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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2-3-2 双曲线的简单几何性质_图文

成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
2.3 双曲线

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 2 课时 双曲线的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第二章

2.3

第2课时

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课程目标解读

第二章

2.3

第2课时

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1.通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、 范围、顶点、离心率等简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近线,并能用双曲线的简单几何性质解 决一些简单的问题.

第二章

2.3

第2课时

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课前自主预习

第二章

2.3

第2课时

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轴对称 1.双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的_______图形;也是 中心对称 以原点为对称中心的___________图形,这个对称中心叫做

双曲线的中心 ______________.
顶点 2.双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的______,
x2 y2 (± a,0) 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的顶点是______,这两个顶点之间

实轴 的线段叫做双曲线的_____,它的长等于____.同时在另一条对 2a 虚轴 称轴上作点 B1(0,-b),B2(0,b),线段 B1B2 叫做双曲线的__, 2b 实半轴长和虚半轴长 它的长等于___,a、b 分别是双曲线的___________________.

第二章

2.3

第2课时

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b x2 y2 y=± x a 3.双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为_______. a y2 x2 y=± x b 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为__________. a b

离心率 4. 双曲线的半焦距 c 与实半轴 a 的比叫做双曲线的_____, (1,+∞) 其范围是___________.

第二章

2.3

第2课时

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重点难点展示

第二章

2.3

第2课时

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重点:双曲线的几何性质,双曲线各元素之间的相互依存 关系,特别是双曲线的渐近线性质. 难点:有关双曲线的离心率、渐近线的问题,数形结合思 想、方程思想、等价转化思想的运用.

第二章

2.3

第2课时

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学习要点点拨

第二章

2.3

第2课时

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1.双曲线的渐近线 (1)对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,利用双 曲线的渐近线来画双曲线特别方便. (2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线, 过双曲线实轴的 两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成 一个矩形,其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.

第二章

2.3

第2课时

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(3)要理解“渐近”两字的含义, 当双曲线的各支向外延伸 时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的. (4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法: 把标 x2 y2 准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程,即双曲线 a2-b2 x2 y2 b y2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 2- 2=0,即 y=± x;双曲线 2 a b a a x2 y2 x2 a -b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为a2-b2=0,即 y=± x. b

第二章

2.3

第2课时

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(5)根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法: 渐近线 n x2 y2 x2 为 y= x 的双曲线方程可设为: 2- 2=λ(λ≠0), 与双曲线 2- m m n a y2 x2 y2 =1 共渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0), 这里 λ 是 b2 a b 待定系数,其值可由题目中的条件确定.

第二章

2.3

第2课时

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2.双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形, 边长满足 c2=a2+b2,称为双曲线的特征三角形.

第二章

2.3

第2课时

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(2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线,垂足为 D,则|OF|=c, |FD|=b,|OD|=a,△OFD 亦是直角三角形,满足|OF|2=|FD|2 +|OD|2,也称为双曲线的特征三角形.

第二章

2.3

第2课时

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3.学习双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线只有两个顶点,离心率 e>1; (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2, 实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直; (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、 e 的不同.

第二章

2.3

第2课时

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课堂典例讲练

第二章

2.3

第2课时

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命题方向

思路方法技巧 已知双曲线的方程,研究其几何性质

[例 1]

求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、 焦点坐标、

实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. [分析] 要将双曲线方程化成标准方程,然后由各个所

求量的定义作答.

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

x2 y2 将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1, 9 4

x2 y2 即32-22=1, ∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,

第二章

2.3

第2课时

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c 13 离心率 e= = , a 3 b 2 渐近线方程 y=± x=± x. a 3 作草图如图:

第二章

2.3

第2课时

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[点评]

由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤

x2 y2 y2 x2 是:先将双曲线方程化为标准形式 2- 2=1(或 2- 2=1),再 a b a b 根据它确定 a、b 的值(注意它们的分母分别为 a2、b2,而不是 a、b,进而求出 c,再对照双曲线的几何性质得到相应的答 案).画几何图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、2b 为 两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋 势,就可画出双曲线的草图.

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 求双曲线 3 - 4 =1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点 坐标.

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

由题意知 a2=3,b2=4,

所以 c2=a2+b2=3+4=7,解得 a= 3,b=2,c= 7. 因此,双曲线的实轴长 2a=2 3,虚轴长 2b=4. 顶点坐标为(- 3,0),( 3,0), 焦点坐标为(- 7,0),( 7,0).

第二章

2.3

第2课时

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命题方向

由双曲线的性质求双曲线的方程

[例 2]

(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上, 实轴长与虚轴长

之比为 2:3,且经过点 P( 6,2),求双曲线方程; 5 (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为3,且经过点 M(-3,2 3),求双曲线方程; (3)若双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0, 且两顶点间的距 离是 6,求双曲线方程.

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

y2 x2 (1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由题意 a b

a 2 4 6 知b=3.又∵双曲线过点 P( 6,2),∴a2-b2=1, ?a 2 ?b=3 依题意可得? ? 42- 62=1 ?a b ? 2 4 ?a = 3 . ,解得? ?b2=3 ?

