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2017步步高高考数学(江苏,理)大一轮复习讲义课件1.3简单的逻辑用词


第一章 集合与常用逻辑用语

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

内容 索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析

高频小考点
思想方法 感悟提高

练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.命题p∧q,p∨q,? p的真假判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q p ∨q 真 真 真 ? p 假 假 ___ 真

真 ___
假 假 假

假 ___

真 ___

答案

2.全称量词和存在量词
量词名词 常见量词

表示符
号 ? ___

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任
给等

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、某个、
有些、某些等

? ___

答案

3.全称命题和存在性命题 命题名称 全称命题 命题结构 对M中任意一个x,有p(x)成立 命题简记 ?x∈M,p(x) _________________

存在性命题

存在M中的一个x,使p(x)成立

?x∈M,p(x) ________________

答案

4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定
?x∈M,? p(x) ___________________

?x∈M,p(x) ?x∈M,p(x)

?x∈M,?p(x) _________________

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × ) (2)命题p和? p不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( √ ) (4)全称命题一定含有全称量词,存在性命题一定含有存在量词.( × ) (5)写存在性命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ ) (6)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,? p(x)的真假性相反.( √ )

答案

2

考点自测

1.已知命题 p:对任意x∈R,总有2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p∨q; ③(? p)∧q; ②(? p)∧(? q); ④p∧(? q).

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解析答案

2.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下 ① 填序号) 列命题为真命题的是_____.( ①p∧(? q); ③(? p)∧(? q); 解析 故? q为真命题, 所以p∧(? q)为真命题. ②(? p)∧q; ④p ∧q .

由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,

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解析答案

3.下列四个结论: ①若x>0,则x>sin x恒成立; ②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x-xsin x≠0”; ③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件; ④命题“?x∈R,x-ln x>0”的否定是“?x0∈R,x0-ln x0≤0”. 其中正确结论的个数是________.

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解析答案

? π? ? ? 4.(2015· 山东)若“?x∈?0,4?,tan ? ?

x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值

1 为___.
解析 ∵函数 y=tan x
? π? ? ? 在?0,4?上是增函数, ? ?

π ∴ymax=tan =1. 4 依题意,m≥ymax,即m≥1.

∴m的最小值为1.

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解析答案

5.(教材改编)给出下列命题: ①?x∈N,x3>x2; ②所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; ③?x0∈R,x2 0-x0+1≤0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
①②③ 则以上命题的否定中,真命题的序号为________.

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答案

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题型分类 深度剖析

题型一

含有逻辑联结词的命题的真假判断
(1) 已知命题 p : m , n 为直线, α 为平面,若 m∥n , n?α ,则

例1

m∥α ,命题 q :若 a>b ,则 ac>bc ,则下列命题①p∨q ;②(? p ) ∨q ; ② ③(? p)∧q;④p∧q中,为真命题的是____. 解析 命题q:若a>b,则ac>bc为假命题, 命题p:m,n为直线,α为平面, 若m∥n,n?α,则m∥α也为假命题, 因此只有“(? p)∨q”为真命题.

解析答案

(2) 已知命题 p :若 x>y ,则- x< - y ;命题 q :若 x>y ,则 x2>y2. 在命题① ②③ p∧q;②p∨q;③p∧(? q);④(? p)∨q中,真命题是_____. 解析 当x>y时,-x<-y,

故命题p为真命题,从而? p为假命题.
当x>y时,x2>y2不一定成立,

故命题q为假命题,从而? q为真命题.
由真值表知:①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(? q) 为真命题;

④(? p)∨q为假命题.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不
必要条件,则下列命题①p∧q;②(? p)∧(? q);③(? p)∧q;④p∧(? q)中, ④ 为真命题的是____. 解析 p为真命题,q为假命题,

故? p为假命题,? q为真命题.
从而p∧q为假,(? p)∧(? q)为假,(? p)∧q为假,p∧(? q)为真,④正确.

