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2014届内蒙古鄂尔多斯市高三下学期模拟考试理科数学试卷(带解析)

2014 届内蒙古鄂尔多斯市高三下学期模拟考试理科数学试卷(带解 析)
一、选择题 1.已知全集 A. 【答案】A 【解析】 试题分析: 考点:集合的运算. 2.已知复数 A. B. C. D. ,若 是实数,则实数 的值为 ( ) ,∴ . B. ,集合 C. ,集合 D. ,则 为( )

【答案】C 【解析】 试题分析: 考点:复数的运算与概念. 3.已知 是由正数组成的等比数列, 值是 ( ) A. B. C. D. 表示 的前 项的和,若 , ,则 的 是实数,则 , .

【答案】C 【解析】 试题分析:∵ ,∴ , ,∴ ,∴ .

考点:等比数列的前 项和. 4.设 A. B. C. D. 为平面, 为直线,以下四组条件,可以作为 的一个充分条件的是( )

【答案】D 【解析】 试题分析: 中没有说明 能得到题设结论, 中 可得 ,选 D. ,直线 与平面 关系不确定, 中如果把 改为 就 与 没有任何关系, 中由 可得 ∥ ,再加上

考点:线面垂直的判定与性质. 5.在 A.5 的展开式中 的系数等于 B.10 C.15 D.20 ,则该展开式各项的系数中最大值为( )

【答案】B 【解析】 试题分析:展开式的通项为 即 ,展开式中第 项为项,第 ,令 ,则 ,所以 ,选 B. ,

项为正,系数最大值应该为

考点:二项式系数的性质. 6.已知数列 的各项均为正数,执行程序框图(如右图),当 时, ,则 ( )

A.2012 【答案】D 【解析】

B.2013

C.2014

D.2015

试题分析:据程序框图,数列

是公差为 1 的等差数列, ,解得 , ,选 D.

,据题意 考点:程序框图,等差数列通项公式.

7..已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆,且该几何体的体积为 ;直径为 2 的球的体积为 .则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:由题意,该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体, , 考点:三视图,体积. 8.若 A. 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ ,∴ , ,综上 ,∴ , ,选 B. ,∴ ,又 , ,∴ , B. ,则( ) C. D. ,∴ .选 B.

考点:指数与对数的大小比较.

9.已知实数 、 满足约束条件 投影,则 的取值范围是 ( ) A. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意 线 B. C.





,设 表示向量 在 方向上的

D.

,如图,作出约束条件的可行域为 ,

内部(含边界),作直

,平行直线 ,当 可点 ,

时, 分别取得最小值和最大值,

,因此选 C.

考点:线性规划问题. 10.已知 A. 【答案】C 【解析】 试题分析: 成立,即 恒成立,即 ,由题意当 ,解得 时, .选 C. 恒 ,函数 B. C. ,若 在 D. 上是单调减函数,则 的取值范围是( )

考点:函数的单调性,不等式恒成立问题. 11.已知直线 (k>0)与抛物线 ,则 k 的值为( ) A. B. C. D. 相交于 、 两点, 为 的焦点,若

【答案】D 【解析】 试题分析:设 得 ,选 D. 考点:直线与抛物线相交问题与抛物线的焦半径. 12.设函数 < ,则使 B.1 个 ,集合 成立的实数对 C.2 个 有( ) 其中 ( , ),由 ②, 得 ①,又由 ③,由①②③可解得

A.0 个

D.无数多个

【答案】A 【解析】

试题分析:首先研究函数 ,当 程组除 时,

的性质知, ,若

是奇函数,在实数集 上是减函数,当 ,即 不存在.选 A.

