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【成才之路】2.1.1简单随机抽样


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第二章
统计

第二章

统计

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你知道统计部门公布的数据是怎么来的吗?实际上它们是 通过调查获得的.那么如何才能收集到高质量的样本数据?怎

样从样本数据中提取基本信息 (样本分布、样本数字特征等),
来推断总体的情况呢?这些正是本章要研究解决的问题.

第二章

统计

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第二章

统计

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第二章
2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样

第二章

统计

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1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

第二章

2.1

2.1.1

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优效预习

第二章

2.1

2.1.1

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●知识衔接 1 .初中我们学习了样本的有关知识,知道了总体、个
体、样本、样本容量、平均数、方差、标准差、众数、中位数 等概念,下面我们对这些概念进行回顾: 全体 叫做总体,其中每 (1) 总体:我们所要考察对象的 _______ 个体 . 一个考察对象叫做_______ 集合 叫做 (2) 样本:从总体中抽出的若干个个体组成的 _______ 数量 叫做样本容量. 总体的一个样本,样本中个体的_______ 元素 叫做个体. (3)个体:总体中的每个_______ 数目 叫做样本容量. (4)样本容量:样本中个体的_______
第二章 2.1 2.1.1

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商 . (5)平均数:一组数据的和与这组数据的个数的_______ (6)方差:各个数据与平均数差的平方和,与这组数据的个 数的商. (7)标准差:方差的算术平方根. 最多 的数据. (8)众数:一组数据出现次数_______ 中间 位 (9) 中位数:一组数据按从小到大排成一列处于 _______ 置的数.

第二章

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●自主预习 1.简单随机抽样
(1) 定 义 : 一 般 地 , 设 一 个 总 体 含 有 N 个 个 体 , 从 中 逐个不放回 地抽取 n 个个体作为样本 (n≤N) ,如果每次抽 _______________ 相等 ,就把这种抽 取时总体内的各个个体被抽到的机会都 _______ 样方法叫做简单随机抽样. 不放回 的抽 (2) 说明:我们所讨论的简单随机抽样都是 _______ 放回 总体中.常用 样,即抽取到某个个体后,该个体不再 _______ 抽签法 抓 阄 法 ) 和 到 的 简 单 随 机 抽 样 方 法 有 两 种 : _________( 随机数法 . _________
第二章 2.1 2.1.1

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[破疑点]

简单随机抽样具有下列特点:

①简单随机抽样要求总体中的个体数 N 是有限的. ②简单随机抽样抽取样本的容量 n 小于或等于总体中的个体数 N. n ③简单随机抽样中的每个个体被抽到的可能性均为N. ④当总体中的个体无差异且个体数目较少时,采用简单随机抽 样抽取样本. ⑤逐个抽取即每次仅抽取一个个体. ⑥简单随机抽样是不放回的抽样, 即抽取的个体不再放回总体.
第二章 2.1 2.1.1

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2.抽签法 编号 ,把号码 一般地,抽签法就是把总体中的N个个体_______ 均匀 后,每 号签 上,将号签放在一个容器中,搅拌_______ 写在_______ 一个 号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 次从中抽取 _______ n _______ 的样本.

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[归纳总结] 抽签法抽取样本的步骤:
①将总体中的个体编号为1~N. ②将所有编号1~N写在形状、大小相同的号签上. ③将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀. ④从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取

n次.
⑤从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出. 操作要点是:编号、写签、搅匀、抽取样本.

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3.随机数法 随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随 机数进行抽样.这里仅介绍随机数表法. 用随机数表法抽取样本的步骤: 编号 . ①将总体中的个体_______ 任选一个 数作为开始. ②在随机数表中__________ 方向 . ③规定一个方向作为从选定的数读取数字的_______

第二章

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④开始读取数字,若不在编号中,则 _______ 跳过 ,若在编号 取出 ,依次取下去,直到取满为止.(相同的号只计一 中则_______ 次) ⑤根据选中的号码抽取样本.

操作要点是:编号、选起始数、读数、获取样本.
[ 破疑点 ] 虽然产生随机数的方法很多,但在高中数学 中,仅学习用随机数表产生随机数来抽样,即随机数表法.

