 ,焦点为 F , ? y ? 2 pt

准线为 l . 过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E . 若 EF ? MF ,点 M 的横 坐标是 3 ,则 p ? _________. 【答案】 p ? 2
?p ? 【解析】由参数方程可以得到普通方程为 y 2 ? 2 px, 焦点 F ? , 0 ? ,准线方程为 ?2 ?
l:x?? p 。点 M (3, ? 6 p ,又因为 EF ? MF ,所以有 ?EMF 为等边三角形。所 ) 2

p? 3 ? 以三角形的高就是点 M 的纵坐标,所以有 6 p ? ? 3 ? ? ? , p ? 2或p ? 18 , 2? 2 ?
要组成三角形所以 p ? 2 16. 过抛物线 y 2 ? 2x 的焦 点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若

AB ?

25 , AF ? BF , 则 AF =。 12
5 6

【答案】

?1 ? 【解析】由题意有 F ? , 0 ? , 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? . 因为过抛物线 y 2 ? 2x 的焦点 F ?2 ?

作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,所以 AF ?

1 1 25 ? x1 , BF ? ? x2 ,因为 AB ? ,所 2 2 12

以 x1 ? x2 ?

13 12

1? ? 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,联立直线与抛物线的方程可得: 2? ?

k 2 x2 ? ? k 2 ? 2? x ?

k2 ? 0 ,所以 4

k 2 ? 2 k 2 ? 2 13 x1 ? x2 ? ,? 2 ? ,? k 2 ? 24.? 24 x 2 ? 26 x ? 6 ? 0 2 k k 12
1 3 1 5 ? x1 ? , x2 ? ,? AF ? ? x1 ? 3 4 2 6


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