时,

存在,则

,此方

外无其他实数解,故符合题意的实数对

考点:函数的性质,方程组的解. 二、填空题 1.已知 是两个单位向量,若向量 ________. 【答案】 【解析】 试题分析: . 考点:向量的夹角. 2.已知圆 【答案】 【解析】 试题分析:圆心 线 的方程为 ,所求概率为 考点:几何概型. 3.若 【答案】 【解析】 试题分析: . 考点:诱导公式,二倍角公式,降幂公式. ,又 ,则 ,所以 , ,则 的值等于________. 到直线 的距离为 ,设 与圆相交于点 . ,那么与直线 距离为 2 且与圆相交的直 ,则 ,因此 直线 圆 上的点 到直线 的距离小于 2 的概率为________. ,∴ ,即 , ,则向量 与 的夹角是

4..将正奇数按下表的规律填在 5 列的数表中,则第 20 行第 3 列的数字与第 20 行第 2 列数字 的和为________. 1 15 13 17 31 … 29 … 3 11 19 27 … 5 9 21 25 … … 23 7

【答案】312 【解析】 试题分析:前 19 行共有 . 考点:新定义,数列的项. 三、解答题 1.设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 (1)求角 A 的大小; (2)若角 【答案】(1) ;(2) 【解析】 试题分析:(1)本题考查解三角形的知识,问题是求角,因此我们一般把已知条件中边转化为 角,如果等式两边边的关系是齐次的,那么我们可以应用正弦定理转化为角,本题中已知条 件 ,就可转化为 ,下面只要利用三角公式进行变形就 能求出 ;(2) 的角已经求出,但要求面积还必须至少知道两边,我们要由中线 来求边,观察三角形,会发现在 得 的长,下面就可求面积了. , 2分 . 4分 6分 中, ,由此用余弦定理可求 边上的中线 AM 的长为 . ,求△ ABC 的面积. 个数,所求两数为第 78 和第 79 个奇数,因此和为

试题解析:(1)∵ ∴ 即 ∴ ∵

(2)由(1)知 设 在 即 故 ,则

,所以 ,又 9分



中,由余弦定理得 ,解得 12 分 ,

考点:(1)正弦定理,三角恒等式;(2)余弦定理,三角形的面积. 2.平行四边形 中, , ,连接 AC. ,且 ,以 BD 为折线,把△ ABD 折起,

(1)求证:; (2)求二面角 B-AC-D 的大小. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】 试题分析:(1)要证线线垂直,一般先其中一条直线与过另一条直线的某个平面垂直,首 先我们在图形中寻找垂直关系,折叠后的图形中,只有一个面面垂直,没有线线的关系,回 到原平面图形中,已知条件是 , ,且 ,应用余弦定理可求得 ,因此 是等腰直角三角形, ,因此 ,同样 , 是垂直 的两平面的交线,由面面垂直的性质可得 平面 ,证线线垂直所需要的线面垂直出来 了,结论得证;(2)求二面角,可以根据二面角的定义作二面角的平面角,首先寻找两个 面中其中一个平面的垂线,由题意,取 中点 ,则 ,从而可证 平面 ,那 么只要作 ,垂足为 ,则 就是所要的平面角,当然本题也可用空间向量法求. 试题解析:(1)在中, 易得.面面 面 4分 , .

(2)法一:在四面体 ABCD 中,以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 垂直于平面 BDC 的直线为 z 轴,建立如图空间直角坐标系.则 D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0), A(1,0,1). 6分 设平面 ABC 的法向量为,而 由得: 取 , 8分 , ,

再设平面 DAC 的法向量为,而 由得: ,取 10 分

所以,所以二面角 B-AC-D 的大小是 60°. 12 分 法二:取 BC 的中点 E,连 DE,过 D 作 DF AC 于 F,连 EF,则 分 , ∴ 12 分 是二面角 B-AC-D 的平面角 8

法三:补成正方体. 考点:(1)证线线垂直;(2)求二面角. 3.学生的数学学习水平按成绩可分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2, ,8,其中 为 标准 A, 为标准 B.已知甲学校执行标准 A 考评学生,学生平均用于数学的学习时间为 3.5 小时/天;乙学校执行标准 B 考评学生,学生平均用于数学的学习时间为 2.5 小时/天.假定甲、 乙两学校都符合相应的执行标准. (1)已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: X1 P 5 0.4 6 a 7 b 8 0.1

且 X1 的数学期望 EX1=6,求 a、b 的值; (2)为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数 X2,从该校随机选取了 30 名学生,相应 的等级系数组成一个样本,数据如下: 3533855634

6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望; (3)在(1)、(2)的条件下,哪个学校的数学学习效率更高?说明理由. (注: 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)我们知道在概率分布列是,所有的概率之和为 1,而数学期望为 , 从而根据题设条件可以列出关于 的方程组以求出 ;(2)由题设 的所有可能值为 ,从样本数据中可以得出各个取值的频数,计算出相应的频率,用样本估计总体, 列出概率分布列,根据期望公式 求出数学期望;(3)根据公式 计算出甲乙两校的数学学习效率,可得出哪个学校的数学 学习效率更高. 试题解析:(1) X2 频 数 P 3 9 0.3 4 6 0.2 5 6 0.2 6 3 0.1 7 3 0.1 8 3 0.1 . ;(2) ) ;(3)乙.