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4.抽签法与随机数法的异同点 剖析:相同点:(1)都是简单随机抽样,并且要求被抽取样 本的总体所含的个体是有限的;(2)都是从总体中逐个地、不放

回地抽取.
不同点: (1) 抽签法比随机数法简单; (2) 随机数法更适用 于总体中的个体数较多的时候,而抽签法适用于总体中的个体 数相对较少的情况,所以当总体中的个体数较多时,应当选用 随机数法,这样可以节约大量的人力和制作号签的成本.

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●预习自测 1.(2015·北京师大附中)在简单随机抽样中,某一个个体
被抽中的可能性( ) A.与第几次抽样无关,第一次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等 C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些 D.每个个体被抽中的可能性无法确定 [答案] B [解析] 在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性

都相等,与第几次抽样无关.
第二章 2.1 2.1.1

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2.抽签法中确保样本代表性的关键是(
A.制签 C.逐一抽取 [答案] B B.搅拌均匀 D.抽取不放回

)

3 .用随机数表法进行抽样,有以下几个步骤:①将总体

中的个体编号;②获取样本号码;③选定随机数表开始的数
字,这些步骤的先后顺序应该是________.(填序号) [答案] ①③②

第二章

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4 .为了检验某种产品的质量,决定从 1001 件产品中抽取
10件进行检查,用随机数表法抽取样本的过程中,所编的号码 的位数最少是________位.

[答案] 四
[解析] 1001等. 由于所编号码的位数和读数的位数要一致,因此 所编号码的位数最少是四位,从0000到1000,或者是从0001到

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高效课堂

第二章

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●互动探究
简单随机抽样的概念

下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本; (2)仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进 行质量检查; (3)某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵

赶赴青海参加抗震救灾工作;
(4)一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒 子中无放回地抽出6个号签;
第二章 2.1 2.1.1

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(5)箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检
验,在抽样操作中,从中任意取出 1 个零件进行质量检验后, 再把它放回箱子里. [探究] 些特点? 若抽取样本的方式是简单随机抽样,它应具备哪

[解析]

(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被

抽取的样本总体的个数是有限的. (2) 不是简单随机抽样.虽然 “ 一次性抽取 ” 和 “ 逐个抽 取 ” 不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是 “逐个抽取”.
第二章 2.1 2.1.1

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(3) 不是简单随机抽样.因为 50 名官兵是从中挑出来的,
是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机 抽样中“等可能抽样”的要求. (4)是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且 是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.

(5)不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样.
[点评] 合. 要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样,关 键是看它本身的特点与简单随机抽样的几个特点是否完全符

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[ 规律总结 ]

1. 如果一个总体满足下列两个条件,那么可

用简单随机抽样抽取样本: ①总体中的个体之间无差异: ②总体个数不多. 2 .判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随

机抽样的四个特征:
上述四点特征,如果有一点不满 足,就不是简单随机抽样

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(1)(2015· 孝感高一检测 ) 现从 80 件产品中随机抽出 20 件进 行质量检验,下列说法正确的是( )

A.80件产品是总体
C.样本容量是80

B.20件产品是样本
D.样本容量是20

第二章

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(2)下列问题中,最适合用简单随机抽样的是(

)

A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~ 40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要 留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查

C .某学校有在编人员 160 人.其中行政人员 16 人,教师
112 人,后勤人员 32 人,教育部门为了了解学校机构改革意 见,要从中抽取一个容量为20的样本 D .某乡农田有山地 8000 亩,丘陵 12000 亩,平地 24000 亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
第二章 2.1 2.1.1

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[答案] (1)D (2)B [ 探究 ] 是什么? 1. 统计中的总体、个体、样本、样本容量的概念

2.简单随机抽样具备哪些特点?

