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平面解析几何高考复习知识点


平面解析几何知识点复习 一、直线的倾斜角、斜率
1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。当直 线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0; (2)倾斜角的范围 ?0, ? ? 。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即 k = tan ? ( ? ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 k ?

y1 ? y 2 ?x1 ? x2 ? ; x1 ? x2

(3)直线的方向向量 a ? (1, k ) ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: k AB ? k BC 。

例题: 类型一:斜率定义

例 1.已知直线 的倾斜角的变化范围为

,求该直线斜率的变化范围;

例 2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分 线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率.

类型三:斜率公式的应用
例 3. 求经过点 角还是钝角. , 直线的斜率并判断倾斜角为锐

例 4、过两点 值.



的直线 的倾斜角为

,求 的

二、直线方程的几种形式
1、点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包 括垂直于 x 轴的直线。 2、斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包 括垂直于 x 轴的直线。 3、两点式:已知直线经过 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两 点 , 则 直 线 方 程 为

y ? y1 x ? x1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线。 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
4、截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为

x y ? ? 1 ,它不包 a b

括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还 有截距式呢?) ; (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 ? 直线的斜 率为-1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线两截 距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1或直线过原点。如过点 A(1, 4) ,且纵横截距的绝对值相 等的直线共有___条(答:3) 注:设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜 率 k 不存在时,则其方程为 x ? x0 ; (4)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系
1、距离公式 (1)平面上的两点错误!未找到引用源。间的距离错误!未找到引用源。 。特别地, 原点 O(0,0)与任意一点的 P(x,y)的距离错误!未找到引用源。 (2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(3)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 2、直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系:

C1 ? C2 A2 ? B 2



(1)平行 ? A ; 1 B2 ? A 2B 1 ? 0 (斜率)且 B 1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距) (2)相交 ? A 1 B2 ? A 2B 1 ?0; (3)重合 ? A 1 B2 ? A 2B 1 ? 0且 B 1C2 ? B2C1 ? 0 ; (4)垂直 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 提醒:

(1)

A1 B1 C1 A B A B C 、 1 ? 1 、 1 ? 1 ? 1 仅是两直线平行、相交、重合的充 ? ? A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

分不必要条件!为什么? (2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体 几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; 3、两直线夹角公式 ( 1 ) l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 ? ,

? ? ?0, ? ? 且 tan ? =

k 2 ? k1 ( k1k2 ? ?1); 1 ? k1 k 2

( 2 ) l1 与 l2 的 夹 角 是 指 不 大 于 直 角 的 角 ? , ? ? (0, ( k1k2 ? ?1)。

?
2

] 且 tan ? = ︱

k 2 ? k1 ︱ 1 ? k1 k 2

2 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点,把直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是 ______(答: 3x ? y ? 6 ? 0 )
例题: 例 1、两条直线 l1: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 3m , l2: 4 x ? (5 ? m) y ? 16 ,求分别满足下列条 件的 m 的值. (1) l1 与 l 2 相交; (4) l1 与 l 2 垂直; (2) l1 与 l 2 平行; (5) l1 与 l 2 夹角为 45 ? . (3) l1 与 l 2 重合;

提醒 :解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线

(a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 1 ? 0 与直线 l2: (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 例 2 当 a 为何值时, 直线 l1:
互相垂直?

x ? y ? 1 ? 0 和 l2: x ? y ? 6 ? 0 截得 例 3 已知直线 l 经过点 P ( 3 , 1 ) ,且被两平行直线 l1:

的线段之长为 5,求直线 l 的方程.

例 4 已知直线 l:x ? 2 y ? 8 ? 0 和两点 A(2 , 0) 、 B(?2 , ? 4) . (1)在 l 上求一点 P ,使 PA ? PB 最小; (2)在 l 上求一点 P ,使 PB ? PA 最大.

