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(新课标)高中数学《3.3.2 函数的极值与导数》课件 新人教A版选修1-1


3.3.2 函数的极值与导数

【课标要求】 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不 超过三次). 【核心扫描】 1.求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值.(重难 点) 2.有关极值的正向或逆向问题的考查.(难点)

自学导引 1.极值点与极值 (1)极小值与极小值点 如图,若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附 近其他点的函数值都小,f′(a)=0 , 而且在点 x=a 附近的左 侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小 值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.

(2)极大值与极大值点 如图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其 他点的函数值都大 , f′(b)=0 ,而且在点 x= b 附近的左 侧 f′(x)>0 , 右侧 f′(x)<0 , 则把点 b 叫做函数 y=f(x)的 极大值点, f(b)叫做函数 y=f(x)的

极大值

,极小值点、极大值点统称

为 极值点 ,极大值和极小值统称为 极值 .

想一想:若求得某点处的导数值为 0,此点一定是极值点吗? 提示 一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零,还

要判断函数在此点附近左右两侧的单调性,只有单调性相反, 才能作为函数的极值点,单调性一致时,不能作为极值点,如 f(x)=x3,x=0 就不是极值点.

2.求函数 f(x)极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) > f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) < 是极小值. 0, 右侧 f′(x) > 0, 那么, 0) f(x 0,右侧 f′(x)

< 0,那么,

想一想:极值点与单调区间有什么关系? 提示 极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的 转折点,极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增 区间的转折点.

名师点睛 1.正确理解函数极值的概念 (1)函数的极值是函数的局部性质,它反映了函数在某一点附近 的大小情况. (2)由函数极值的定义知道,函数在一个区间的端点处一定不可 能取得极值,即端点一定不是函数的极值点. (3)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不 存在极值点;函数可能只有极大值,没有极小值,或者只有极 小值没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.极大值不 一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.

2.极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点. (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点,如 y=x2,y′(0)=0,x =0 是极小值.导数为 0 的点也可能不是函数的极值点,如 y =x3,y′(0)=0,x=0 不是极值点.

题型一 求函数的极值 【例 1】 求下列函数的极值. 3 2x (1)f(x)=x +3ln x; (2)f(x)= 2 -2. x +1 [思路探索] 求出 f′(x)和使 f′(x)=0 成立的点,再结合定义域研 究这些点附近左右两侧的单调性,进而判断极值.

3 解 (1)函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞), x 3 3 3(x-1) f′(x)=- 2+ = , x x x2 令 f′(x)=0 得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0, 1) - ?

1 0 极小 值3

(1,+ ∞) + ?

因此当 x=1 时,f(x)有极小值,并且 f(1)=3. (2)函数的定义域为 R. 2(x2+1)-4x2 2(x-1)(x+1) f′(x)= =- . 2 2 2 2 (x +1) (x +1) 令 f′(x)=0,得 x=-1,或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

f′(x)
f(x)

(-∞, -1) - ?

- (-1, 1 1 1) 0 0 + - ? -1 3

(1,+ ∞) - ?

由上表可以看出: 当 x=-1 时,函数有极小值,且极小值为 f(-1)=-3; 当 x=1 时,函数有极大值,且极大值为 f(1)=-1. 规律方法 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤

进行,其重点是列表.解题时注意导数为零的点的左、右两侧 的导数值是否是异号的,若异号,则是极值;否则,则不是极 值.

【变式 1】 求函数 y=x4-4x3+5 的极值. 解 y′=4x3-12x2=4x2(x-3),

令 y′=4x2(x-3)=0,得 x1=0,x2=3. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:

(-∞ x ,0) y - ′

0
0

(0, 3) -

3
0

(3,+ ∞) +

不是极 极小值 y ? ? ? 故当x=3时函数取得极小值,且y极小值=f(3)=-22. 值 -22

题型二 已知极值求参数值 【例 2】 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 处取得极 1 值,且 f(1)=-1. (1)求常数 a,b,c 的值; (2)判断 x=± 是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由, 1 并求出极值. [思路探索] 先求 f′(x),再由函数 f(x)在 x=± 处取得极值,且 1 f(1)=-1 建立关于 a,b,c 的方程组.求出 a,b,c 值,再由 判定极值的方法判定其极值情况.

