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正切函数的图像和性质讲义和习题


正切函数的图像与性质
【知识框架】

正切函数的性质 正切函数 正切函数的图像 1. 正切函数图像画法:三点两线法 2、正切函数图像与性质

y ? tan x

图像

定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称中心

【典型例题】
例1. 求 y ?

1 的定义域. 1 ? tan x

1

例2. 求函数 y ? tan 3x 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

例3. 不求值比较下列各组数的大小: (1) tan 335 和 tan 680
? ?

(2) tan ? ?

? ?? ? ?? ? 和 tan ? ? ? ? 5? ? 7?

例4. 判断下列函数的奇偶性: (1) y ? x tan 2 x ? x
4

(2) y ?

tan 2 x ? tan x 1 ? tan x

例5. 画出函数 y ? tan x ? 1 的图像。并指出定义域、值域、最小正周期和单调增区间。

例6. 若 函 数 f ( x) ? 2 tan( ? kx ______________ 。 例7. 已知 x ? [?

?
3

的最小正周期 T 满足 1? T ? 2 ,则正整数 k 的值是 )

? ?

, ] ,求函数 y ? tan 2 x ? tan x ? 2 的最值。 6 4

例8. 若 x ? [

, ] 时, y ? k ? tan 2 x 的值总不大于零,求实数 k 的取值范围。 12 6

? ?

2

例9. 函数 y ? tan x ? cot x(0 ? x ?

?
4

) 的值域。

例10. 在区间 ( ? A.1

3? 3? , ) 的范围内,函数 y ? tan x 与函数 y ? sin x 的图象的个数是( 2 2
B.2 C. 3 D.4



【巩固练习】
一、选择题 1.函数 y=tan (2x+ (A) π
? )的周期是 6

( (C) (D)

)

? 2 2.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 (A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<c<a
(B)2π 3.在下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y=|tanx| 4.函数 y=lgtan

? 4
( )

(D) b<a<c ( )

? )上递增;(2)以 2π 为周期;(3)是奇函数的是 2
(C) y=tan

(B) y=cosx
x 的定义域是 2

1 x 2

(D) y=-tanx ( )

? ,k∈Z} 4 (C) {x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}
(A){x|kπ<x<kπ+ 5.已知函数 y=tanωx 在((A)0<ω≤ 1
*

(B) {x|4kπ<x<4kπ+ (D)第一、三象限

? ,k∈Z} 2

? ? , )内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 2 2 (B) -1≤ω<0 (C) ω ≥1

( (D) ω≤ -1 (

)

6.如果 α、 β∈( (A) α<β

? ,π)且 tanα<tanβ, 那么必有 2
(B) α>β (C) α+β>
3? 2

)

(D) α+β<

3? 2

二.填空题 7.函数 y=2tan(
? x - )的定义域是 3 2

,周期是 ;
3

;

8.函数 y=tan2x-2tanx+3 的最小值是

9.函数 y=tan(
*

x ? + )的递增区间是 2 3

;

10.下列关于函数 y=tan2x 的叙述:①直线 y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段

AB 长为 π;②直线 x=kπ+ 正确的命题序号为

k? ? ,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是( ,0),(k∈Z), 4 2
.

三. 解答题 11.不通过求值,比较下列各式的大小 (1)tan(? 3? )与 tan() 5 7

(2)tan(

7? ? )与 tan ( ) 8 16

12.求函数 y=

tan x ? 1 的值域. tan x ? 1

x ? 13.求下列函数 y ? tan( ? ) 的周期和单调区间 2 3

*

14.已知 α、β∈(

5? 3? ? ,π),且 tan(π+α)<tan( -β),求证: α+β< . 2 2 2

4

【提高检测】
一、选择题

1.函数

的最小正周期是(



A.

B.

C.

D.

2.函数

的定义域是(



A.

B.

C.

D.

3.函数

的值域是(



A.

B.

C.

D.

4. 下列函数中, 同时满足①在

上是增函数; ②为奇函数; ③以

为最小正周期的函数是 (



A.

B.

C.

D.

5.已知函数

,下列判断正确的个数是(





是定义域上的减函数,周期为





是区间

上的减函数,周期为





是区间

上的减函数,周期为



5

④ A.0

是区间 B.1 C.2

上的减函数,周期为 D.3



6.函数 A.原点 B.

的图像对称于( 轴 C. 轴

) D.直线

7.要得到

的图像,只需把

的图像(



A.向左平移

个单位

B.向左平移

个单位

C.向右平移

个单位

D.向右平移

个单位

8.函数

的一个对称中心是(



A.

B.

C.

D.

9.函数 是(

的图像相邻的两支截直线 )

所得线段长为

,则

的值

A.

B.0

C.1

D.-1

10.在区间 A.1 B.2 C.3

范围内,函数 D.4

与函数

的图像交点的个数为(



6

11.要得到函数

的图像,须将函数

的图像(



A.向右平移

个单位

B.向左平移

个单位

C.向右平移

个单位

D.向左平移

个单位

12.函数

在一个周期内的图像是(



二、填空题

13.函数

的最小正周期是____________.

14.函数

的定义域是_________.

15.函数

的值域是__________.

16.已知函数 .

是以 3 为周期的奇函数,且

.若

,则

7

三、解答题

17.试求函数

的定义域,并作出区间

上的图像.

18.已知

.求函数

的值域.

19.求函数

的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调性.

20.求证:函数 提高检测参考答案: 一、选择题 1.B 7.C 二、填空题 2.D 8.C 3.B 9.B 4.A 10.C





)为奇函数的充要条件是



5.A 11.C

6.B 12.A

13.

14.

15. 三、解答题

16.-1

17.由

得函数的定义域为



8

又当

时,

其图像如图所示.

18.由已知条件得



解得







),





),





于是



∴当 ( 而函数的值域为[4,5].

) 时

取最小值 4, 当



) 时

取最大值 5. 从

19.由

,得



),

9

∴所求的函数定义域为: 它既不是奇函数,也不是偶函数;

;值域为

;周期为



在区间 20.充分性:



)上是单调减函数.







为奇函数,

必要性:∵

是奇函数.























,∴







).

巩固练习参考答案 一、CCACBA.
10

? 5? ,2kπ+ )(k∈Z), 3 3 三、11.(1)> (2) < 12. {y|y∈R 且 y≠1};

二、7.(2kπ-

2π; 8. 2; 9.( 2kπ ?

5? ? , 2kπ ? ) (k∈Z); 3 3

10. ③.

? 13. T= =2π; ?

? ? x ? ? ? ? ? tan( 2 ? 3 ) ? 0 ? k? ? 2 ? 3 ? k? ? 2 , k ? Z ? ? 由? 可得 ? ? k? ? ? ? x ? ? ? k? ? ? , k ? Z ? k? ? ? ? x ? ? ? k? ? ? , k ? Z ? ? 2 2 3 2 2 2 3 2 ? ?
2 3

? 2 x ? ∴可得函数 y= cot( ? ) 的递减区间为[2kπ- π,2kπ+ ) (k∈Z)
3

3

14.∵tan(π+α)<tan(
3 2

5? -β) 2

∴tanα<tan( π-β),又∵
3 2

3 2

? ? 3 <α<π, < π-β<π 2 2 2
3 2

∴α 与 π-β 落在同一单调区间,∴α< π-β,即 α+β< π

11


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