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2013北京门头沟一模数学【理】答案


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门头沟区 2013 年高三年级抽样测试数学试卷(理工类) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9

10

11

12

13

14

n(5 ? n) 2

4

?1

③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos x cos( (Ⅰ)求函数 f ( x) 的对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

π ? x) . 2

7π ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 12

解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos x sin x

?


1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? 2 2

??????????? 5

?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
??????????? 7

π 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2
分 函数关于直线

2x ?

π π ? ? kπ (k ? Z ) 对称 6 2

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所以 对称轴方程为

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(k ? Z )
???????????

x?

π kπ ? 3 2

9分 (Ⅱ)当 x ? [0,

7π π π ] 时, 2 x ? ? [? , π] 12 6 6 π 1 由函数图象可知,sin(2 x ? ) 的最大值为 1, 最小值为 ? ??????????? 6 2
3 2

12 分 所以函数 f ( x) 的最大值为 13 分 16. (本小题满分 14 分) 在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AD ? ,最小值为 0 ???????????

1 2

C? BC , ?ABC ? 60? ,N 是 BC 的中点.将
D?
A D

梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90? ,得到梯形 ABC ?D? (如图) . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 ABC ? ; (Ⅱ)求证: C ?N / / 平面 ADD? ; (Ⅲ)求二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值. (Ⅰ)证明:因为 AD ? B

N

C

1 BC ,N 是 BC 的中点 2

所以 AD ? NC ,又 AD / / BC 所以四边形 ANCD 是平行四边形,所以 AN ? DC 又因为等腰梯形, ?ABC ? 60? , 所以 AB ? BN ? AD ,所以四边形 ANCD 是菱形,所以 z

?ACB ?

1 ?DCB ? 30? 2
所以 ?BAC ? 90? ,即 AC ? AB 由已知可知 平面 C ?BA ? 平面 ABC , 因为 平面 C ?BA ? 平面 ABC ? AB 所以 AC ? 平面 ABC ? x ???????????4 分 B

C?

D?
A D

N

C

y

(Ⅱ)证明:因为 AD / / BC , AD? / / BC ? ,

AD ? AD? ? A, BC ? BC ? ? B
所以平面 ADD? / / 平面 BCC ? 又因为 C ?N ? 平面 BCC ? ,

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所以 C ?N / / 平面 ADD?

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??????????8 分

(Ⅲ)因为 AC ? 平面 ABC ? 同理 AC ? ? 平面 ABC ,建立如图如示坐标系 设 AB ? 1 , 则 B (1, 0, 0) , C (0, 3, 0) , C ?(0, 0, 3) , N ( , 9分 则 BC ? ? (?1, 0, 3) , CC ? ? (0, ? 3, 3) 设平面 C ?NC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,有 BC ? ? n ? 0 , C ?C ? n ? 0 , 得 n ? ( 3,1,1) 因为 AC ? ? 平面 ABC ,所以平面 C ?AN ? 平面 ABC 又 BD ? AN ,平面 C ?AN ? 平面 ABC ? AN 所以 BD ? 平面 C ?AN

1 3 , 0) , ??????????? 2 2

???? ?

???? ?

?

???? ? ?

???? ? ?

?

???????????11 分

1 3 BD 与 AN 交于点 O,O 则为 AN 的中点,O ( , , 0) 4 4
所以平面 C ?AN 的法向量 OB ? ( , ?

??? ?

3 4

3 , 0) 4

???????????12 分

? ??? ? n ? OB 5 所以 cos ? ? ? ??? ? ? 5 n ? OB
由图形可知二面角 A ? C ?N ? C 为钝角 所以二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值为 ? 分 17. (本小题满分 13 分)

???????????13 分

5 . 5

???????????14

交通指数是交通拥堵指数的简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值, 交通 指数取值范围为 0~10,分为五个级别,0~2 畅 通;2~4 基本畅通;4~6 轻度拥堵;6~ 8 中度拥堵;8~10 严重拥堵. 频率 早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机 组距 选取了四环以内的 50 个交通路段,依据其交 0.24 通指数数据绘制的直方图如右图. 0.2 (Ⅰ)这 50 个路段为中度拥堵的有多少个? 0.16 0.1

3

4

5

6

7

8

9 交通指数

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(Ⅱ)据此估计,早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少? (III)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟,基本畅通为 30 分钟,轻度拥堵为 36 分 钟;中度拥堵为 42 分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望. 解: (Ⅰ) (0.2 ? 0.16) ?1? 50 ? 18 这 50 路段为中度拥堵的有 18 个. (Ⅱ)设事件 A “一个路段严重拥堵” ,则 P ( A) ? 0.1 事件 B “至少一个路段严重拥堵” ,则 P ( B ) ? (1 ? P ( A))3 ? 0.729 ???????????3 分