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[解析]

(1)总体是80件产品的质量;样本是抽取的 20件产

品的质量,总体容量是80;样本容量是20. (2) 根据简单随机抽样的特点进行判断. A 的总体容量较 大,用简单随机抽样法比较麻烦; B的总体容量较小,用简单 随机抽样法比较方便; C中,由于学校各类人员对这一问题的

看法可能差异很大,不宜采用简单随机抽样法; D中,总体容
量较大,且各类田地的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽 样法. [ 误区警示 ] 本题中易错选 A ,其原因忽视了简单随机抽 样适用于总体容量较小的总体.
第二章 2.1 2.1.1

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抽签法的应用 某班有 30 名学生,要从中抽取 6 人参加一项活

动,请用合适的抽样方法写出抽样的过程.
[探究] 签法. 其步骤为: 编号 → 制签 → 搅匀 → 抽签 → 成样 本题总体容量较小,样本容量也较小,可用抽

第二章

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[解析]
01,02,?,30.

第 一 步 , 将 30 名 学 生 进 行 编 号 , 号 码 为 :

第二步,用相同的纸条做成30个号签,在每个号签上写上 这些编号. 第三步,将得到的号签放入一个不透明的容器中,并充分

搅匀.
第四步,从容器中依次抽取 6 个号签,并记录上面的编 号. 第五步,所得号码对应的6名学生就是要抽取的对象.

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[规律总结]

一般地,当总体容量和样本容量都较小时可

用抽签法.在用抽签法解决问题的过程中,为了使每一个个体 被抽到的可能性相等,要特别注意每一次抽签前要将号签搅 匀,这样才能保证抽样的公平性. 利用抽签法抽取样本时应注意以下问题:

①编号时,如果已有编号(如学号,标号等),可不必重新
编号. ②号签要求大小、形状完全相同. ③号签要搅拌均匀. ④要逐一不放回地抽取.
第二章 2.1 2.1.1

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某大学为了支援西部教育事业,现从报名的18名志愿者中
选取6 人组成志愿小组,请用抽签法确定志愿小组成员,并写 出抽样步骤.
[探究] 编号 → 制签 → 搅匀 → 抽签 → 成样

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[解析] 抽样步骤是:
第一步,将18名志愿者编号,号码是01,02,?,18; 第二步,将号码分别写在同样的小纸片上,揉成团,制成 号签; 第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分

搅匀;
第四步,从袋子中依次抽取 6 个号签,并记录上面的编 号; 第五步,与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.

第二章

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随机数表法的应用 某车间工人加工了一批零件共 40 件,为了了解

这批零件的质量情况,要从中抽取10件进行检验,如何采用随
机数表法抽取样本?写出抽样步骤. [解析] 抽样步骤是:

第一步,先将 40 件零件编号,可以编为 00,01,02 , ? ,
38,39. 第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,例如从教材 附表的随机数表中的第 8 行第 9 列的数 5 开始.为便于说明,我 们将随机数表中的第6行至第10行摘录如下:
第二章 2.1 2.1.1

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16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
87 35 20 96 43 84 42 17 53 31 21 76 33 50 25 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 15 51 00 13 42 57 60 86 32 44 90 52 84 77 27 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 83 92 12 06 76 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 99 66 02 79 54 09 47 27 96 54 08 02 73 43 28
第二章 2.1 2.1.1

77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62

12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

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第三步,从选定的数 5 开始向右读下去,得到一个两位数

字号码59 ,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得到 16 ,将
它取出;继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21 ,随后的两 位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续 下去,得到34.至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取 的样本号码是 16,19,10,12,07,39,38,33,21,34. 与这 10 个号码对应 的零件即是抽取的样本个体. [规律总结] 在随机数表法抽样的过程中要注意: ①编号要求位数相同.

②第一个数字的选取是随机的.
③读数的方向是任意的,且事先定好.
第二章 2.1 2.1.1

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(2015·烟台高一检测)假设要抽查某种品牌的 850颗种子的
发芽率,抽取60颗进行实验.利用随机数表抽取种子时,先将 850颗种子按001,002,?,850进行编号,如果从随机数表第 8 行第2列的数 3开始向右读,请你依次写出最先检测的 4颗种子 的编号________. (下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31 21 76 33 50 25 57 24 55 06 88 83 92 12 06 76 77 04 74 47 67

第二章

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2.1.1

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63 01 63 78 59 12 86 73 58 07 33 21 12 34 29

16 95 55 67 19 44 39 52 38 79 78 64 56 07 82

98 10 50 71 75 52 42 07 44 38

15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
[答案] 301,637,169,555

第二章

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[解析] 字是301,

第8行第2列的数3开始向右读第一个小于 850的数

第二个数字是637,也符合题意, 第三个数字是859,大于850,舍去,

第四个数字是169,符合题意,
第五个数字是555,符合题意, 故答案为:301,637,169,555.