解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=± 是函数 f(x)的极值点, 1 ∴x=± 是方程 f′(x)=0 的两根, 1 即 3ax2+2bx+c=0 的两根, ? 2b ?-3a=0, 由根与系数的关系,得? ? c =-1 ② ?3a 又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1.③ 1 3 由①②③解得 a=2,b=0,c=-2. ①

1 3 3 (2)f(x)=2x -2x, 3 2 3 3 ∴f′(x)= x - = (x-1)(x+1), 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0, 当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, 在(-1,1)上是减函数, ∴当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1, 当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1.

规律方法

已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,

进而研究函数性质时注意两点: (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组,利用待 定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性.

【变式 2】 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且知当 x=-1 时 取得极大值 7,当 x=3 时取得极小值,试求函数 f(x)的极小值, 并求 a、b、c 的值. 解 f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b. ∵x=-1 时函数取得极大值,x=3 时函数取得极小值. ∴-1,3 是方程 f′(x)=0 的根,即为方程 3x2+2ax+b=0 的两 个根. 2a ? ?-1+3=- 3 , 由一元二次方程根与系数的关系有? ?(-1)×3=b. 3 ?

?a=-3, ? ∴? ∴f(x)=x3-3x2-9x+c. ?b=-9. ?

∵x=-1 时取得极大值 7, ∴(-1)3-3(-1)2-9(-1)+c=7. ∴c=2.∴函数 f(x)的极小值为 f(3)=33-3×32-9×3+2=-25,a=-3,b=-9,c=2.

题型三 极值的综合应用 【例 3】 (12 分)设 a 为实数,函数 f(x)=-x3+3x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)是否存在实数 a, 使得方程 f(x)=0 恰好有两个实数根?若存 在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 审题指导 (1)依据求函数极值的方法求解. (2)根据极值大小分析函数图象情况,据此可求出实数 a 的值.

[规范解答] (1)令 f′(x)=-3x2+3=0, 得 x1=-1,x2=1.(2 分) 又因为当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0;当 x∈(-1,-1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.(4 分) 所以 f(x)的极小值为 f(-1)=a-2, f(x)的极大值为 f(1)=a+2.(6 分) (2)因为 f(x)在(-∞,-1)上单调递减,且当 x→-∞时,f(x)→+ ∞;又 f(x)在(1,+∞)上单调递减,且当 x→+∞时,f(x)→-∞; 而 a+2>a-2,即函数的极大值大于极小值,所以当极大值等于 0 时,有极小值小于 0,(8 分)

如图(1),此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点,即方程 f(x)=0 恰 好有两个实数根,所以 a+2=0,a=-2.(10 分) 如图(2),当极小值等于 0 时,有极大值大于 0,此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点,即方程 f(x)=0 恰好有两个实数根,所以 a-2=0,a=2.综上,当 a=2,或 a=-2 时方程恰有两个实数 根.(12 分)

【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法,它是通过函数的变化情况,运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数.

【变式 3】 设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实数根, 求实数 a 的取 值范围. 解 (1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0, 解得 x=- 2或 x= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0, 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞); 单调递减区间为(- 2, 2).

当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2. (2)由(1)的分析知 y=f(x)的大致走向 如图所示,当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不 同的交点,即方程 f(x)=a 有三个不同 的实数根.

误区警示

因误认为导数为零的点就是极值点而导致错误

【示例】 已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 处有极值 0,求 常数 a,b 的值. [错解] ∵f(x)在 x=-1 处有极值 0, 且 f′(x)=3x2+6ax+b,
?f′(-1)=0, ?3-6a+b=0, ? ? ? ∴ 即? ?f(-1)=0, ?-1+3a-b+a2=0, ? ? ?a=1, ?a=2, ? ? 解得? 或? 因此常数 ?b=3, ?b=9. ? ?

a=1 时,b=3;a=2 时,b=9.

根据极值定义,函数先减后增为极小值,先增后减为极 大值,此题未验证 x=-1 两侧导数 f′(x)的符号而致错.

[正解] ∵f(x)在 x=-1 处有极值 0, 且 f′(x)=3x2+6ax+b,
?f′(-1)=0, ?3-6a+b=0, ? ? ? ∴ 即? ?f(-1)=0. ?-1+3a-b+a2=0, ? ? ?a=1, ?a=2, ? ? 解之得? 或? ?b=3, ?b=9. ? ?

当 a=1,b=3 时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0. ∴f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去; 当 a=2,b=9 时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以 f(x)在 x=-1 处取得极小值,因此 a=2,b=9.

对于可导函数,极值点导数为零,但导数为 0 的点不 一定是极值点, 因此已知函数的极值点, 求某些参变量的值时, 应验证能否使函数取到极值,否则易出现错解.


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