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高二双曲线—(知识点


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高二数学双曲线
一 知识提要:

1. 双曲线第一定义: 平面内与两个定点 F1、F2 的距离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义: 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(e>1)的点的轨 迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数 e 叫双曲线的离 心率。 3. 双曲线的标准方程: (1)焦点在 x 轴上的:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) a 2 b2
(2)焦点在 y 轴上的:

y2 x2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) a 2 b2
(3)当 a=b 时,x2-y2=a2 或 y2-x2=a2 叫等轴双曲线。 注:c2=a2+b2 4. 双曲线的几何性质:

(1)焦点在x轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的几何性质: a 2 b2

y

F1 A1

O

A2 F2

x

? 1 ? 范围:x ? ?a,或x ? a
<2>对称性:图形关于 x 轴、y 轴,原点都对称。 <3>顶点:A1(-a,0),A2(a,0) 线段 A1A2 叫双曲线的实轴,且|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫双曲线的虚轴,且|B1B2|=2b。 c ? 4 ? 离心率:e ? (e ? 1) a e 越大,双曲线的开口就越开阔。
1 1

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? 5 ? 渐近线:y = ?

b x a

a2 ? 6 ? 准线方程:x ? ? c
b x a 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成:

5.若双曲线的渐近线方程为: y ? ?

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) a2 b2

【典型例题】

例 1. 选择题。
x2 y2 1. 若方程 ? ? 1表示双曲线,则m的取值范围是( 2 ? m m?1
A. ? 2 ? m ? ?1 C. m ? ?2 且m ? ?1 B. m ? ?2 或m ? ?1 D. m ? R




2. ab ? 0时,方程ax 2 ? by 2 ? c表示双曲线的是(
A. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件

B. 充分但不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 设?是第二象限角,方程x 2 sin ? ? y 2 sin ? ? cos?表示的曲线是(
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的双曲线 B. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 x 轴上的双曲线



x2 y2 ? 4. 双曲线 ? ? 1上有一点P,F1 、F2 是双曲线的焦点,且?F1 PF2 ? , 16 9 3
则△F1PF2 的面积为(
A. 9 B. 6 3


C. 3 3 D. 9 3

2

2

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? 例 2. 已知:双曲线经过两点P1 ?3, ? 4 2 ?,P2 ? ? ,5? ,求双曲线的标准方程 9 ?4 ?

例 3. 已知 B(-5,0),C(5,0)是△ABC 的两个顶点,且
3 sin B ? sin C ? sin A ,求顶点 A 的轨迹方程。 5

例 4. (1)求与椭圆
标准方程。 (2)求与双曲线 标准方程。

x2 y2 5 ? ? 1有公共焦点,并且离心率为 的双曲线的 9 4 2

x2 y2 9 ? ? ? 1有共同渐近线,且经过点M ? ? , ? 1? 的双曲线的 ? ? 9 4 2

3

3

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x2 y2 例 5. 已知双曲线方程 ? ?1 4 2
(1)过点 M(1,1)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 M 为 AB 的中点,求 直线 AB 的方程;
1? (2)是否存在直线 l,使点 N ? ? 1, ? 为直线 l 被双曲线截得的弦的中点,若存 ? 2?

在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由。

例六:
1. 若 (
x2 y2 那么它的半焦距 c 的取值范围是 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, k ? 2 1? k

) A. ?1, ? ?? B. (0,2) C. ?2 , ? ?? D. (1,2) )

2. 双曲线的两条渐近线的夹角为 60°,则双曲线的离心率为( A. 2 或
2 3 3
2

B. 2

C.

2 3 3
2

D.

3

3. 圆 C1: ? x ? 3? ? y 2 ? 1 和圆 C2: ? x ? 3? ? y 2 ? 9 ,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。

4

4

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『习题』
1、ax +by =b(ab<0),则这曲线是( ) A、双曲线焦点在 x 轴上 B、双曲线焦点在 y 轴上 C、椭圆焦点在 x 轴上 D、椭圆焦点在 y 轴上
2 2

A、双曲线

B、双曲线的一支

C、半圆

D、圆

3、一动圆与两定圆⊙M:x +y =1 和⊙N:x +y -8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆

2

2

2

2

4、 “ab<0”是“方程 ax +by =c”表示双曲线的( ) A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

2

2

5、已知两定点 F1(-5,0) ,F2(5,0) ,动点 P 满足 轨迹为( ) A、双曲线和一直线 B、双曲线和一条射线
5

-|PF2|=2a,则当 a=3 和 5 时,P 点的 |PF1|

5

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C、双曲线和一支和一条射线 D、双曲线的一支和一条直线

6、已知方程 ax -ay =b,且 a、b 异号,则方程表示( ) A、焦点在 x 轴上的椭圆 B、焦点在 y 轴上的椭圆 C、焦点在 x 轴上的双曲线 D、焦点在 y 轴上的双曲线

2

2

A、焦点在 y 轴上的双曲线 B、焦点在 x 轴上的双曲线 C、长轴在 y 轴上的椭圆 D、焦点在 x 轴上的椭圆

且|AB|=m,则△ABF2 的周长是( A.4a B.4a-m

) D.4a-2m

C.4a+2m

6

6

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A、内切

B、外切

C、外切或内切

D、无公共点或相交

10、方程 x sinα +y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则角α 在第_______象限。

2

2

11、双曲线 4x -y +64=0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则点 P 到另一个焦点的距离等 于_______.

2

2

答案:

1—5 6—9

B B A C C D C C C

10、四 11、17

7

7


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