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2016版考前三个月(全国通用)高考数学理科二轮复习系列——配套课件 专题2 不等式与线性规划 第4练_图文

专题2 不等式与线性规划 第4练 用好基本不等式 题型分析·高考展望 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围 问题的有效工具,在高考中经常考查,有时也会对其单独考 查.题目难度为中等偏上.应用时,要注意“拆、拼、凑”等 技巧,特别要注意应用条件,只有具备公式应用的三个条件 时,才可应用,否则可能会导致结果错误. 常考题型精析 高考题型精练 常考题型精析 题型一 题型二 利用基本不等式求最大值、最小值 基本不等式的综合应用 题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意点 (1)在运用基本不等式求最值时,必须保证 “一正,二定, 三相等”,凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致 性,否则就会出错. 2.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知 条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对 象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有 b b (1)x+ =x-a+ +a (x>a). x-a x-a ?a b? a b ? ? (2) 若 + = 1 ,则 mx + ny =(mx +ny)×1 =(mx + ny)· ? + ? x y ?x y? ≥ma+nb+2 abmn(字母均为正数). x2-y2 例1(1)(2015· 山东)定义运算“?”:x?y= (x,y∈R, xy 2 xy≠0),当x>0,y>0时,x?y+(2y)?x的最小值为________. 解析 x2-y2 ?2y?2-x2 由题意,得 x?y+(2y)?x= + xy 2yx x2+2y2 2 x2· 2y2 = 2xy ≥ 2xy = 2, 当且仅当x=y时取等号. (2)函数 y= 的最大值为________. x+3+ x-1 x-1 解析 令 t= x-1≥0,则 x=t2+1, t t 所以 y= 2 =2 . t +1+3+t t +t+4 当t=0,即x=1时,y=0; 1 当 t>0,即 x>1 时,y= , 4 t+ +1 t 4 因为 t+ ≥2 4=4(当且仅当 t=2 时取等号), t 1 1 所以 y= ≤ , 4 5 t+ +1 t 1 即 y 的最大值为 (当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值). 5 1 答案 5 点评 求条件最值问题一般有两种思路:一是利用函数单调 性求最值;二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都 需要变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不 等式应用的条件,即“和”或“积”为定值.等号能够取得. 变式训练1 (2015· 重庆)设a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. 解析 ∵a,b>0,a+b=5, ∴( a+1 + b+3)2=a +b +4 +2 a+1 b+3 ≤a +b +4 +( a+1)2+( b+3)2=a+b+4+a+b+4=18, 7 3 当且仅当 a= ,b= 时,等号成立, 2 2 则 a+1+ b+3≤3 2,即 a+1+ b+3最大值为 3 2. 答案 3 2 题型二 例2 基本不等式的综合应用 (1)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 x 800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产 8 品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60件 B.80件 ) C.100件 D.120件 x2 800+ 8 800 x 解析 平均每件产品的费用为 y= = + 8 x x 800 x ≥2 × =20, 8 x 800 x 当且仅当 = ,即 x=80 时取等号. x 8 所以每批应生产产品 80 件,才能使平均到每件产品的生产 准备费用与仓储费用之和最小. 答案 B (2) 如 图所示 ,在 直角 坐标 系 xOy 中 ,点 1 P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的 2 距离为 5 .点M(t,1)是C上的定点,A,B是 4 C 上的两动点,且线段 AB 的中点 Q(m , n) 在直线OM上. ①求曲线C的方程及t的值; p 解 y =2px(p>0)的准线 x=- , 2 2 p 5 1 ∴1-(- )= ,p= , 2 4 2 ∴抛物线C的方程为y2=x. 又点M(t,1)在曲线C上, ∴t=1. |AB| ②记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m 解 由①知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m), 依题意,直线AB的斜率存在,且不为0, 设直线AB的斜率为k(k≠0). 且A(x1,y1),B(x2.y2), ?y2 1=x1, 由? 2 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, ? y2=x2, 故k· 2m=1, 1 ∴直线 AB 的方程为 y-m= (x-m), 2m 即x-2my+2m2-m=0. ?x-2my+2m2-m=0, 由? 2 消去 x, ?y =x 整理得y2-2my+2m2-m=0, ∴Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m. 1 从而|AB|= 1+ 2· |y1-y2| k = 1+4m2· 4m-4m2 =2 ?1+4m2??m-m2? |AB| ∴d = 2=2 m?1-m?≤m+(1-m)=1, 1+4m 1 当且仅当 m=1-m,即 m= 时,上式等号成立, 2 1 又 m= 满足 Δ=4m-4m2>0. 2 ∴d的最大值为1. 点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛,在最优化实 际问题,平面几何问题,代数式最值等方面都要用到基本不 等式,应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备. 变式训练 2 (2015· 陕西)设 f(x)=ln x,0<a<b,

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