P( B) ? 1 ? P( B) ? 0.271
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271 ???????????8 分 (III)分布列如下表:

X P EX ? 39.96

30 0.1

36 0.44

42 0.36

60 0.1

此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟.???????????13 分 18. (本小题满分 14 分)

ax 2 ? x ? a 已知函数 f ( x) ? . ex
(Ⅰ)函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围 e2
???????????2 分

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ex

f ?(0) ? 1 ? a ,

???????????3 分

因为函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行 所以 1 ? a ? ?2 , a ? 3 (Ⅱ) f ?( x) ? ???????????5 分

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ?(ax ? 1 ? a)( x ? 1) ? ex ex

令 f ?( x) ? 0 当 a ? 0 时, x ? 1 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 增;在 (1, 2) 上,有 f ?( x) ? 0 ,

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2 e2

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函 数 f ( x) 减 , f (0) ? 0, f (2) ? 立.?????????6 分 当 a ? 0 时, x1 ? 1, x2 ? 1 ? 7分

函 数 f ( x) 的 最 小 值 为 0 , 结 论 不 成

1 a

???????????

若 a ? 0 , f (0) ? a ? 0 , 结论不成立 9分 若 0 ? a ? 1 ,则 1 ?

???????????

1 ? 0 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 增; a
在 (1, 2) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 减,

1 1 ? ? ? f (0) ? e 2 ?a ? e2 ? ? 只需 ? ,得到 ? , ? f (2) ? 1 ?a ? ? 1 ? ? e2 5 ? ?
所 以 ???????????11 分

1 ? a ?1 e2

1 1 ? ? f (1 ? a ) ? e 2 1 1 ? 若 a ? 1 , 0 ? 1 ? ? 1 ,函数在 x ? 1 ? 有极小值,只需 ? a a ? f (2) ? 1 ? e2 ?
1 ?1? ? 1 2a ? 1 ? e a ?1? ? 得到 ? ,因为 2a ? 1 ? 1, e a ? 1 ,所以 a ? 1 1 ?a ? ? 5 ?

?????????13

分 综 上 所 述 ???????????14 分 ,

a?

1 e2

19. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离的 2 倍. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作的垂线,垂

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足为 M , N , 问: 是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. (Ⅰ)解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) . 由题意知 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? x 化简得 ???????????3 分

x2 ? 2 y 2 ? 2 x2 ? 2 y 2 ? 2
???????????5 分

所以动点 P 的轨迹方程为

(Ⅱ)设直线 FP 的方程为 x ? ty ? 1 ,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 因为 ?AQN ∽ ?APM ,所以有 PM ? 3QN ,由已知得 PF ? 3QF , 所以有 y1 ? ?3 y2 (1) 由? ???????????7 分

? x ? ty ? 1
2 2 ?x ? 2 y ? 2

,得 (t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 , ? ? 0
2 2

2t 1 (2) y1 ? y2 ? ? 2 , (3) ???????????10 分 t ?2 t ?2 1 1 由(1) (3)得 t ? ?1, y1 ? 1, y2 ? ? 或 t ? 1, y1 ? ?1, y2 ? (2) 3 3 y1 ? y2 ? ?
2

所以 存在点 P 为 (0, ?1) 13 分 20. (本小题满分 13 分) 对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

???????????

??1, x ? M , 对于两个集合 M , N ,定义集合 ?1, x ? M .

M ? N ? ? x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1? .已知 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , B ? ?1,3,9, 27,81? .
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B (Ⅱ) Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数, Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的 用 求 最小值; (III)有多少个集合对 ( P, Q) 满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B . (Ⅰ) 解: f A (2) ? ?1 , f B (2) ? 1 ??????????

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1分

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A ? B ? ?2, 4,5, 6,9, 27,81?
?2 分

?????????

(Ⅱ) X ? A ? {x x ? X ? A, x ? X ? A} , X ? B ? {x x ? X ? B, x ? X ? B} 要使 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小, 一定属于集合 X ,X 不能含有 A ? B 以 1,3 外的元素,所以当集合 X 为 ?2, 4,5, 6,9, 27,81? 的子集与集合 ?1,3? 的并集时,

Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小,最小值是
7
???????????8 分

(Ⅲ)因为 f A? B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x )

f ( A ? B ) ?C ( x ) ? f A ( x ) ? f B ( x ) ? f C ( x )
所以 ? 运算具有交换律和结合律 所以 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? ( P ? Q ) ? ( A ? B ) 而 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B 所以 P ? Q ? ? ,所以 P ? Q ,而 A ? B ? {1, 2,3, 4,5, 6,9, 27,81} 所以满足条件的集合对 ( P, Q) 有 29 ? 512 个 13 分 注:不同解法请教师参照评标酌情给分. ???????

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