第二章

2.1

2.1.1

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●探索延拓

合理运用抽样方法 一个学生在一次理科综合学科竞赛中要回答的8
道题是这样产生的:从 15 道物理题中随机抽取 3 道;从 20 道化 学题中随机抽取3道;从12道生物题中随机抽取2道,请选用合 适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题 的编号为 1 ~ 15 ,化学题的编号为 16 ~ 35 ,生物题的编号为

36~47).
[探究] 由题意可知样本由3类组成,需分别在物理题、化 学题、生物题中抽取.由于每类总体和样本的个数都较少,所 以采用抽签法或随机数法都可以完成.
第二章 2.1 2.1.1

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[解析] 解法一:抽签法.
第一步,将物理、化学、生物题编号,号码是1,2,3,?, 47; 第二步,将 1 ~ 47 这 47 个编号分别写到大小、形状都相同 的号签上;

第三步,将物理、化学、生物题的号签分别放人三个不透
明的容器中,都搅拌均匀; 第四步,分别从装有物理、化学、生物题的容器中逐个抽 取3个、3 个、2个号签,并记录所得号签的编号,这便是所要 回答的问题的序号.
第二章 2.1 2.1.1

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解法二:随机数法.
第一步,将物理题的编号对应地改成01,02,?,15,其余 两门学科的题的编号不变; 第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,任选一个方 向作为读数方向,例如选出第10行第2列的数7开始向右读;

第三步,从选定的数 7 开始向右读.每次读取两位,凡不
在 01 ~ 47 中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不 读,从01~15中选3个号码,从16~35中选3个号码,从36~47 中选2个号码,依次可得到08,24,40,44,29,05,28,14;

第二章

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第四步,对应以上编号找出所要回答的问题的序号,物理 题的序号为:5,8,14;化学题的序号为:24,28,29;生物题的序 号为:40,44. [规律总结] 解答抽样问题时,要注意所抽出的样本既要

能准确地反映总体特征,又要能方便操作.

第二章

2.1

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现在有一种游戏,其用具为四副扑克,包括大小王在内共
216张牌,参与人数为 6人,并围成一圈.游戏开始时,从这 6 人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫 开牌),然后按逆时针方向,根据这张牌上的数字来确定抓牌的 先后,这6人依次从216张牌中抓取36张牌,问这种抓牌的方法 是不是简单随机抽样?

第二章

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[解析]

简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取

样本,而这里只是随机确定了起始的牌,其他各张牌虽然是逐 张抓牌,但是各张在谁手里已被确定,只有抽取的第一张扑克 牌是随机抽取的,其他215张牌已经确定,即这215张扑克牌被

抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同,所以不
是简单随机抽样.

第二章

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●误区警示 易错点 不能正确区分总体、样本、样本容量致误

为了了解2015年参加市运会的240名运动员的身
高情况,从中抽取 40 名运动员进行测量.下列说法正确的是 ( )

A.总体是240名运动员
B.个体是每一个运动员 C.40名运动员的身高是一个个体 D.样本容量是40 [错解] 选择A、B、C中的一个
第二章 2.1 2.1.1

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[错因分析]

对于选项A、B处对总体、个体、样本的概念

把握不准,误将考察的对象当作运动员;对于选项C处把个体 和样本混淆致误. [正解] 选D.根据统计的相关概念并结合题意可得,此题 的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是运动员的身

高,而不是运动员,并且一个个体是指一名运动员的身高,选
项A,B表达的对象都是运动员,选项C未将个体和样本理解透 彻.在这个问题中,总体是 240 名运动员的身高,个体是每个 运动员的身高,样本是40名运动员的身高,样本容量是40.因此 选D.
第二章 2.1 2.1.1

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[防范措施] 1.明确相关概念
对总体、个体、样本、样本容量的概念要熟练把握,要明 确总体与样本的包含关系及样本与样本容量的区别,如本例选 项C,是对概念把握不准. 2.注意考察对象

解决考查总体、个体、样本、样本容量的概念问题时,关
键是明确考察对象,根据相关的概念可知总体、个体与样本的 考察对象是相同的,如本例中选项 A , B 表达的对象都是运动 员的身高而不是运动员.

