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等差数列和等比数列的总结与联系


等差数列和等比数列的综合及其联系
课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两 种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进 行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前 n 项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前 n 项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等 比数列进行研究的活动。

(一)等差数列与等比数列综合:
{ an }为等差数列 定义 通项 公式 求和 公式 ( , an ?1 ? an ? d (d为常数) n ? N ) 其中 d 为公差
?

{ an }为等比数列
an ?1 ? ( , ? q(q为常数且q ? 0) n ? N ) an

其中 q 为公比

a n = a1 +( n ? 1) d= a k + (n ? k ) d

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? ak q n ? k q

n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2
(倒序求和法)

q ? 1 时, Sn ? na1
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? q ? 1时 , Sn ? 1? q 1? q
(错位相减法) 若 a ,A, b 成等比数列,则 G ? ab
2

中项 公式

a?b 2 ( 推广: 2 an ? an ?1 ? an ?1 n ? 2) ,
若 a ,A,b 成等差数列,则 A= 2 an ? an ? k ? an ?(n, k ? N , n ? k ) k
?

? G ? ? ab 2 ( 推广: an ? an ?1 ? an ?1 n ? 2)

数列与 函数 关系 1

a n = dn + a1 ? d (准一次函数) d d S n ? n2 ? (a1 ? )n (常数项为 0 2 2
的准二次函数) 若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q

an ? a1q n ?1 ?
Sn ?

a1 n q q

a1 (1 ? q n ) a a ? 1 ? 1 q n ? A ? Aq n 1? q 1? q 1? q

若 m+n=p+q,则 a m a n ? a p a q 。

性 质

2 3

ak , ak ? m , ak ?2m ,? 为等差数列; 且公差为_______ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,... 成等差数列 S2n?1 ? (2n ? 1)an

ak , ak ? m , ak ?2m ,? 为 等 比 数 列 ; 且 公 比 为 _______.
(注意例 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,... 成等比数列。 外)

例题分析: 1 、 已 知 f (x )?

,利 用 课 本 推 导 等 差 数 列 前 n 项 和 的 公 式 的 方 法 , 求 和 : 2 ? 2 f (? 5 )? f (? 4 )? f ( 3) . ?. ? ? .f ( 5f) 的值 ) ? (6
x

1

2、已知公差不为零的等差数列{ an }中, a2 , a3 , a6 组成等比数列的连续三项,求公比 q 3、已知等差数列 ?an ? 的公差和等比数列 ?bn ? 的公比都是 d , d ? 1, a1 ? b1 , a4 ? b4 , a10 ? b10 ; (1)求 a1 和 d 的值; (2) b16 是不是数列 ?an ? 中的项,为什么?

(二)等差数列和等比数列之间的转化
结论: (1) ? an ? 成等差数列,则 c

? ? (c ? 0, c ? 1) 成等比数列;
an

(2)正项数列 ? an ? 成等比数列,则 ?log c an ? (c ? 0, c ? 1) 成等差数列。类比可结合上述结 论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列 {a n }( n ? N ) 是一个以 q(q ? 0) 为公比,以 a1 (a1 ? 0) 为首项的等比数列,求
*

lg a1 ? lg a2 ? ... ? lg an
2、 若数列 {a n }( n ? N ) 是等差数列,则有数列 bn ?
*

a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? an ,(n ? N * ) n
*

也是等差数列 ;类比上述性质,相应地:若数列 {c n }( n ? N ) 是等比数列,且 c n ? 0 ,则

有数列 dn ? _________________,(n ? N * )也是等比数列 。 3、 设 {a n }( n ? N ) 是 等 差 数 列 , bn ? ? ? , 已 知 b1 ? b 2 ? b 3? , b b1 b 2 ?3 , 求 数 列 8 8 ?2?
*

?1?

an

21

1

{an }(n ? N * ) 的通项公式。

(三)学法总结:

(四)课后反思:

学案
(一) 例题分析: 等差数列与等比数列综合: 题组一:1、已知 f ( x ) ?

