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1.2.1任意角的三角函数1(教学设计)

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)(教学设计) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) ; (2)理解 任意角的三角函数不同的定义方法 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单 位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的 “比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有 认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应 关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与 函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量 到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号) ;终边相同的 角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号). 三、学法 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 四、教学设想 【创设情境】 y 提问:锐角 ? 的正弦、余弦、正切怎样表示? P (a, b) 借助右图直角三角形,复习回顾. r

?

O
对 边 α 邻边 sinα=

M

对边 斜边

,conα=

邻边 斜边

,tanα=

对边 邻边

(图 1) 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

1、三角函数的定义 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合 ,那么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一 点 P (a, b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长 度为 b .则

sin ? ?

思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐
1

MP b ? ; OP r

cos ? ?

OM a ? ; OP r

tan ? ?

MP b ? . OM a

角三角函数:

sin ? ?

思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的 三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 对于确定的角 ? ,上面三个比值都是一个确定的实数,这就是说,正弦、余弦、正切分别可看成从一个角的集合 ....... 到一个比值集合的映射 ,它们都是以角为自变量 ,以比值为函数值的函数 ,这些函数都叫做三角函数 。 .......... ...... .......... ........... 指出: (1)sin ? 不是 sin 与 ? 的乘积,它是一个比值。三角函数记号是一个整体,离开自变量的“sin” , “tan”等是没 有意义的; (2)由于一个角对应一个实数,一个实数也对应一个角,即角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系。因此, 三角函数也可以看成是以“实数”为自变量的函数。 实数(可取的) ? 角 ?三角函数(实数) 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值 了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)
O
Y

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

P MA X

y y 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

B

注意:当α 是锐角时, 此定义与初中定义相同 (指出对边, 邻边, 斜边所在) ; 当α 不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终 边就必然与单位圆有交点 P ( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离

r ? x 2 ? y 2 ,那么 sin ? ?

y x2 ? y 2

, cos ? ?

x x2 ? y 2

, tan ? ?

y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的 x

坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实 数为自变量的函数. 归纳:三角函数定义及定义域: 定义一: | OP |? 1 三角函数 单位圆法 比值法 定义二: | OP |? r 定义域

sin ?

y

cos?
tan ?

x
y x

y r x r y x
2

? ?R ? ?R

? ? ? ?? ? ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?

y

4.例题选讲 例 1(课本 P12 例 1).求

5? 的正弦、余弦和正切值. 3

M O

x

学生活动:让学生自己思考并独立完成.然后与课本的解答相对比一下, 发现本题的难点.
图4

P

教师活动:本题题意很简单,但是如何入手却是难点,关键是对本节课 的三角函数定义的要点有没有领会清楚(任意角三角函数的定义要点:点、点的坐标、点到顶点的距离) ,因此本题的 重点之处是如何利用单位圆找到这个点 P,如图 4 可以知道 ?POM ? 样就可以很容易得到本题答案. 不妨让学生取 R ?| OP |? 4 ,能否也得到点 P 的坐标,得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生 更深刻体验三角函数的定义. 变式训练 1:求

?
3

,又点 P 在第四象限,得到 P( ,?

1 2

3 ) ,这 2

5? 的正弦、余弦和正切值. 6

例 2(课本 P12 例 2) .已知角 ? 的终边过点 P 0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦、正切值. 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ? 于是 sin ? ?

(?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 .

y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3 变式训练 2:已知角 ? 的终边过点 P(12,-5) ,求角 ? 的三角函数值。
5.探究:请根据任意角的三角函数定义,设终边上一点坐标 P(x,y),r ? 定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义及定义域 定义 三角函数 (比值 法) 位圆法) r=1 Y X 定义域 限 限 限 限 定义(单 第一象 第二象 第三象 第四象 三角函数值在各象限的符号

x 2 ? y 2 将正弦、 余弦和正切函数的定义、

sin ?

cos?
tan ?

y r x r y x

? ?R ? ?R

正 正

正 负

负 负

负 正

y x

? ? ? ?? ? ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?









分析:三角函数在各象限的符号

y ①正弦值 r 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ;
3

x ②余弦值 r 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; y ③正切值 x 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号) .
注意:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值. 6.诱导公式的推导: 例 3(课本 P14 例 4).确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) cos 250 ;
?

(2) sin( ?

?
4

) ; (3) tan(?672? ) ; (4) tan 3?
(4)负

解析: (1)负 (2)负 (3)正

变式训练 3:确定下列三角函数值的符号 (1)sin2 (2)sin20

说出与下列各角终边相同的角的一般表达式: (1)300; (2)-

3? ; (3) ? 。 4

观察:角 3900 和-3300 的角与 300 的角终边的位置相同。 思考:它们的同一三角函数值的关系怎样?为什么? 归纳:根据三角函数的定义可以知道,任意角 ? 的三角函数值取决于角 ? 终边的位置,终边相同的角的同一三角 函数的值相等。那么,如何写出它的数学表达式呢? 诱导公式: 学生口答其数学表达式,教师板书: sin(k ? 360 + ? )=sin ? ;cos(k ? 360 + ? )=cos ? ;tan(k ? 360 + ? )=tan ? ;
0 0 0

(其中 k ? Z )

问:用弧度制如何写出这组公式? 答:sin(2k ? + ? )=sin ? ;cos(2k ? + ? )=cos ? ; tan(2k ? + ? )=tan ? ; (其中 k ? Z ) 以上这组公式通常叫做诱导公式(一) 。 公式(一)的特征: 观察:诱导公式(一)的结构有何特征? 归纳:这组公式的两边是同名函数,角度相差 3600(或 2 ? )的整数倍,抓住函数与角度两个方面的特征利于记 忆公式。

例 4(课本 P13 例 3) .求证:当且仅当不等式组 {

sin ? ? 0

tan ? ? 0

成立时,角 ? 为第三象限角.

