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初高中数学衔接教材(二次函数图像性质)教案


高一衔接教材——二次函数
一、 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- 2a 4a b b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时, 2a 2a 2a 2a 4ac ? b 2 函数取最小值 y= . 4a b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- (2)当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时, 2a 2a 2a 2a 4ac ? b 2 函数取最大值 y= . 4a
(1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次 函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a
A(-1,4) y

图 2.2-3

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)? 并画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, ∴函数图象的开口向下; 对称轴是直线 x=-1; 顶点坐标为(-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而 减小; 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴交于点 B (

D(0,1)

C

O x=-1

B

x

2 3 ?3 , 0) 和 3

2 3 ?3 C (? , 0) ,与 y 轴的交点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 3

图 2.2-5

所示) . 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选
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点的盲目性,使画图更简便、图象更精确.





1.下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) 2 2 (A)y=2x (B)y=2x -4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时, 函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ; 当 x= 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函 数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

二、二次函数的三种表示方式
1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) , 于是, 不难发现, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的 根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2 -4ac 存在下列关系: (1) 当 Δ>0 时, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物 线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx +c=0 的两根,所以

b c ,x1x2= , a a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 2 所以,y=ax2+bx+c=a( x ? x ? ) a a
x1+x2= ? = a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2).

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由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x -x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这 三种表达形式中的某一形式来解题. 例 2 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求 二次函数的解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设 成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) , 2 ∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函 数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地 解决问题. 例 3 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达 式. 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交 点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得 y=ax2+2ax-3a,

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 顶点的纵坐标为 4a
由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2, ∴|-4a|=2,即 a= ?

1 . 2 1 2 3 1 3 x ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2

所以,二次函数的表达式为 y=

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴 的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再 利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2, ∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2. ∴a=-
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1 1 ,或 a= . 2 2
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所以,所求的二次函数为 y=-

1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2

说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来 解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. 练 习 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: ( 1 )已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点 ( - 1 , 0) 和 (2 , 0) ,则该二次函数的解析式可设为 y = (a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

三、根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a x1 ? x2 ?
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1· x2= .这一关系也被称为 a a

韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 2 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x -(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 例 4 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出另一个根.但 由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数 和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值.
2

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解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 22+k× 2-6=0, ∴k=-7. 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- 所以,方程的另一个根为-

3 . 5

3 ,k 的值为-7. 5
6 3 ,∴x1=- . 5 5

解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=-

3 k )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5
由 (- 例 5 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化 出一元二次方程来求解. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2 和 6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 练 习 1.选择题: (1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 ( 2 )若关于 x 的方程 mx2 + (2m + 1)x + m = 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 ( )
2 2

1 4 1 (C)m< ,且 m≠0 4
(A)m< 2.填空:

1 4 1 (D)m>- ,且 m≠0 4
(B)m>-

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

1 1 ? = x1 x2

. .

作业:
1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? )

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是
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7 ; 3




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(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2 2 (3)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . 2 (3)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= .



3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个 相等的实数根?没有实数根?

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