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1.1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积


1.3
1.3.1

空间几何体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的表面积与 体积

1.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法.(重点) 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体积,并且 熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.(难点) 3.提高空间想象能力和思维能力.

北京奥运会场馆图

赫尔佐格

德梅隆

“鸟巢(nest)”

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,以及它们 的展开图,你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的 关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积

空间问题

平面问题

正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,

它们的表面积就是各个面的面积的和.
因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面图形 求面积的方法,求多面体的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体,
它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算 它的表面积?

侧面展开

h'
正棱锥的侧面展开图

h'

棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h' 正棱台的侧面展开图 h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,
它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是 计算它们的各个侧面面积与底面面积之和.

例1:已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,

求它的表面积.
分析:四面体的展开图是由四个全等的等边三角形组成. 解:先求△SBC的面积,过点S作 SD ^ BC, 交BC于点D. 因为BC=a, SD = SB ?sin 60
SD SBC = 所以: 1 BC ?SD 2
o

S

3 a, 2

A D
3a 2 .

3 2 a. B 4 3 2 4 ? a 因此,四面体S-ABC 的表面积为 4

1 3 a? a 2 2

C

圆柱的表面积

r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r(r ? l )
2

圆锥的表面积

S

2?r

l

r
圆锥的侧面展开图是扇形
2

O

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧面 展开图是什么?

r 'O′
l

2?r '

2?r

r
S圆台表面积

O
2 2 ? ? ?(r ? r ? r ?l ? rl )

圆台的侧面展开图是扇环

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

r O?
r′=r

r 'O′

l
O

l

r′=0

l

上底扩大

r

上底缩小

O

r

O

S柱 ? 2?r(r ? l )

S台 ? ?(r?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

S锥 ? ?r(r ? l )

例2:如图,一个圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆底直径为 15 cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15 cm.那么花 盆的表面积约是多少平方厘米(π 取3.14,精确到1 cm2)? 解:由圆台的表面积公式得花盆的表 面积:
轾 15 2 15 S= p犏 ( ) + ? 15 犏 2 臌2 20 ? 15 2 1.5 2 p( ) 2
15cm

20cm
15cm

? 1000(cm )
答:花盆的表面积约是1000 cm2.

2

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积 公式,它们的体积公式可以统一为:

(S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般柱体体积也是

V ? Sh
其中S为底面面积,h为柱体的高.

圆锥体积

圆锥的体积公式:

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3

棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系.

等底等高 的三棱锥 体积相等

三棱锥与同底等高的三棱柱的关系

经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积:

1 . 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积 乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于底面面积乘高 的 1. 3

台体体积
P

根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的, 因此可以利用两个锥体的体积差,
A?

S?
B?

D?

C?

得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)

h
S

D

V ? VP?ABCD ? VP?A?B?C?D?

A

1 ? (S? ? S?S ? S)h 3

C
B

棱台(圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S 、 S? 分别为上、下底面面积,h为棱台
(圆台)的高.

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大 上底缩小

公式有 它的统 一性

S? ? S V ? 1 ( S ? ? S ?S ? S )h S? ? 0 V ? 1 Sh V ? Sh 3 3
S为底面面积, h为柱体高
S?,S 分别为上、下底 面面积,h 为台体高

S为底面面积, h为锥体高

例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g/cm3)六角
螺帽共重5.8 kg,已知底面是正六边形,边长为12 mm,内 孔 直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个(π 取 3.14可用计算器)?

解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积的差,即:

3 10 2 2 V= 创 12 6? 10 3.14创 ( ) 10 4 2 ? 2956(mm3 )

= 2.956(cm )
所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个). 答:这堆螺帽大约有252个.

3

1.(2012·临沂模拟)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表 面积为( )

(A)48+ 12 2 (C)36+ 12 2

(B)48+ 24 2 (D)36+ 24 2

【解析】选A.由三视图得棱锥如图所示, AO⊥底面BCD,O是BD的中点,BC=CD=6, BC⊥CD,AO=4,AB=AD. S△BCD= 1 ×6×6=18,
2 S△ABD= 1 ×6 2×4=12 2 . 2

取BC中点E,连接AE、OE.

可得BC⊥AE,AE= AO 2 +OE 2 =5, ∴S△ABC=S△ACD= 1 ×6×5=15,
2

∴S全=18+12 2 +15+15=48+12 2 .

2.圆柱的侧面展开图是一个边长为6π 和4π 的矩形, 则该圆柱的底面积是( (A)24π 2 (C)36π 2或16π 2 ) (B)36π 2 (D)9π 或4π

【解析】选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或

4π,故底面圆的半径为3或2,所以底面圆的面积是
9π或4π.

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面的面积 为 3 ,求圆锥的体积.
3 (答案:3 p )

圆柱

S ? 2?r (r ? l )

柱体、锥体、台体的 表面积

r ? r?
圆台 S

? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

展开图

圆锥

r? ? 0 S ? ?r ( r ? l )

各面面积之和

柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台 体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0
1 V ? Sh 锥体 3


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