例 5(课本 P14 例 5).求下列三角函数值: (1) sin1480 10 ;
? '

(2) cos

9? 11? ) ; (3) tan(? 4 6
? ?

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2? (或 0 到 360 )角的三角函数值. 另外可以直接利 用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
4

变式训练 5:求下列各三角函数值: (1) cos43210; (2)sin(-

11? 13? ); (3)tan()。 3 4

分析:利用诱导公式(一)进行恒等变形。 解: (1)cos43210=cos(12 ? 3600+10)=cos10=0.9998; (2) sin(-

11? ? ? 3 )=sin(-2 ? 2? ? ) ? sin ? ; 3 3 3 2 11? 11? ? 3 )=sin(+4 ? )=sin = . 3 3 3 2

又解:sin((3) tan(-

13? 3? 3? ? ? )=tan(-2 ? 2? + )=tan =tan( ? ? )= -tan = -1; 4 4 4 4 4 13? 13? 3? ? ? ? 4? )=tan 又解:tan()=tan( ? =tan( ? ? )= -tan = -1 4 4 4 4 4
课堂巩固练习(课本 P15 练习 NO:1;2;3;4;5;6;7) [课堂小结、巩固反思] (1)本节的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? [课时必记] 1、设终边上一点坐标 P(x,y), r ? 数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义及定义域 定义 三角函数 (比值 法) 位圆法) r=1 y x 定义域 限 限 限 限 定义(单 第一象 第二象 第三象 第四象 三角函数值在各象限的符号

x 2 ? y 2 将正弦、余弦和正切函数的定义、定义域填入下表;再将这三种函

sin ?

cos?
tan ?

y r x r y x

? ?R ? ?R

正 正

正 负

负 负

负 正

y x

? ? ? ?? ? ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?









2、诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等。 sin(2k ? + ? )=sin ? ;cos(2k ? + ? )=cos ? ; tan(2k ? + ? )=tan ? ;
0 0 0

(其中 k ? Z ) (其中 k ? Z )

sin(k ? 360 + ? )=sin ? ;cos(k ? 360 + ? )=cos ? ;tan(k ? 360 + ? )=tan ? ; 作用:把任意角的三角函数化为 0 到 2 ? 的三角函数。

3、特别声明:题中要求用计算器计算的一很不用计算器,只需把任意角的三角函数化为 0 到 2 ? 的三角函数 4、特殊角的三角函数值:
5

度 弧度 sin ? 0

0?

30?

45?

60

0

90

0

120?
2? 3

135?
3? 4

150?
5? 6
1 2
-

180

0

270

0

360?
2?
0

? 6
0

? 4
2 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?
0

3? 2
-1

1 2

3 2
-

2 2
-

cos ?

1

3 2
3 3

2 2
1

0 不存

1 2

2 2
-1

3 2
3 3

-1

0

1

tan ?

0

3



? 3

?

0

不 存在

0

[分层作业] A 组: 1、 (课本 P20 习题 1.2A 组 NO:1)

2、 (课本 P20 习题 1.2A 组 NO:2)

3、 (课本 P20 习题 1.2A 组 NO:6)

4、 (课本 P20 习题 1.2A 组 NO:7)

5、 (课本 P20 习题 1.2A 组 NO:8)

6、设 k ? Z,求下列各三角函数值: (1) sin2k ? ; (2)sin(2k ? + 解: (1)sin2k ? =sin0=0; (1) sin(2k ? +

? 3? ); (3)sin(2k ? + ? ); (4)sin(2k ? + )。 2 2

(2) sin(2k ? + ? )=sin

? ? )=sin =1; 2 2

3? 3? (3) sin(2k ? + )=sin = -1。 2 2

? =0

指出:由(1) (3)可归纳出 sinn ? =0 (n ? Z)。

B 组: 1、(tb0126703)在 ? ABC 中,若 sinAcosBtanC<0,则 ? ABC 是(C) 。 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 2、(tb0126803)计算:
6

(1) mtan0+ncos ? -psin3 ? -qcos (2) sin

?
6

cos

?
3

5 2

? cos

?
6

sin

?
3

11 ? +rsin(-5 ? )=________(答:0) 2

=_______(答:1)

C 类: 1、(tb0126605)已知角 ? 的终边经过点 P(3cos ? ,-4cos ? ),其中 ? 为第二象限角,求 sin ? 、cos ? 、tan ? 的值。 (答:sin ? =

4 3 4 ;cos ? = ? ;tan ? = ? ) 5 5 3

7


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