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辽宁省大连市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题(含答案)

大连市 2015 年高三第二次模拟考试

数学(文科)能力测试
命题人:安道波 卢永娜 薛达志 王爽 校对人:安道波

第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)
(1)已知集合 A ? (A){2}

?2,3? , B ? ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? ,则 A
(C){1}

B 等于(



(B){3}

(D){1,3}

z =( (2)已知复数 z 的共轭复数为 z ,若| z |=4,则 z · ) (A)4 (B)2 (C)16 (D)± 2 (3)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图 1;对变量 u,v 有观测 数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图 2.由这两个散点图可以判断( )

第 3 题图

(A)变量 x 与 y 正 相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 (4)已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ?p 是( ) (A) ?x ? R,sin x ? 1 (B) ?x ? R,sin x ? 1 (C) ?x ? R,sin x ? 1 (D) ?x ? R ,sin x ? 1 2 (5)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( ) (A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8 (6)在△ ABC 中, D 为 BC 边的中 点,若 BC ? (2,0) , AC ? (1, 4) ,则 AD ? ( (A) (?2, ?4) (B) (0, ?4) (C) (2, 4) (D) (0, 4) (7) 对于下列表格所示五个散点,已知求得的线性回归直线方程为 y ? 0.8 x ? 155 196 197 200 203 204 m y 1 3 6 7 则实数 m 的值为( ) (A) 8 (B) 8.2 (C) 8.4 (D) 8.5 (8)如图所示的流程图,最后输出的 n 的值是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2
0



x

第 8 题图

(9)设 F 为抛物线 C : y ? 2 px 的焦点,过 F 且倾斜角为 60 的直线交曲线 C 于 A, B 两点( B 点在第 一象限, A 点在第四象限) , O 为坐标原点,过 A 作 C 的准线的垂线,垂足为 M , 则 | OB | 与 | OM | 的 比为( ) (D) 4 Sn+64 (10)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 的最小值为( an 15 17 (A)7 (B) (C) (D)8 2 2 锥 P ? ABC 的体积为 (A) 8 3? (A)

3

(B) 2

(C) 3

)

[来源:学科网]

(11) 已 知三棱锥 P ? ABC 的外接 球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 平面 ABC , 2 AC ? 3 AB ,若三棱

3 ,则该三棱锥的外接球的体积为( ) 2 (B) 6 3? (C) 4 3? (D) 2 3?
1

(12)设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 1( x ? 0) 上,点 Q 在曲线 y ? (A)

x ? 1( x ? 1) 上,则 | PQ | 的最小值为(
(D)

)

2 2

(B)

3 2 4

(C) 2

3 2 2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) (13) 已知圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0, 过点 M(3,0)的最短弦所在的直线方程是 . (14)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为 .

? y ? 2x ? 2 ? (15) 已知变量 x, y 满足约数条件 ? y ? ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ?y ? 1? x2 ?
(16)如图在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的 三视图,则该多面体的表面积为 .



三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分) 如图,跳伞塔 CD 高 4,在塔顶测得地面上两点 A, B 的俯角分别

第 16 题 图

45? ,又测得 ?ADB ? 30? ,求 AB 两地的距离. 是 30?,

(18)(本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm) 的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件 中各抽出 500 件,量其内径尺寸,结果如下表: 甲厂:
分组 频数 [29.86,29.90) 15 [29.90,29.94) 30 [29.94,29.98) 125 [29.98,30.02) 198 [30.02,30.06) 77 [30. 06,30.10 ) 35 [30.10,30.14) 20

乙厂:
分组 频数 [29.86,29.90) 40 [29.90,29.94) 70 [29.94,29.98) 79 [29.98,30.02) 16 2 [30.02,30.06) 59 [30.06,30.10) 55 [30.10,30.14) 35

(Ⅰ )由以上统计数据填下面 2 ? 2 列联表,并问是否有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不 同的分厂有关”. 甲 厂 乙 厂 合计 优 质品 非优质品 合计 附: ? 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (Ⅱ )现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分二层)从乙厂抽取五件零件,求从这五件零件中任意 取出两件,至少有一件优质品的概率.
w.w. w. zxx k.c.o.m

P( K 2 ? k ) k

2

(19)(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD ,?ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120 ,点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (Ⅰ )求证: BD ? PC ; (Ⅱ )求证: MN / / 平面 PDC .