解析答案

b (2)若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>-a},命题 q:关于 x 的 不 等 式 (x - a)(x - b)<0 的 解 集 是 {x|a<x<b} , 则 在 命 题
? p、? q “p∧q”“p∨q”“? p”“? q”中,是真命题的有________. 解析 依题意可知命题p和q都是假命题,

所以“p∧q”为假,“p∨q”为假,“ ? p”为真,“? q”为真.

解析答案

题型二

含有一个量词的命题

命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例2
①④ (1)下列命题中,为真命题的是_____.

①?x∈R,x2≥0; ③?x0∈R, 2x0 ? 0;
解析

②?x∈R,-1<sin x<1; ④?x0∈R,tan x0=2.

?x∈R,x2≥0,故①正确;

?x∈R,-1≤sin x≤1,故②错; ?x∈R,2x>0,故③错,故④正确.
解析答案

(2)下列四个命题
0 0 ?1? ?1? p1:?x0∈(0,+∞), ? ? ?? ? ; ?2? ? 3?

x

x

log 1 x0 ? log 1 x0 ; p2:?x0∈(0,1),
2 3

?1? p3:?x∈(0,+∞), ? ? ? log 1 x; ?2? 2
x ? ? 1? ? 1 ? ? p4:?x∈?0,3?, ? ? ? ? ?2?

x

? log 1 x.
3

其中真命题是________.

解析答案

命题点2 含一个量词的命题的否定
对任意实数x,都有x≤1 例3 (1)命题“存在实数x,使x>1”的否定是______________________.

解析 利用存在性命题的否定是全称命题求解,
“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.

解析答案

(2) 设 x∈Z,集合 A是奇数集,集合 B是偶数集 .若命题 p: ?x∈A,2x∈B, ?x∈A,2x?B 则? p为_____________. 解析 命题p:?x∈A,2x∈B是一个全称命题, 其命题的否定应为存在性命题. ∴? p:?x∈A,2x?B.

思维升华

解析答案

(1)写出下列命题的否定,并判断其真假: 1 2 ①p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4
②q:所有的正方形都是矩形;
2 +2x0+2 ③r:?x0∈R, x0
3 += 1 0. ④s:至少有一个实数 x0,使 x0

跟踪训练2

1 解 ①? p:?x∈R,x -x+ <0,假命题. 4
2

②? q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.

③? r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题.
④? s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.
解析答案

(2)(2015· 课 标 全 国 Ⅰ 改 编 ) 设 命 题 p : ?n∈N , n2>2n , 则 ? p为
?n∈N,n2≤2n ______________.

解析 将命题p的量词“?”改为“?”,“n2>2n”改为“n2≤2n”.

解析答案

题型三

由命题的真假求参数的取值范围
已知p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q

例4

m≥2 为假命题,则实数m的取值范围为______.

解析 依题意知p,q均为假命题,
当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;

当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2<m<2.
因此由p,q均为假命题得
? ?m≥0 ? ,即 m≥2. ? ?m≤-2或m≥2

解析答案

引申探究
1.本例条件不变,若p∧q为真,则实数m的取值范围为________. (-2,0)

解析 依题意,当p是真命题时,有m<0;
当q是真命题时,有-2<m<2,
? ?m<0, 由? 可得-2<m<0. ? ?-2<m<2,

解析答案

2. 本例条件不变,若 p∧q 为假, p∨q 为真,则实数 m 的取值范围为
(-∞,-2]∪[0,2) _________________.

解析 若p∧q为假,p∨q为真,则p、q一真一假.
? ?m<0, 当 p 真 q 假时? ∴m≤-2; ? m ≥ 2 或 m ≤ - 2 , ?

? ?m≥0, 当 p 假 q 真时? ? ?-2<m<2,

∴0≤m<2.
∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).
解析答案

3.本例中的条件q变为q:?x∈R,x2+mx+1<0,其他不变,则实数m的 [0,2] 取值范围为_____. 解析 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0, ∴m>2或m<-2.
? ?m≥0, 由? 得 0≤m≤2, ? ?-2≤m≤2

∴m的取值范围是[0,2].