3 2 1 2 故所求双曲线方程为4y -3x =1.

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 (2)设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
2 2 5 c2 a +b b2 25 ∵e=3,∴e2=a2= a2 =1+a2= 9 ,

b 4 ∴a=3. ?b 4 ?a=3 由题意得? ? 92-12=1 2 ?a b ? 2 9 ?a = 4 . ,解得? ?b2=4 ?

x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 9 - 4 =1. 4
第二章 2.3 第2课时

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x2 y2 (3)设双曲线方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0), λ - λ =1(λ≠0), 即 4 9 由题意得 a=3. λ x2 y2 当 λ>0 时,4=9,λ=36,双曲线方程为 9 - 4 =1; -λ y2 4x2 当 λ<0 时, 9 =9,λ=-81,双曲线方程为 9 - 81 =1. x2 y2 y2 4x2 故所求双曲线方程为 9 - 4 =1 或 9 - 81 =1.

第二章

2.3

第2课时

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[点评]

根据双曲线的几何性质如渐近线、离心率等求双

曲线方程,与求椭圆的标准方程相同,一般都是采用待定系数 法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.若已知双 曲线的渐近线方程求双曲线方程时,常常根据双曲线的标准方 程与相应渐近线的关系来设其标准方程,即若已知双曲线的渐 近线方程为 mx± ny=0,则可设所求的双曲线方程为 m2x2-n2y2 =λ(λ≠0), 其中 λ 为待定量, 再根据题设条件求出 λ 值即可. 这 样就避免了讨论,简化了计算.

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲 16 4 线的标准方程为________.
x2 y2 12- 8 =1

[答案]

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

x2 y2 解法一:设双线方程为 a2-b2=1(a>b,b>0),由

题意,易求 c=2 5. ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线方程为12- 8 =1.

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k x2 y2 将点(3 2,2)代入得 k=4,故所求双曲线方程为 - = 12 8 1.

第二章

2.3

第2课时

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建模应用引路

命题方向

双曲线的离心率

[例 3]

x2 y2 设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l a b

3 过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 c,求双曲 4 线的离心率. [分析] 由截距式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a、b、

c c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而解出 的值. a

第二章

2.3

第2课时

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[解析] ab=0.

由 l 过两点(a,0),(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-

3 ab 3 由原点到 l 的距离为 4 c 得, 2 2= 4 c. a +b 将 b= c2-a2代入平方后整理得, a2 2 a2 16(c2 ) -16·2 +3=0. c a2 a2 3 1 解关于c2 的一元二次方程得c2 =4或4. c 2 3 ∵e=a,∴e= 3 或 e=2.
第二章 2.3 第2课时

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a2+b2 c 因 0<a<b,故 e= = = a a

b2 1+ 2> 2, a

2 3 所以应舍去 e= ,故所求离心率 e=2. 3

第二章

2.3

第2课时

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[点评]

2 3 此题易得出错误答案:e=2 或 e= . 3

其原因是未注意到题设条件 0<a<b,从而离心率 e> 2.而 2 3 3 < 2,故应舍去.

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 (2013· 北京理,6)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则 a b 其渐近线方程为( A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 ) B.y=± 2x 2 D.y=± 2 x

[答案]

B

第二章

2.3

第2课时

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[解析] 质.

本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性

因为离心率 e= 3,所以 c= 3a,即 b= 2a,因为双曲 线的焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y=± 2x.选 B.

第二章

2.3

第2课时

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探索延拓创新

命题方向

最值问题

[例 4]

设双曲线中心是坐标原点,实轴在 y 轴上,离心

5 率为 ,已知点 P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是 2, 2 求双曲线方程.

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

y2 x2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),因为离心

c 5 y2 2 率 e=a= 2 ,所以 a=2b,所以所求双曲线方程为 4 -x =b2. 设 Q(x,y)为双曲线上一点,依题意 |PQ|= x +?y-5? =
2 2

5 ?y-4?2+5-b2, 4

其中 y≥2b,若 2b≤4,当 y=4 时,|PQ|最小=2. 从而,5-b2=4,即 b2=1, y2 2 双曲线方程为 -x =1. 4
第二章 2.3 第2课时

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5 若 2b>4,当 y=2b 时,|PQ|最小=2,从而4(2b-4)2+5-b2 7 3 =4,所以 b= 或 b= (与 b>2 矛盾). 2 2 y2 4x2 所以双曲线方程为49- 49 =1. y2 2 y2 4x2 故所求双曲线方程为 4 -x =1 或49- 49 =1.

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 点 A、B 分别是椭圆36+20=1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点. P 在椭圆上, 点 且位于 x 轴的上方, PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的点,M 到直线 AP 的距离等于 |MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

第二章

2.3

第2课时

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[解析] 为(x,y),

(1)由已知可得点 A(-6,0)、F(4,0),设点 P 的坐标

→ → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y), x2 y2 ? ? + =1 由已知得?36 20 , ??x+6??x-4?+y2=0 ? 3 消去 y 得,2x +9x-18=0,∴x=2或 x=-6.
2

3 5 3 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= . 2 2 ∴点 P
?3 5 3? ? 的坐标是? , . ?2 2 ? ? ?
第二章 2.3 第2课时

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(2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0,设点 M 的坐标为 |m+6| |m+6| (m,0),则 M 到直线 AP 的距离是 ,于是 =|m-6|, 2 2 又-6≤m≤6,解得 m=2. 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离为 d, 4? 9?2 ∴d =(x-2) +y =9?x-2? +15, ? ?
2 2 2

9 ∵-6≤x≤6,∴当 x=2时,d 取最小值 15.