(2)
9分 (3)甲学校学生的数学学习效率

乙学校学生的数学学习效率 ∴乙学校学生的数学学习效率更高 12 分

考点:概率分布列,数学期望,新定义(数学学习效率). 4.已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 ,且过点( ).

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l:y=kx+t 与圆 点 B. (1<R<2)相切于点 A,且 l 与椭圆 E 只有一个公共

①求证: ②当 R 为何值时, 【答案】(1) 【解析】

; 取得最大值?并求出最大值. ;(2)①证明见解析;② 时, 取得最大值为 1.

试题分析:(1)椭圆的离心率为

,又椭圆过已知点,即

,再加上



联立可求得 ;(2)直线与圆及椭圆都相切,因此可以把直线方程与椭圆方程(或圆方程) 联立方程组,此方程组只有一解,由此可得到题中参数的关系式,当然直线与圆相切,可利 用圆心到直线的距离等于圆的半径来列式,得到的两个等式中消去参数 即可证得①式;而 ②要求 的最大值,可先求出 ,注意到 用 表示, ,因此 ,这里设 ,利用不等式知识就可 , 由①中的方程(组)可求得 求得最大值. 试题解析:(1)椭圆 E 的方程为 (2)①因为直线 与圆 C: 即 ① 5分 4分 相切于 A,得 , ,最终把

又因为 与椭圆 E 只有一个公共点 B, 由 得 ,且此方程有唯一解.

则 ②由①②,得 ②设 由韦达定理, ∵ ∴ 在直角三角形 OAB 中, 点在椭圆上,∴ 10 分 ,由 得 8分





12 分

考点:椭圆的标准方程,直线与圆相切,直线与椭圆相切. 5.已知 (1)当 (2)设函数 线分别交 、 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)极值点的求法是利用导数知识求解,求出 ,求得 的解 ,然后 确定当 以及 时的 的符号,若当 时, ,当 时, ,则 是 极大值点,反之是极小值点;(2)题设中没有其他的已知条件,我们只能设 ,则 的横坐标为 ,利用导数可得出切线的斜率 , ,也 时,求 的极大值点; 交于 、 两点,过线段 的中点做 轴的垂 处的切线与 在点 处的切线不平行.

的图象 与函数 的图象 于点 、 ,证明: 在点 ;(2)证明见解析.

,题设要证明的否定性命题,我们用反证法,假设两切线平行,即 即 等式两边同乘以

,下面的变化特别重要,变化的意图是把这个等式与已知函数联系起来, ,得

,从而等式变为

,注意

到 设

,此等式为

能否成立?能成立,说明存在平行,不能成立说明不能平行. ,即

,仍然用导数的知识来研究函数的性质, 时, ,即等式

是增函数,从而在 证. 试题解析:(1)

不可能成立,假设不成立,结论得

2分 令 h’(x)=0,则 4x +2x-1=0, 解出 x1= ,x2= 3分 4分 5分
2

所以

的极大值点为

6分 .

(2)设 P、Q 的坐标分别是 则 M、N 的横坐标 . , . 7分

∴C1 在点 M 处的切线斜率为 C2 在点 N 处的切线斜率为

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 即 8分





10 分

设 t= 令

,则 则



∴r(t)在[1,+∞)上单调递增,故 r(t)>r(1)=0. ∴ ,这与①矛盾,假设不成立, 12 分

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

考点:导数的应用,求极值点,切线斜率,函数的性质. 6.如图: 是⊙ 的直径, 是弧 的中点, ⊥ ,垂足为 , 交 于点 .

(1)求证: (2)若

=

; 的长.

=4,⊙ 的半径为 6,求

【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

.