P N

A M B C

D

(20) (本小题满分 12 分)

P 为圆 F1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上一动点,点 M 满足 (MP ? MF2 ) ? F2 P ? 0 , 已知定点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,

F1M ? ? F1P(0 ? ? ? 1) .
(Ⅰ )求动点 M 的轨迹 C 的方程;

2 x; 2 1 1 (Ⅲ )过点 F2 作直线 l 交 C 于 A, B 两点,求 的值. ? | AF2 | | BF2 |
(Ⅱ )设点 M 坐标为 ( x, y ) ,求证: | MF2 |?

2?

(21) (本小题满分 12 分)

ex ? 3 , g ( x) ? ?2 x 2 ? ax ? ln x ( a ? R ) x e ?1 ? (Ⅰ )若函数 g ( x) 在区间 ? ,2 ? 上不单调,求实数 a 的取值范围; ?4 ? 2 (Ⅱ )若对任意 x ? ?0, e ? ,都有唯一的 x0 ? e ?4 , e ,使得 f ? x ? ? g ? x0 ? ? 2 x0 成立,求实数 a 的取值范围.
设函数 f ( x) ?

?

?

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几 何证明选讲 如图,⊙ O 内切于△ ABC 的边于 D,E,F,AB=AC,连接 AD 交⊙ O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长线于点 G. H (Ⅰ )求证:圆心 O 在直线 AD 上; (Ⅱ )求证:点 C 是线段 GD 的中点. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? 2 co s? ( ? 为参数) ,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ? ? y ? 2 ? 2 sin ? (Ⅰ )求 C 1 和 C 2 的极坐标方程; ? ? ? (Ⅱ )已知射线 l1 : ? ? ? (0 ? ? ? ) , 将 l1 逆时针旋转 得到 l2 : ? ? ? ? , 且 l1 与 C1 交于 O, P 两点,l 2 2 6 6 与 C 2 交于 O, Q 两点,求 | OP | ? | OQ | 取最大值时点 P 的极坐标.
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (Ⅰ )求 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值.
|a|

? x ? 2 ? 2 co s? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为 ? y ? 2 sin?

(Ⅱ )若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围.

3

大连市 2015 年高三第二次模拟考试参考答案 数学(文科)
一.选择题
(1)B;(2)C;(3)C; (4)B;(5) D;(6)D;(7) A;(8)B;(9)C;(10)C;(11) C;(12)B.

二.填空题 (13).x+y-3=0; (14)160; (15) ? 2 ; (16) 8 ? 12 2 . 三. 解答题 (17)解:? ?BCD ? 90? ? 45? ? 45? , ? 在 Rt ?BCD 中, BD ? 4 ? tan 45? ? 4 , 又? ?ACD ? 90? ? 30? ? 60? ,

? 在 Rt ?ACD 中, AD ? 4 ? tan60? ? 4 3
在 ?ABD 中,

AB2 ? BD2 ? AD2 ? 2 AD ? BD ? cos?ADB ? 4 2 ? (4 3 ) 2 ? 2 ? 4 ? 4 3 ? cos30? ? 16
乙 厂 300 200 500 合计 700 300 1000

故 AB ? 4 (18)解: (Ⅰ )列联表如下 甲 厂 优质品 非优质品 合计 400 100 500

n(ad ? bc)2 1000 ? (400 ? 200 ? 300 ?100) 2 ? ? 47.619 ? 10.828 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 500 ? 500 ? 700 ? 300 所以有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与分厂有关”. 6 分 (Ⅱ )乙厂抽取 3 件优质品,2 件非优质品,优质品记为 a, b, c ,非优质品记为 1, 2 8分 从中任意抽取 2 件,抽取的情况构成的 集合为 {ab, ac, a1, a2, bc, b1, b2, c1, c2,12} , 至少有一件优质品的情况为为 {ab, ac, a1, a2, bc, b1, b2, c1, c2} ,所以从这五件零件中任意取出两件,至少

?2 ?