第二章

2.3

第2课时

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名师辨误作答
[例 5] 已知⊙C1:(x+3)2+y2=1,⊙C2:(x-3)2+y2=9,

⊙P 与⊙C1、⊙C2 都相外切,求⊙P 的圆心 P 的轨迹方程. [错解] 由题设条件知,||PC2|-|PC1||=2,∴P 点在以 C1、

C2 为焦点的双曲线上,∴c=3,又 2a=2,∴a=1,∴b2=c2 y2 -a2=8,∴所求轨迹方程为 x2- =1. 8

第二章

2.3

第2课时

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[辨析]

∵⊙P 与⊙C1,⊙C2 都相外切,

∴|PC1|=R+1,|PC2|=R+3, ∴|PC2|-|PC1|=2,|PC1|-|PC2|≠2, 故所求轨迹应为双曲线的一支, 即靠近点 C1 的一支(左支).

第二章

2.3

第2课时

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[正解]

∵⊙P 与⊙C1 与⊙C2 都相外切,

∴|PC2|-|PC1|=2<|C1C2|, ∴P 点在以 C1、C2 为焦点的双曲线靠近 C1 的那一支上, ∵2a=2,∴a=1, 又 c=3,∴b2=c2-a2=8, y2 ∴所求轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8

第二章

2.3

第2课时

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方法规律总结

第二章

2.3

第2课时

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1.已知双曲线方程讨论其几何性质,应先将方程化为标 准形式,找出对应的 a,b,利用 c2=a2+b2 求出 c,再按定义 找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 2.已知双曲线的几何性质求标准方程一般用待定系数法; x2 y2 x2 y2 与双曲线a2-b2=1 共渐近线的双曲线方程为a2-b2=λ.

第二章

2.3

第2课时

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3.求双曲线的离心率,常常利用已知条件列出关于 a、b、 c 的等式,利用 a2+b2=c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式,再 c 利用 e=a化为 e 的方程求解,若是求 e 的取值范围,则要结合 已知条件建立关于 a、c 的不等式,要特别注意 e 的限制条件.

第二章

2.3

第2课时

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课堂巩固训练

第二章

2.3

第2课时

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一、选择题 x2 y2 1.设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 9 a 的值为( A.4 ) B.3 C.2 D.1

[答案] C

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

∵双曲线的焦点在 x 轴上,

3 ∴渐近线方程为 y=± x, a 3 又已知渐近线方程为 3x± 2y=0,即 y=± x,∴a=2. 2

第二章

2.3

第2课时

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2.(2013· 广东理,7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点 3 为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( 2 x2 y2 A. 4 - =1 5 x2 y2 C. 2 - 5 =1 x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 2 - =1 5 )

[答案] B

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

3 e=2,c=3,∴a=2,∴b2=c2-a2=5,

x2 y2 即双曲线的标准方程为 - =1. 4 5

第二章

2.3

第2课时

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二、填空题 y2 x2 3.若双曲线 - =1 的离心率 e=2,则 m=________. 16 m
[答案] 48

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

∵a2=16,b2=m,∴a=4,b= m,c2=16+m,

16+m c ∴e= = =2,解得 m=48. a 4

第二章

2.3

第2课时

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x2 y2 4.过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2 +y2=a2 的两条切线,切点分别为 A、B,若∠AOB=120° 是 (O 坐标原点),则双曲线 C 的离心率为________.

[答案]

2

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

考查双曲线与圆的方程、双曲线的几何性质.

如图,由题设条件知|OA|=a,|OF|=c,∠AOF=60° ,∴e c = =2. a

第二章

2.3

第2课时

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三、解答题 5. (2012· 威海高二期末)已知双曲线的一条渐近线为 x+ 3 y=0,且与椭圆 x2+4y2=64 有相同的焦距,求双曲线的标准 方程.

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

x2 y2 椭圆方程为 + =1, 64 16

∴椭圆的焦距为 8 3. x2 y2 ①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 2- 2= a b 1(a>0,b>0), ?a2+b2=48 ?a2=36 ? ? ∴?b ,解得? 2 . 3 ?b =12 ? ?a= 3 ? x2 y2 ∴双曲线的标准方程为36-12=1.
第二章 第2课时

2.3

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y2 x2 ②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为a2-b2= 1(a>0,b>0), ?a2+b2=48 ?a2=12 ? ? ∴?a ,解得? 2 . 3 ?b =36 ? ?b= 3 ? y2 x2 ∴双曲线的标准方程为12-36=1. x2 y2 y2 x2 由①②可知,双曲线的标准方程为36-12=1 或12-36= 1.
第二章 2.3 第2课时

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