思维升华

解析答案

跟踪训练3
(1) 已知命题 p : “?x∈[1,2] , x2 - a≥0” ,命题 q : “?x∈R ,使 x2 + 2ax + 2 - a = 0” ,若命题 “p 且 q” 是真命题,则实数 a 的取值范围是 { a|a≤-2或a=1} ________________. 解析 ∵“p且q”为真命题, ∴p、q均为真命题, ∴p:a≤1,q:a≤-2或a≥1, ∴a≤-2或a=1.

解析答案

(2)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为

[-2 2,2 2] _____________.
解析 因题中的命题为假命题, 则它的否定“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题, 也就是常见的“恒成立”问题, 因此只需Δ=9a2-4×2×9≤0,

即-2 2≤a≤2 2.

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1.常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断
典例 已知命题 p : ?x∈R , x2 + 1<2x ;命题 q :若 mx2 - mx - 1<0 恒成
立,则-4<m<0,那么下列说法判断正确的是________.

①“? p”是假命题;
②q是假命题;

③“p或q”为假命题;
④“p且q”为真命题.

温馨提醒

解析答案

二、求参数的取值范围
典例 已知命题 p : “?x∈[0,1] , a≥ex” ;命题 q : “?x∈R ,使得 x2
[e,4] +4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是_____.

解析 若命题“p∧q”是真命题,
那么命题p,q都是真命题.

由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;
由?x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,

因此e≤a≤4.

温馨提醒

解析答案

三、利用逻辑推理解决实际问题
典例 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;

丙说:我们三人去过同一城市.
A 由此可判断乙去过的城市为___.

解析 由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,
而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,

而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,
由此可知,乙去过的城市为A.
解析答案

(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:中国非第一名,也非第二名;

乙:中国非第一名,而是第三名;
丙:中国非第三名,而是第一名.

竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国
足球队得了第____ 一 名.

解析 由上可知:甲、乙、丙均为“p且q”形式,
所以猜对一半者也说了错误“命题”,

即只有一个为真,
所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
温馨提醒 解析答案 返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且” 时,要结合语句的含义理解. 2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照 否定结构去写,并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”.

失误与防范
1.p∨q 为真命题,只需 p 、 q有一个为真即可; p∧q 为真命题,必须 p 、 q 同时为真. 2.两种形式命题的否定 p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q. 3.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到 的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”, 只是否定命题p的结论.
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1.已知命题 p :所有有理数都是实数;命题 q :正数的对数都是负数,
则下列命题①(? p)∨q ;②p∧q ;③(? p)∧(? q) ;④(? p)∨(? q) 中,为真 ④ 命题的是___. 解析 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,

从而上述叙述中只有(? p)∨(? q)为真命题.

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充分不必要 条件. 2.已知命题p,q,“? p为真”是“p∧q为假”的___________ 解析 由“? p为真”可得p为假,故p∧q为假; 反之不成立.

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a b 3.已知命题 p: “x>2 是 x >4 的充要条件”, 命题 q: “若c2>c2, 则 a>b”,

① 那么下列关于命题的真假判断正确的是____.
①“p 或 q”为真; ③p 真 q 假; ②“p 且 q”为真; ④p,q 均为假.

解析

由已知得命题p是假命题,命题q是真命题,

因此①正确.

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4.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①?x∈R,2x-1>0; ③?x0∈R,lg x0<1; ②?x∈N*,(x-1)2>0;
? π? ? ? ④?x0∈R,tan?x0+4?=5. ? ?

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5.已知命题p:若a>1,则ax>logax恒成立;命题q:在等差数列{an}中, m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则 下面为真命题的是________(填序号). ①(? p)∧(? q); ③p∨(? q); ②(? p)∨(? q); ④p ∧q .

