当前位置:首页 >> >>

18学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质学案北师大版必修1

3.2 指数扩充及其运算性质 幂吗? [核心必知] 提示:不一定,当 b>0 时,可以;当 b 3 <0 时,b 不叫作 5 的 次幂. 2 2.为什么分数指数幂中规定整数 m,n 互素? 提示:如果没有这个规定将导致幂的运 1 算结果出现矛盾.例如:a 中,底数 a∈R, 3 1 1 2 当 a<0 时,a <0,而如果把 a 写成 a ,有 3 3 6 1.分数指数幂 (1)定义: 给定正实数 a,对于任意给定的整数 m, n(m,n 互素),存在唯一的正实数 b,使得 m m b =a ,把 b 叫作 a 的 次幂,记作 b=a , n n n m 它就是分数指数幂. (2)几个结论: ①正分数指数幂的根式形式: a = a (a>0). m n n m 2 1 2 两种运算:一是 a =(a ) 就必须 a≥0;二 6 6 2 2 2 1 是 a =(a ) ,在 a<0 时,a 的结果大于 0, 6 6 6 1 与 a <0 相矛盾.所以规定整数 m、n 互素. 3 3. 分数指数幂 a 可以理解为 个 a 相乘, 对吗? 提示:分数指数幂 a 不可理解为 个 a 相乘, 它是根式的一种新的写法, 规定: a = m 1 ②负分数指数幂的意义: a- = (a>0, n m a n m,n∈N+,且 n>1). ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数 指数幂无意义. 2.指数幂的运算性质 若 a>0,b>0,对任意实数 m,n,指数运 算有以下性质: (1)a ·a =a (2)(a ) =a m m n m n m+n m n m n m n m n m n ; ( a) = a (a>0,n、m∈N+,且 为既约分 数),a- = n m n m m n m·n ; (3)(ab) =a b . [问题思考] 3 3 2 3 1.若 b =5 ,则 b=5 ,b 叫作 5 的 次 2 2 m m m n 1 m a ( n a)m n = 1 = 1 (a>0,n、m∈N n am + ,且 为既约分数). m n 1 讲一讲 1.用分数指数幂表示下列各式. (1) 幂写出,然后再根据性质进行化简. a a (a > 0); (2) 3 1 ; 2 2 练一练 1.用分数指数幂表示下列各式. (1)8 2; 3 2 2 (2)a · a ; (3) (4) x( x ) 4 (3)( 5 b- )- (b>0). 2 3 2 3 a a2 1 2 a · a(a>0); (a>0). 1 2 a· a2 1 1 7 3 解:(1)8 2=2 ·2 =23+ =2 . 2 2 2 2 2 8 2 (2)原式=a ·a =a2+ =a . 3 3 3 (3) 原 式 = 3 a 1 2 1 2 a ·a 1 2 1 = 2 此类问题应熟练应用 a = a (a>0, m, m n n m a 1 a= 2 a a = a2 1 1 2 2 a=a . n∈N+,且 n>1).当所求根式含有多重根号 时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数 (4)原式= 1 2 5 =a2- - =a . 1 2 2 3 6 a a 2 3 2 讲一讲 2.计算或化简. (1)a b (2ab ) ; 1 ? 7? 0 4 3 (2)(0.064) - - ?- ? + [( - 2) ] - 3 ? 8? 3 + 16 -0.75 3 2 -1 3 =2 =2 2 2+2 ·2 3-2 2 ·2 -2 2 2+2+3-2 2-2 =2 =8. 3 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数 指数幂的运算性质,并灵活运用.一般地, 进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化 1 +|-0.01| ; 2 根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同 时还要注意运算顺序问题. ? 7? 0.5 ? 10? 2 -2 0 (3) ?2 ? + 0.1 + ?2 ? - - 3π + ? 9? ? 27? 3 37 ; 48 3 (4) 0); (5)4 2+1 练一练 a 9 -3 a ÷ 2 3 a-7· a13 (a > 3 2.计算或化简下列各式. 1 ? 1?-2 ? 7?1 (1)0.027- -?- ? +?2 ? -( 2 - 3 ? 7? ? 9?2 1) ; 0 ·2 3-2 2 2 ·8- . 3 3 2 3 3 -3 [ 尝试解答 ] 8a b . 6 -1 (1) 原式= a b 2 a b = -1 3 1? 1 ( 4ab ) ? (2)? ?- · ; ?4? 2 -2 3 -3 1 0.1 (a b ) 2 1 3 1 -4 (2)原式=[(0.4) ]- -1+(-2) +2 3 3 -3 a -8a b (3) 2 2 3 4b +2 ab+a 3 3 3 4 3 ÷ ?1-2 ? ? 3 b? ?× 1 1 1 -1 +[(0.1) ] =(0.4) -1+ + +0.1= 2 16 8 2 a? 143 . 80 37 ?25?1 ?64? 2 2 (3)原式=? ? +10 +? ?- -3+ 48 ? 9 ?2 ?27? 3 5 9 37 = +100+ -3+ 3 16 48 =100. 1 9 1 3 1 (4)原式=[a × ·a ×(- )]÷[a × 3 2 3 2 2 7 1 13 (- )·a × ] 3 2 3 9 3 7 13 0 =a - + - =a =1. 6 6 6 6 (5)原式=(2 ) 2 2+1 a. 解:(1)原式=? ? 27 ?-1-?1?-2+ ? ? ? ?1 000? 3 ?7? ?25?1-1=10-4