第二章

2.1

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从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分
析,下列说法正确的是( A.500名学生是总体 B.每个被抽查的学生是样本 C.抽取的60名学生的体重是一个样本 D.抽取的60名学生的体重是样本容量 [答案] C )

第二章

2.1

2.1.1

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[解析] A × 总体应为500名学生的体重

B C D

× √ ×

样本应为每个被抽查的学生的体重 抽取的60名学生的体重成了总体的一个样本 样本容量为60,不能带有单位

第二章

2.1

2.1.1

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当堂检测

第二章

2.1

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1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( A.从无数个个体中抽取10个个体作为样本

)

B.从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本

C.某班有40名同学,指定个子最高的5名同学参加篮球比
赛 D.一彩民从装有30个大小、形状都相同的号签的盒子中 无放回地抽取7个号签 [答案] D

第二章

2.1

2.1.1

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[ 解析 ]

A 错,简单随机抽样中,总体中的个体数不能是

无限的;B错,简单随机抽样的定义的要求是“逐个抽取 ” , 不能“一次性”抽取;C错,指定5人参赛,每个个体被抽到的 机会不均等,不是简单随机抽样; D对,符合简单随机抽样的

定义和特征.

第二章

2.1

2.1.1

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2.用随机数法进行抽样有以下几个步骤:
①将总体中的个体编号 ⑤抽取样本 这些步骤的先后顺序应为( ) ②获取样本号码 ③选定开始的数字 ④选定读数的方向

A.①②③④⑤
C.③②⑤①④ [答案] B

B.①③④②⑤
D.⑤④③①②

第二章

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3 .某市为了了解本市 4 600 名高三理科毕业生的数学成 绩,要从中抽取 200名进行数据分析,那么这次考察的总体为 ________,样本容量为________.

[答案] 4 600名高三理科毕业生的数学成绩 200

第二章

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4.某工厂的质检人员对生产的100件产品,采用随机数表
法抽取 10件进行检查,对 100件产品采用下面的编号方法:① 1,2,3 ,?, 100 ;② 001,002,003 ,?, 100 ;③ 00,01,02 ,?, 99.其中最恰当的编号是________. [答案] ①

[ 错解 ]

因为是对 100 件产品编号,则编号为 1,2,3 ,?,
用随机数表法抽样时,如果所编号码的位数

100,所以①最恰当. [错因分析] 要相同.
第二章 2.1 2.1.1

不相同,那么无法在随机数表中读数,因此,所编号码的位数

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[正解]

只有编号时数字位数相同,才能达到随机等可能

抽样.所以①不恰当.②③的编号位数相同,都可以采用随机 数表法,但②中号码是三位数,读数费时,所以③最恰当.

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5.某校高一年级有36名足球运动员,要从中抽出7人调查

学习负担情况.试用两种简单随机抽样方法分别取样.
[解析] 方法一(抽签法) 第一步,将36名足球运动员进行编号,分别为1,2,3,?, 36; 第二步,将36个号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制 成号签; 第三步,将号签放入一个不透明的盒子里,充分搅拌,依 次抽取7个号签,并记录上面的号码;

第四步,与这 7个号码对应的足球运动员就是要抽取的样
本.
第二章 2.1 2.1.1

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方法二(随机数表法)

第 一 步 , 将 36 名 足 球 运 动 员 进 行 编 号 , 分 别 为
00,01,02,03,?,35; 第二步,在随机数表中任选一数作为开始数字,任选一方 向作为读数方向.比如,选第 4 行第 9 个数字 “ 2” ,方向向右 读; 第三步,从 “ 2” 开始,向右读,每次读取两位,凡不在 00~35中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依 次可得到26,27,31,05,03,15,12.

第四步,将与这7个号码26,27,31,05,03,15,12相对应的足球
运动员选出,就构成了我们所要的样本.
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课时作业
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