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6.命题p:?x∈R,sin x<1;命题q:?x∈R,cos x≤-1,则下面为真命 ② (填序号) 题的是____. ①p∧q; ②(? p ) ∧q ;

③p∨(? q);
解析

④(? p)∧(? q).

p是假命题,q是真命题,

所以②正确.

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7.已知命题p:所有指数函数都是单调函数,则? p为存在一个指数函数, ________________ 它不是单调函数 _______________. 解析 命题p:所有指数函数都是单调函数,
则? p:存在一个指数函数,它不是单调函数.

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8.已知命题p:?x0∈R, ex0-mx0=0 ,q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若
[0,2] p∨(? q)为假命题,则实数m的取值范围是______.

解析 若p∨(? q)为假命题,则p假q真.
命题p为假命题时,有0≤m<e;

命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,
即-2≤m≤2. 所以当p∨(? q)为假命题时,m的取值范围是0≤m≤2.

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? x-1? ?≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且? 9.已知 p:?1- p 是? q 的必 3 ? ?

要而不充分条件,则实数 m 的取值范围是__________.

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10.若命题“?x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围

(-∞,-1)∪(3,+∞) 是______________________.
解析
2 因为命题“?x0∈R,x2 + ( a - 1) x + 1<0 ” 等价于 x 0 0 0+(a-1)x0+1=0

有两个不等的实根,

所以Δ=(a-1)2-4>0, 即a2-2a-3>0, 解得a<-1或a>3.

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1 11.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q: >1,若“(? q)∧p”为真,则 x 3-x (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 的取值范围是___________________________. x-2 解析 因为“(? q)∧p”为真,即q假p真, 而 q 为真命题时, <0, 得 2<x<3, x-3 所以q假时有x≥3或x≤2;

p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,
? ?x>1或x<-3, 由? 解得 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3, ? ?x≥3或x≤2,

所以x的取值范围是x<-3或1<x≤2或x≥3.
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12.下列结论: ①若命题 p : ?x∈R , tan x = 1 ;命题 q : ?x∈R , x2 - x + 1>0. 则命题 “p∧(? q)”是假命题; ②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 a =-3; b ③命题“ 若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则x2-3x +2≠0”.其中正确结论的序号为________.

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13.若命题p :?x∈R,ax2 +4x+ a<-2x2 +1 是假命题,则实数a 的取
值范围是______. a≥2

解析 若命题p:?x∈R,ax2+4x+a<-2x2+1是假命题,
则? p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,

即(2+a)x2+4x+a-1≥0恒成立,
当a=-2时不成立,舍去,
? ?2+a>0 则有? ,解得 a≥2. ? ?16-4?2+a??a-1?≤0
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14.四个命题:①?x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②?x∈Q,x2=2;③?x∈R, x2+1=0;④?x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为_____.

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④ 15.下列结论正确的是____.

①若p:?x∈R,x2+x+1<0,则? p:?x∈R,x2+x+1<0;
②若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题;

③“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件;
④命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题. 解析 ∵x2+x+1<0的否定是x2+x+1≥0, ∴①错;若p∨q为真命题,则p、q中至少有一个为真, ∴②错;f(x)为奇函数,但f(0)不一定有意义, ∴③错;命题“若x2-3x+2=0则x=1”的否命题为 “若x2-3x-2≠0, 则x≠1”,是真命题,④对.
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16.已知命题p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题? p是假命题,
(-∞,1] 则实数m的取值范围是__________.

解析 若? p是假命题,则p是真命题,
即关于x的方程4x-2· 2x+m=0有实数解,

由于m=-(4x-2· 2x)=-(2x-1)2+1≤1,
∴m≤1.

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17.设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m- 2)x-3m+ 10 =0无实根.则使p∨q为真, p∧q 为假的实数 m的取值范围 是________.

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18.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0或g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0, 则m的取值范围是________.

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