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安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


安庆一中 2015-2016 学年第二学期期中考试 高 一 年 级 数 学 试 卷

(考试时间:120 分钟 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列不等式正确的是( A.若 a ? b, 则 a?c ? b?c C. 若 a ? b, 则 )

满分:150 分)

B.若 a ? b, 则 a?c ? b?c
2

2

1 1 2 2 ? D. 若 a ? c ? b ? c 则 a ? b a b 2. 在? ABC中,A =60?,B=75?,a ? 10, 则c边的长度为( )
A. 5 2 B. 10 2 C.

10 6 3


D. 5 6

 ? y ? 6, 则 3. 若 1 ? x ? 4,3
A. [ , ]

x 的取值范围是.( y
C.

1 2 3 3

B. [ , ]

1 4 6 3

1 4 [ , ] 3 3

D. [ , ] . ) D. 有两解 )项之和等于 9 。 D. 97 )

2 4 3 3

4.在△ABC 中,∠A=60°,a= 6 ,b= 7 满足条件的△ABC( A. 不能确定 B. 无解 ? C. 有一解 ,则该数列的前( C. 96

5.数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A. 98 B. 99
2

1 n ? n ?1

6. 数列 {an } 的通项 an ? A.3 B.19

n ,则数列 {an } 中的最大值是( n ? 90
C. D.

7. 下列不等式一定成立的是

1 ? x ( x ? 0) 4 1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) C. sin x ? sin x
A. x ?
2

B. x ? 1 ? 2 x ( x ? R)
2

D.

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

8.在 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 所对的边。若 b ? 2a cos C , 则 ?ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰 三角形 D.等腰或直角三角形 )



9.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sm ? x , S2m ? y , S3m ? z ,则( A. x ? y ? z C. x ? y ? xy ? xz
2 2

B. y ? x ? z
2

D. 2 y ? x ? z
1

10. 一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边形的边数 n 等 于( ) A.12
n

B.16

C.9

D.16 或 9 ?

11. 若不等式 (?1) a ? 2 ? A. B.

(?1)n?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是( n
C.[﹣3,2] D. (﹣3,1)



12. 已知数列 A:具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列 中的一 项、现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 (0 ? a1 ? a2 ? a3 ) 具有性质 P,则 a1 ? a3 ? 2a2 ; 其中真命题有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 不等式

x?3 <0 的解集为____________ x?2

14. 两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

Sn n ? 3 a ,则 6 ? ? Tn 2n ? 1 b6

15.若正实数 x、y, 满足2x ? y ? 6 ? xy, 则xy的最小值是_________

? an ? ,当an为偶数时, 16.已知数列 ?an ? 满足: a1=m(m 为正整数) , an ?1 ? ? 2 若 a6=1,则 m 所有可能 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
的取值的个数为__________。 三、解答题(第 17、18、19 题各 10 分,20 题 12 分,21、22 题 14 分,共 70 分)

? x ? y ? 3, ? 17.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 求目标函数 z=2x+y 的最大值及 此时的最优解 ? y ? 1, ?

18.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求证:

1 1 1 ? ?? ? ?1 a1a2 a2 a3 an an?1
2

19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)边 a, b, c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。

3 2 2 2 (a ? c ? b ) 。 4

20.各项均为正数的数列 ?an ? 中, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,有 2Sn ? 2an 2 ? an ?1 .
*

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 记 b ? 2n ? a 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n n

21.

某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度H(单位:m)如示意图,垂直放置的标杆 BC

高度 h=2m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (Ⅰ)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.21,tan ? =1.17,请据此算出 H 的值; (Ⅱ)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到胜利之塔的 距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差 较大,可以提高测量精确度。若胜利之塔的实际高度为 60m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? E



?
?

?

A D B 22. 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m,bm 是使 得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 2 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (III)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 4m ? 1(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如不存在, 说明理由.
3

参考答案 1-5DCBDB

AB 14 x ?2 ? x ? 3 14. 13. 15. 18 16.3 个(4、5、32) 23 17. 最优解为(2,1) ,z 取得最大值 5 18. (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

6-10CBCCC

?

?

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (II)

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d
×1=n.

故{an}的通项 an=1+(n-1)

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?? ? 1? ?1 a1a2 a2 a3 an an?1 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1
19.(I)B=

? 3 2 (II) sin B ? sin A sin C ? 3 4

20. (I)令 n ? 1, 得a1 ? 1(另一负值舍)

( II )Tn ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 22 ? ? ? ( n ? 1)2 n ?1 ??? (1) 2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? ( n ? 1)2 n ??? (2) (1) ? (2)得:-Tn ? 2 ? 20 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ) ? ( n ? 1)2 n
21.(1)

Tn ? n?2 n

H H H h ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 2 ?1.21 ? ? ? ? 60.5(m) 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.21 ? 1.17

因此,算出的胜利塔的高度 H 是 60.5m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d

4

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , d
(当且仅当 d ? 时,取等号) H (H ? h) ? 60 ? 58 ? 2 870时取得“=”

故当 d ? 2 870 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,故所求的 d 是 d ? 2 870 m。

22 .(Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 2 1 2 22 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 3 2 3 2 3

1 2 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 8,即 b3 ? 8 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 .根据 bm 的定义可知 2

* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2 m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

∵ bm ? 4m ? 1(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

4m ?

m?q ? 4m ? 1 ,即 ? p ? q ? ? 4 p ?1? m ? ?q 对任意的正整数 m 都成立. p
当 4 p ? 1 ? 0 (或 4 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与 上述结论矛盾!

q p?q (或 m ? ? ) , 4 p ?1 4 p ?1

当 4 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 1 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? q ,解得 ? ? q ? 0 . 4 4 4 1 1 ,? ? q ? 0 . 4 4
5

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 4m ? 1(m ? N ? ) ;p 和 q 的取值范围分别是 p ?


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