四、对称问题——代入法(中心对称和轴对称)
1、 中心对称 (1)点关于点对称点 P( x0 , y0 )关于( a , b )对称的点为( 2a ? x0 ,2b ? y0 ) ; (2)线关于点对称: (转化为点点对称) 在已知直线上任意去两点,利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标,再有两点式求出直线方程,或者求出一个点,再利用两 直线平行(注:线关于点对称的另一条直线和已知直线平行) ,由点斜式求出直线方程。 特别的, 直线 x=a 关于点 P ( x0 , y0 ) 的对称直线为 x ? 2 x0 ? a ; 直线 y=b 关于点 P ( x0 , y0 ) 的对称直线为 y ? 2 y0 ? b 2、 轴对称 (1)点关于直线的对称问题:

(1)点( x0 , y0 )关于 x 轴对称的点为( x0 ,? y0 ) ; (2)点( x0 , y0 )关于 y 轴对称的点为( ? x0 , y0 ) ; (3)点( x0 , y0 )关于原点对称的点为( ? x0 ,? y0 ) ; (4)点( x0 , y0 )关于 y ? x 对称的点为( y0 , x0 ) ; (5)点( x0 , y0 )关于 y ? ?x 对称的点为( ? y0 ,? x0 ) 。 (6)设点 P( x0 , y0 )关于直线 y=kx+b 的对称点错误!未找到引用源。则有错误!未找到 引用源。由此求出错误!未找到引用源。 特别的,点 P( x0 , y0 )关于直线 x=a 的对称点为 y=b 的对称点为错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 。 (2)直线关于直线的对称问题: 它的一般解题步骤是:1. 在所求曲线上选一点 M ( x, y ) ; 2. 求出这点关于中心或轴的对称点 M ' ( x0 , y0 ) 与 M ( x, y ) 之间的关系; 3. 利用 f ( x0 , y0 ) ? 0 求出曲线 g ( x, y) ? 0 。 例题:试求直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程。 ;点 P( x0 , y0 )关于直线

解法 1:(动点转移法)
在 l1 上任取点 P( x , y )(P ? l 2 ) ,设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y ) ,则
' '

? x' ? x y' ? y ? 4x ? 3y ? 9 ? 3 ? ? 3 ? 0 ?x ' ? ? ? 2 2 5 ?? ? ' 3x ? 4 y ? 3 y ? y 1 ' ? ?y ? ?? ? 5 ? 3 x' ? x ?
? 4 x ? 3 y ? 9 3x ? 4 y ? 3 ? ?1 ? 0 5 5 又点 P 在 l1 上运动,所以 x ? y ? 1 ? 0 ,所以 。即 x ? 7 y ? 1 ? 0 。所以直线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。

解法 2:(取特殊点法)

? x ? y ?1 ? 0 ? x ?1 ?? ? 3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 0 所以直线 l1 , l2 的交点为 A(1,0) 解方程组 ?
在 l1 上取点 P(2,1),设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 Q( x , y ) ,则
? x ' ? 2 y ' ?1 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ? x' ? ? ? 2 2 5 ?? ? 7 y ' ?1 1 ' ? ? y ? ?? ? 5 ? 3 x' ? 2 ?
' '

而点 A,Q 在直线 l 上,由两点式可求直线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。

解法 3:(两点对称法)
4 7 Q( , ) 对解法 3,在 l1 上取点 P(2,1),设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 5 5 ,在 l1 上取点 M 12 1 N( , ) 5 5 而 N,Q 在直线 l 上,由两点式可求直 (0,1),设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。
例题: 例 1 : 已知点 A(-2,3) ,求关于点 P(1,1)的对称点 B( x 0 , y 0 ) 。

例 2 : 求直线 3x ? y ? 4 ? 0 关于点 P(2,-1)对称的直线 l 的方程。

例3

:求点 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点坐标。

例 4 : 求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l 2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程。

五、圆的方程:
2 1、圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。 2 2

2、①圆的一般方程:

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E2-4F ? 0) 2 2 特别提醒:只有当 D +E -4F ? 0 时,方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆, D E 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆。 圆心为 (? , ? ) ,半径为 2 2 2
②常见圆的方程 圆心在原点: x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ;过原点: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? b
2 2 2
2

2

?a

2

? b2 ? 0? ;

2 2 2 2 圆心在 x 轴上: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ;圆心在 y 轴上: x ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? ; 2 2 2 圆心在 x 轴上且过原点: ? x ? a ? ? y ? a ? a ? 0 ? ; 2 2 2 圆心在 y 轴上且过原点: x ? ? y ? b ? ? b ? b ? 0 ? ; 2

与 x 轴相切: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? b 2 ? b ? 0 ? ;与 y 轴相切:? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a 2 ? a ? 0 ?
2 2 2 2

与两坐标轴都相切: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a
2 2

2

? a ? b ? 0?

例题 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与 圆的关系.

例 2 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.

例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ,在 满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.

六、点、直线与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系
已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,
2 2 2 (1)点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (2)点 M 在圆 C 内 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 。 2 2

2、直线与圆的位置关系
(1) 直线与圆的位置关系有相交、 相切、 相离三种情况, 分别对应直线与圆有两个公共点、 一个公共点、没有公共点。

相交 相切 (两个公共点) (一个公共点) (2)直线与圆的位置关系的判断方法 ①几何法: 通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。

相离 (没有公共点)

设直线 l:Ax+By+C=0

圆 C:(x-a) +(y-b) =r (r>0)

2

2

2

则圆半径为 r

设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? 则d ? r 则d ? r 则d ? r ②代数法: 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

aA ? bB ? C A2 ? B 2

通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断 直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解的个数来判

断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距 离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0; 相交 ? d<r ? Δ >0; 相离 ? d>r ? Δ <0。 (3) 直线与圆的相交弦问题 ① 几何法: 弦 心距 d, 半径 r 及 半弦 l/2 构 成直角三 角形的 三边 , 利 用垂径定 理和 勾股定理 :

AB ? 2 r 2 ? d 2

(其中 r 为圆的半径, d 直线到圆心的距离). ② 代数法(解析法) 利用弦长计算公式:设直线 y ? kx ? b 与圆相交于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点, 则弦 AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | =错误!未找到引用源。

(4) 切线:①过圆 x2 ? y 2 ? R2 上点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是: xx0 ? yy0 ? R2 过圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 上点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是:

( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R2
②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件, 运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;过两切点的直线(即“切点弦” ) 方程的求法: 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆, 该圆与已知圆的公共弦就是过 两切点的直线方程; ③切线长:过圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 )外一点
2 2 ; P( x0 , y0 ) 所引圆的切线的长为 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? R 2 )

例题:
1.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等于________. 2.过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的 长为________.

3.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围是 ________.

4.已知直线 3x-y+2m=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 m,n∈N*,且 n-m<5,则满足条 件的有序实数对(m,n)共有________个.

5.直线 ax+by+b-a=0 与圆 x2+y2-x-3=0 的位置关系是________.

6.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a 与 b 的夹角为 60° ,直线 xcosα+ysinα=0 1 与圆(x+cosβ)2+(y+sinβ)2= 的位置关系是________. 2

2 7.已知:以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B, t 其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程.

七、圆与圆的位置关系
(1)两圆位置关系的判定方法 ①几何法: 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

相切

相交

内切

内含

②代数法: 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 (方法同直线 与圆位置关系的代数法) 【一般不提倡用此法,太过繁琐】

例题:
例 4 已知圆 C1:x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0,圆 C2:x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0,m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含.

例 5 求过直线 x + y + 4 = 0 与圆 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 的交点且与 y = x 相切的圆的方程.

例6

求过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0 求 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点, 且圆心在直线 x – y – 4 = 0 上的圆的方程.

例 7.已知圆 C 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过定点 A(3,0),且与圆 C 相切.求直线 l1 的方 程;


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