试题分析:(1)要证 ,只要证 ,一种方法这两个角能否放在一对全等 三角形中,为此我们连接 交 于 ,由圆的性质知 ,这里就有 , 要证的角对应相等了,当然也可以证明 RtΔCEO≌RtΔBMO,从而 ,也能得到 ,由于在圆中.我们还可以 交圆于点 ,可得到到 ,那么等弧所 对的圆周角相等,结论得证;(2)由(1)可知 ,下面在 中可求得 , 在 中可求得 . 试题解析:(1)证法一:连接 CO 交 BD 于点 M,如图 1 1 分 ∵C 为弧 BD 的中点,∴OC⊥BD 又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ∴∠OCE=∠OBM 3分 4分 5分 2分

又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF

证法二:延长 CE 交圆 O 于点 N,连接 BN,如图 2 1 分 ∵AB 是直径且 CN⊥AB 于点 E ∴∠NCB=∠CNB 2分

又∵弧 CD=弧 BC,∴∠CBD=∠CNB 3 分 ∴∠NCB=∠CBD 即∠FCB=∠CBF 4分

∴CF=BF

5分

(2)∵O,M 分别为 AB,BD 的中点

∴OM=2=OE ∴EB=4 在 Rt△ COE 中, ∴在 Rt△ CEB 中, 考点:(1)证明线段相等;(2)求线段的长. 7.已知曲线 的参数方程是 轴建立极坐标系,曲线 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极 . 7分 9分 10 分

的极坐标方程是 的直角坐标方程; 、

(1)写出 的极坐标方程和 (2)已知点 射线 与曲线 、

的极坐标分别是

,直线

与曲线

相交于 、 两点, 的值.

相交于点 ,射线 :

与曲线 相交于点 ,求 , ;(2) .

【答案】(1) 【解析】

试题分析:(1)题中参数方程化为普通方程只要消去参数 ,极坐标系与直角坐标系的互化 公式为: ;(2)首先明确 是什么?可把点 ,即 ,代入 坐标化为直角坐标,发现 ,我们在极坐标系中 ,代入

就是圆心,从而线段

是圆的直径,因此题中有

证明本题结论较方便,因为可设 即可求得 . 的普通方程为 3分 5分 , 的一条直径, ,有 6分

的极坐标方程,可得

试题解析:(1)曲线 化为极坐标方程为: 曲线 的普通方程为:

1分

(2)在直角坐标系下, 线段 ∴ 是是圆 ,由

是椭圆上的两点,在极坐标系下,设

分别代入







8分

解得:



. 9分

则 即 10 分

.

考点:(1)参数方程,极坐标方程与普通方程的互化;(2)极径的计算. 8.已知 (1)求 的值; (2)若 【答案】(1)2;(2) 【解析】 试题分析:(1)我们首先求出不等式 的解集,这个解集与 相等,由此可 求得 ;(2) ,一种方法,这个函数是分段函数,我们把它化为 一般的分段函数表达式,以便求出它的最大(小)值,从而求得 的最大值,得到 的取值范围,也可应用绝对值不等式的性质 ,求得最大值. 试题解析:解法一:(1)由不等式|2x-a|-a≤2,得|2x-a|≤2+a, ∵解集不空,∴2+a≥0. 解不等式可得{x∣-1≤x≤1+a}. ∵-1≤x≤3,∴1+a﹦3,即 a=2. 3分 5分 6分 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围. . ,不等式 的解集为 .

(2)记 g(x)=f(x)-f(x+2)=|2x-2|-|2x+2|, 4,(x≤-1) 则 g(x)=-4x,(-1﹤x﹤1). -4,(x≥1) 所以-4≤g(x)≤4,∴|g(x)|≤4,因此 m≥4. 10 分 8分

解法二:∵f(x)-f(x+2)=|2x-2|-|2x+2|, ∵|2x-2|-|2x+2|≤|(2x-2)-(2x+2)|=4. 7分

|2x-2|-|2x+2|≥|2x|-2-(|2x|+2)=-4. 9 分 ∴-4≤|2x-2|-|2x+2|≤4. ∴|f(x)-f(x+2)|≤4. ∴m≥4. 10 分

考点:(1)解绝对值不等式;(2)分段函数的最值,不等式恒成立问题.