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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课件_图文

第五章




第一节数列的概念与简单表示法

基础盘查一

数列的有关概念

(一)循纲忆知

了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前 n 项和)

(二)小题查验
1.判断正误
(1)1,2,3,4 和 1,2,4,3 是相同的数列
(2)同一个数在数列中可以重复出现

( × )
( √ )

(3)an 与{an}是不同的概念

( √ )

(4)所有的数列都有通项公式,且通项公式在形式上一定是唯一 的 ( ×)

2.(人教 A 版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式,使 它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 (1)1,- , ,- ; 2 3 4

?-1?n+1 an= n

(2)2,0,2,0.
an=(-1)n+1+1

基础盘查二
(一)循纲忆知

数列的表示方法

1. 了解数列三种简单的表示方法(列表法、 图象法、 通项公式法);

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)数列是一种特殊的函数 ( √ )

(2)毎一个数列都可用三种表示法表示

( × )

(3)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对?n∈N*,都有 an+1= Sn+1-Sn (√ )

1 an 161 . 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,则 a5 等于____ 2an+3

基础盘查三
(一)循纲忆知

数列的分类

了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等).

(二)小题查验
x-1 1.(人教 B 版教材例题改编)已知函数 f(x)= x ,设 an=f(n)(n

递增 数列(填“递增”或“递减”) ∈N*),则{an}是______
2. 对于数列{an}, “an+1>|an|(n=1,2?)”是“{an}为递增数列”

充分不必要 条件. 的___________

考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

[提醒] 不是所有的数列都有通项公式,若有,也不一定唯一.

[题组练透]
1.已知 n∈ N*,给出 4
? ?0,n为奇数, 个表达式:①an=? ? ?1,n为偶数,

② an =

? 1+?-1?n 1+cos nπ n π? ,③an= ,④an=?sin 2 ?.其中能作为数列: 2 2 ? ?

0,1,0,1,0,1,0,1,?的通项公式的是 A.①②③ C.②③④ B.①②④ D.①③④

(

)

解析:检验知①②③都是所给数列的通项公式.

2.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,?; 1 1 1 1 (2)- , ,- , ,?; 1×2 2×3 3 × 4 4× 5 (3)a,b,a,b,a,b,?(其中 a,b 为实数); (4)9,99,999,9 999,?.

解:(1)各数都是偶数,且最小为 4,所以通项公式 an=2(n+1), n∈N*. (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒 数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式 an= 1 (-1) × ,n∈N*. n?n+1?
n

(3)这是一个摆动数列,奇数项是 a,偶数项是 b,所以此数列的一个 通项公式
? ?a,n为奇数, an=? ? ?b,n为偶数.

(4)这个数列的前 4 项可以写成 10-1,100-1,1 000-1,10 000-1, 所以它的一个通项公式 an=10n-1,n∈N*.

[类题通法]

用观察法求数列的通项公式的技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每 一项的特点,观察出项与 n 之间的关系、规律,可使用添项、 通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对 于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n 1 来调整.


(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

考点二

由an与Sn的关系求通项an (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
数列的前 n 项和通常用 Sn 表示,记作 Sn=a1+a2+?+an, 则通项
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2

.

[提醒] 若当 n≥2 时求出的 an 也适合 n=1 时的情形,则用一
个式子表示 an,否则分段表示.

[典题例析]
已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.
解:(1)a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]= 4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5.

(2)a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3n 1.
- -

当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an=2· 3n-1; 当 b≠-1
? ?3+b,n=1, 时,an=? n-1 ? 3 ,n≥2. ?2·

[类题通法]

已知 Sn 求 an 的三个步骤 (1)先利用 a1=S1 求出 a1;
(2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn -Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式;
(3)对 n=1 时的结果进行检验, 看是否符合 n≥2 时 an 的表 达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合, 则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写.

[演练冲关]

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn=(-1)n+1· n,求 a5+a6 及 an; (2)若 Sn=3n+2n+1,求 an.
解:(1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2, 当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1· n-(-1)n· (n-1) =(-1)n+1· [n+(n-1)]=(-1)n+1· (2n-1), 又 a1 也适合于此式, 所以 an=(-1)n 1· (2n-1).


(2)因为当 n=1 时,a1=S1=6; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n 1+2(n-1)+1]


=2· 3n 1+2,


由于 a1 不适合此式, 所以
? ?6,n=1, an=? n-1 ? 3 +2,n≥2. ?2·

考点三

由递推关系式求数列的通项公式 (常考常新型考点——多角探明)

[必备知识]
递推公式: 如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项

an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[多角探明]
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定 数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项
归纳起来常见的命题角度有: 公式直接 . (1)形如 an+1=anf(n),求 an;

(2)形如 an+1=an+f(n),求 an;

(3)形如 an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1),求 an.
Aan (4)形如 an+1= (A,B,C 为常数),求 an. Ban+C

角度一:形如 an+1=anf(n),求 an
n+2 1. 在数列{an}中, a1=1, 前 n 项和 Sn= a .求数列{an}的通项公式. 3 n

解:由题设知,a1=1. n+ 2 n+ 1 an n+1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= a- a .∴ = . 3 n 3 n-1 an-1 n-1 an n+1 a4 5 a3 4 a2 ∴ = ,?, = , = , =3. a3 3 a2 2 a1 an-1 n-1 an n?n+1? 以上 n-1 个式子的等号两端分别相乘,得到 = . a1 2 n?n+1? 又∵a1=1,∴an= . 2

角度二:形如 an+1=an+f(n),求 an
1 2.(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ ,求数列{an}的通项 n?n+1? 公式. (2)若数列{an}满足: a1=1, an+1=an+2n, 求数列{an}的通项公式.

1 1 1 解:(1)由题意,得 an+1-an= = - , n?n+1? n n+1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1
? 1 ? ?1 1? ? 1? 1 ? 1? 1 ? ? ? 1 ? =?n-1-n?+?n-2-n-1?+?+?2-3?+?1-2?+2=3-n. ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)由题意知 an+1-an=2n, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1
n 1 - 2 - - =2n 1+2n 2+?+2+1= =2n-1. 1-2

角度三:形如 an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1),求 an
3.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.
解:∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n 1,


∴an=2· 3n-1-1.

Aan 角度四:形如 an+1= (A,B,C 为常数),求 an Ban+C 2an 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数列{an}的通项公式. an+2 2an 解:∵an+1= ,a =1,∴an≠0, an+2 1

1 1 1 1 1 1 ∴ = + ,即 - = ,又 a1=1,则 =1, a1 an+1 an 2 an+1 an 2
? ?1? ? ? ∴?a ? 是以 ? ? n?

1

1 1 为首项, 为公差的等差数列. 2

1 1 1 n 1 ∴a = +(n-1)× = + , a1 2 2 2 n 2 ∴an= (n∈N*). n+ 1

[类题通法]

由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为 an+1=an +f(n)或 an+1=f(n)· an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项 公式,另外,通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式, (如角度二),注意:有的问题也可利用构造法,即通过对递推式 的等价变形,(如角度三、四)转化为特殊数列求通项.


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