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高中数学必修4两角和与差的三角函数


两角和与差的三角函数
【知识要点回顾】
两角和与差的正弦、余弦、正切 cos( ? ? ? )= ; sin( ? ? ? )= 1. cos( ? ? ? )= ; sin( ? ? ? )= ; tan( ? ? ? ) ; tan( ? ? ? )

2. 二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α= ; cos2α= = tan2α= . 3. 公式的推导与联系.

=

;

【例题讲解】 例 1 :求下列三角函数的值: 3 ? (1) 若 θ 为锐角, sin ? ? ,求 cos(? ? ) 的值; 5 6 ? 3 (2) 若 α 为锐角, sin(? ? ) ? ,求 cosα 的值。 6 5

例 2:利用已知角和特殊角表示下列角: (1)已知角 α+β、α-β,则 2α= ,2β= ? 3? ? ? ,则 α+β= (2)已知角 ? ? , 4 4 (3) △ABC 的三内角 A、 C 成等差数列, B、 已知 ? ? C= 。

; ;
A?C , A= 则 2



例 3: (1)已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? , 求? ? ?,? ? ?的范围 ;
第 1 页 (共 6 页)

(2)已知 cos( ? ?

?

3 ? 3? ? ) ? , ?? ? , 求 sin(? ? ) 4 5 2 2 4

例 4:已知 α、β 为锐角, cos ? ?

4 1 , tan(? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 5 3

例 5:

? 3? ? ? 3 3? 5 设? ? ( , ), ? ? (0, ), 且 cos(? ? ) ? , sin( ? ? ) ? , 求 sin(? ? ? )的值。 4 4 4 4 5 4 13

例 6:已知 cos( ? ?

?

3 ? 3? ? ) ? , ?? ? , 求 cos( 2? ? )的值。 4 5 2 2 4

例 7:利用向量的方法证明两角和的余弦公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

【考点针对训练】
一.选择题
第 2 页 (共 6 页)

1.已知 tan( ? ? ? )= , tan(? ? A. 2.若

2 5

?

1 ? tan A ? ? 5 ,则 cot ( ? A) 的值为 1 ? tan A 4

13 18

B.

13 22

1 ? ) ? , 则 tan(? ? ) ? ( 4 4 4 3 C. 18

) D.

3 22

A. ? 5

B. ?

5 5

C. 5

D.

5 5
)

3.已知 cot ? ? 2 , tan( ? ? ? ) ? ?

1 1 B. ? 6 6 4. sin 15? ? sin 30? ? sin 75? 值为
A.

2 ,则 tan(? ? 2? ) 的值为:( 5 1 1 C. D. ? 12 12

A.
5. sin A. ?
2

3 4

B.

1 8

C.


3 8

D.

1 4

?
12

? cos 2

?
12
1 2

的值为(

1 2

B.

C. ?

3 2


D.

3 2

6.

sin 7? ? cos 15 ? sin 8? 的值为( cos 7? ? sin 15 ? sin 8?

A. 2 ? 3

B.

2? 3 2

C. 2 ? 3

D.


2? 3 2
) 3 2 )

7. 若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin15° )的值等于 1 A. 2 8.已知 sin 1 B.- 2 C. 3 2

D.-

?
2

?

5 ? 12 , cos ? ? ,则角 ? 所在的象限是:( 13 2 13
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 9.已知 sin( A.

?

19 25

3 ? x) ? ,则 sin 2x = ( ) 4 5 16 7 B. C. 25 25
第 3 页 (共 6 页)

D.

14 25

10. 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8 等于( A.2sin 4—4cos4 B.-2sin4-4cos4

) D.4cos4-2sin4 )

C.-2sin4

11.已知锐角 θ 满足: sin

?
2

?

x ?1 则 tanθ 等于( 2x

A. x

B.

x ?1 x ?1

C.

x2 ?1 x

D.

x2 ?1

12.若 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ?

1 ,则 cos 2? 的值为( ) 2

A.

7 4

B. ?

1 4

C. ?

7 4

D. ?

7 4

二.填空题 13. cos(31? ? x) cos(29? ? x) ? sin(31? ? x) sin(29? ? x) ? 14.已知 sin ? ?

? ? 15 , ? ? ( , ? ) 则 cos( ? ? ) = 2 3 17

3 ,则 cos 2? = 2 5 cos 20? ? sin 20? 16.计算: 的值是___________. cos 25?
15.若 sin(

?

??) ?

17.若 α,β 均为锐角,且 sinα-sinβ=- ___________。 三.解答题 18.已知 sina= ,? ? ( ,? ), cos ? ? ?

1 1 ,cosα-cosβ= 则 tan(α-β)的值为: 2 2

3 5

?

2

12 3? , ? ? (? , ), 求sin(? ? ? ), tan(? ? ? ) 13 2

第 4 页 (共 6 页)

19. 化简:

2 sin 50? ? cos10?(1 ? 3 tan10?) 2 cos5?

20.如图,有一块以点 O 为圆心的半圆形空地,要在这块 空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为花园绿地,使其一边 AD 落在半圆的直径上,另两点 B、C 落在半圆的圆周上, 已知半圆的半径长为 a,如何选择关于点 O 对称的点 A、D 的位置,可以使矩形 ABCD 的面积最大?

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21.已知 A, B, C 坐标分别为 A(3,0), B (0,3), C (cos ? , sin ? ), ? ? ( (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1,求

? 3?
2 , 2

)

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?

22. 已知

?

1 1 ? ? ? ? , ?? ? ? ? 0, tan ? ? ? , tan ? ? ? 2 3 7

(1)求 2? ? ? 的范围; (2)求 tan(2? ? ? ) 的值; (3)求 2? ? ? 的值。

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