9 . 12 分 10 (19) 解:(Ⅰ )证明:取 BC 中点 O ,因为底面 ABC 是等边三角形,则 AO ? BC , 又因为面 BCC ' B ' ? 底面 ABC ,所以 AO ? 面 BCC ' B ' ,所以 AO ? BB ' , 又因为 BB ' ? AC , AO AC ? A ,所以 BB ' ? 面 ABC , 又因为底面 ABC 是等边三角形, 所以三棱柱 ABC ? A' B' C ' 为正三棱柱, 4 分 1 (1 ? 2) ? 2 ? 3? 3 四棱锥 B ? ACFE 的体积为 ? 8分 3 2 (Ⅱ )在 A ' B ' 如果存在一点 M 使得 C ' M // 面 BEF ,则过 MN / / BB ' 交 BE 于 N ,连接 FN , 因为 C ' M // 面 BEF ,所以 C ' M // FN ,所以 C ' MNF 为平行四边形,所以 C ' F ? MN ? 2 , 所以 M 为 A ' B ' 的中点. 12 分 (20) 解(Ⅰ )因为点 M 满足 (MP ? MF2 ) ? F2 P ? 0 ,
有一件优质品的概率为
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学*科*网 Z*X*X*K]

? ( MP ? MF2 ) ? ( MP ? MF2 ) ? MP ? MF2 ? 0 ,即 |MP|=|MF2 |
又F | F1M | ? | MP |? 2 2 1 , M , P 三点共线,由题意知 M 在线段 F 1 P 上,? 1M ? ? F 1P ,? F 又 |MP|=|MF2 | ? | F1M | ? | MF2 |? 2 2 ,? M 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆,所以 M

2

2

4

的轨迹 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

4分

(Ⅱ )设 M ( x, y ) , | MF1 |? 又因为

( x ? 1) 2 ? y 2 ,

2 2 2 x2 2 ? y 2 ? 1 ,?| MF1 |? ( x ? 1)2 ? 1 ? x ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) | x?2| 2 2 2 2 2 2 ?2 ? x ? 2 ? |MF 2? x 2 |? 2 2 (Ⅲ ) (1)当直线 l 斜率不存在时, | AF2 | = | BF2 |? , 2 1 1 ? ? ? 2 2 ,8 分 | AF2 | | BF2 | (2)当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

x2 ? y 2 ? 1联立得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? , ? ? 0 恒成立 韦达定理得: x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2 由(Ⅱ )问结论知 | AF2 |? 2 ? x1 ,| BF2 |? 2 ? x2 , 2 2 2 2 2? ( x1 ? x2 ) 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? 1 | AF2 | | BF2 | 2 2 2? x1 2? x2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 2 2 2
直线 l 与

2 4k 2 ( ) 2 2(1 ? k 2 ) 2 1 ? 2k 2 ? ? =2 2 4k 2 1 2k 2 ? 2 1? k 2 2?( ) ? ?( ) 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 1 1 综上 ? ? 2 2 12 分 | AF2 | | BF2 | 2 2?