, 利用课本推导等差数列前 n 项和的公式的方法,求和: 2 ? 2 f (?5) ? f (?4) ? f (?3) ? ... ? f (5) ? f (6) 的值
x

1

2、已知公差不为零的等差数列{ an }中, a2 , a3 , a6 组成等比数列的连续三项,求公比 q

3、已知等差数列 ?an ? 的公差和等比数列 ?bn ? 的公比都是 d , d ? 1, a1 ? b1 , a4 ? b4 , a10 ? b10 ; (1)求 a1 和 d 的值; (2) b16 是不是数列 ?an ? 中的项,为什么?

(二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1) ? an ? 成等差数列,则 c
an

? ? (c ? 0, c ? 1) 成等比数列;

(2)正项数列 ? an ? 成等比数列,则 ?log c an ? (c ? 0, c ? 1) 成等差数列。类比可结合上述结 论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 题组 2: 4、 已知数列 {a n }( n ? N ) 是一个以 q(q ? 0) 为公比,以 a1 (a1 ? 0) 为首项的等比数列,求
*

lg a1 ? lg a2 ? ... ? lg an

5、 若数列 {a n }( n ? N ) 是等差数列,则有数列 bn ?
*

a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? an ,(n ? N * ) n
*

也是等差数列 ;类比上述性质,相应地:若数列 {c n }( n ? N ) 是等比数列,且 c n ? 0 ,则

有数列 dn ? _________________,(n ? N * )也是等比数列 。

?1? 6、 设 {a n }( n ? N ) 是 等 差 数 列 , bn ? ? ? ?2?
*

an

, 已 知 b1 ? b 2 ? b 3?

21 1 , b b1 b 2 ?3 , 求 数 列 8 8

{an }(n ? N * ) 的通项公式。

课后练习: (一)选择和填空题: 1、在等比数列{an}中,公比为 q(q≠±1) ,则数列 a2, a4, a6, …,a2n,……的前 n 项和 Tn 为 ( ) a (1 ? q 2 n ) a (1 ? q n ) a (1 ? q 2 n ) a (1 ? q n ) A、 1 B、 2 C、 1 D、 2 1? q2 1? q2 1? q2 1? q2 1 2、 等比数列{an}的首项为 1, 公比 q≠1, n 项之和为 Sn, 前 则数列{ }的前 n 项之和为 ( ) an A、

1 Sn

B、

1 n q Sn

C、

Sn q n ?1

D、 )

qn Sn

3、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0 ,则有 (

A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a2 ? a100 ? 0 ; C、 a3 ? a99 ? 0 ; D. a51 ? 51 n 4、若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=3 +a,若数列 {an } 为等比数列,则实数 a 的取值是( ) A、3 B、 1 C、 0 D、-1 5、等比数列 {a n } 中,已知 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 10, a5 ? a6 ? a 7 ? a8 ? ?5 ,则数列 {a n } 的 前 16 项和 S16 为( A.-50 ) B.

25 4

C.

125 4

D. ?

25 4

6 、 已 知 数 列 {an } 是 非 零 等 差数 列 , 又 a1 、 a3 、 a9 组 成 一 个等 比 数 列 的 前 三 项, 则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10
7、若数列 1,2cos? ,22 cos2 ? ,23 cos3 ? ,? 前 100 项之和为 0,则 ? ? 。

8、已知一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项和为 170,则 这个数列的公比等于 ,项数等于 。 9、若数列 {a n }( n ? N ) 是等差数列, a10 ? 0 ,
*

则 有 a1 ? a 2? . . ? an ? a 1 a ? .?. a . ? 2 . (二)综合题

?n 9 1

n ?(

n1 9N ? 类 比 上 述 性 质 , 相 应 地 : 若 数 列 ? , )

* {bn } ( ? N 是等比数列,且 b9 ? 1 ,则有等式 n )

成立。

1、已知数列 {an } 、 {bn } 满足: a1 ? 1, a2 ? a (a 为常数 ) ,且 bn ? an ? an ?1 ,其中 n ? 1,2,3? (1)若 {an } 是等比数列,试求数列 {bn } 的前 n 项和 S n 的公式; (2)当 {bn } 是等比数列时,甲同学说: {an } 一定是等比数列;乙同学说: {an } 一定不是等 比数列,你认为他们的说法是否正确?为什么?

2、在等比数列 {an } 中, a1 ? a6 ? 33 , a3 ? a4 ? 32 , an ?1 ? an , (1)求 an ; (2)若 Tn ? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an ,求 Tn .


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