? 4 x 2 ? ax ? 1 ?1 ? 且 g ? x ? 在区间 ? ,2 ? 上不单调, x ?4 ? ?1 ? ? ?4 x 2 ? ax ? 1 ? 0 区间 ? ,2 ? 上有两不等实根或有一根,……………….3 分 ?4 ? 1 ?1 ? 即 a ? 4 x ? 区间 ? ,2 ? 上有两不等实根或有一根 x ?4 ? 1 ?1 1? ?1 ? 令 ? ? x ? ? 4 x ? , ? ? x ? 在区间 ? , ? 上单调递减,在区间 ? ,2 ? 上单调递增, x ?4 2? ?2 ? 17 17 1 ?1? ? ? ? ? ? 5,? (2) ? ,? ( ) ? 4 ,? a 的取值范围是 [4, ) ………………….6 分 2 2 2 ?4? ' 1? x (Ⅱ )? f ( x) ? e (1 ? x),? f ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1, e ? 上单调递减, 2?e 且 f ?0 ? ? 3, f (1) ? 4, f (e) ? e ? 3 ? 3,? f ? x ? 的值域为 ?3,4? ,
(21)解: (Ⅰ)? g ? x ? ?
'

记 h( x) ? g ( x) ? 2 x ? ax ? ln x, m ? f ( x) ,
2

原问题等价于: ?m ? ?3,4? ,存在唯一的 x0 ? e ?4 , e ,使得 h? x0 ? ? m 成立.

?

?

5

? h' ?x ? ? a ?


h? x ?min


1 ax ? 1 ? , x ? e? 4 , e x x 1 当 a ? 时, h ' ? x ? ? 0 恒成立, h? x ? 单调递减,由 h? x ?max ? h?e ?4 ? ? ae ?4 ? 4 ? 4 , e 1 ? h?e ? ? ae ? 1 ? 3 ,解得: 0 ? a ? …………………..8 分 e ' 4 当 a ? e 时, h ? x ? ? 0 恒成立, h? x ? 单调递增, h? x ?min ? h e ?4 ? ae ?4 ? 4 ? 4 ,不合题意,舍

?

?

? ?

去…………………10 分

1 1? ? ?1 ? ? a ? e 4 时, h? x ? 在 ?e ? 4 , ? 上单调递减,在 ? , e? 上单调递增, e a? ? ?a ? ?4 ?4 且 h e ? ae ? 4 ? 4, h(e) ? ae ? 1 , 1 4 要满足条件则 ae ? 1 ? 3,? ? a ? . e e ? 4? 综上所述: a 的取值范围是 ?0, ? .……………………12 分 ? e? (22)解: (Ⅰ ) AB ? AC, AF ? AE ,? CF ? BE 。 又 CF ? CD, BD ? BE ,? CD ? BD 又 ?ABC是等腰三角形, ? AD是?CAB的角分线 ∴ 圆心 O 在直 线 AD 上.5 分 (II)连接 DF,由(I)知,DH 是⊙ O 的直径,??DFH ? 90 ,??FDH ? ?FHD ? 90 , ?G ? ?FHD ? 90 ,??FDH ? ?G , O与AC相切于点F ,??AFH ? ?GFC ? ?FDH ,??GFC ? ?G ,? CG ? CF ? CD ,
③ 当

? ?

∴ 点 C 是线段 GD 的中点.

10 分 4分

2 2 (23)解: (1)曲线 C1 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,所以 C1 极坐标方程为 ? ? 4cos ?

曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,所以 C2 极坐标方程为 ? ? 4sin ? (2)设点 P 极点坐标 ( ?1 , 4cos ? ) ,即 ?1 ? 4cos ? 点 Q 极坐标为 ( ? 2 , 4sin(? ?

?

6

))

即 ? 2 ? 4sin(? ?

?
6

)

则 | OP | ? | OQ |? ?1 ? 2 ? 4 cos ? ? 4sin(? ?

?
6

) = 16cos ? ? (

? 8sin(2? ? ) ? 4 6 2

?

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

8分

? ? ? 7? ? ? (0, ) ,? 2? ? ? ( , ) ,

当 2? ?

) .10 分 2 6 6 (24)解: (I)? | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号, 6
? | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4. |a|

?

?

?

, 即? ?

?

6

6

6

时 | OP | ? | OQ | 取最大值,此时 P 极点坐标 (2 3,

?

5分

(II)

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?
|a|

| 2 a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立,故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最 |a| |a|

小值,由(I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4. 实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解. 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. 10 分

6


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