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高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法课时训练含解析


2.5.1

平面几何中的向量方法

课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程,体 会向量是一种处理几何问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.

1.向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(b≠0)? ________?______________________. (2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:非零向量 a,b,a⊥b?____________?______________. (3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ =______________= ___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等, 可以利用向量的线性运算、 向量模的公式: |a|=_______ 2.直线的方向向量和法向量 (1)直线 y=kx+b 的方向向量为________,法向量为________. (2)直线 Ax+By+C=0 的方向向量为________,法向量为________.

一、选择题 1.在△ABC 中,已知 A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则 BC 边的中线 AD 的长是( ) 5 7 A.2 5 B. 5 C.3 5 D. 5 2 2 → → → → → → 2.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点 O 是△ABC 的( ) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 3.已知直线 l1:3x+4y-12=0,l2:7x+y-28=0,则直线 l1 与 l2 的夹角是( ) A.30° B.45° C.135° D.150° → → → → → 4. 若 O 是△ABC 所在平面内一点, 且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|, 则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 → 5.已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0),设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有BC → =λ CE,其中 λ 等于( ) 1 1 A.2 B. C.-3 D.- 2 3 → → → → ? AB AC ? AB AC 1 → → → ? ? + 6.已知非零向量AB与AC满足 ·BC=0 且 · = ,则△ABC 的形状是 → ? ?|→ → → 2 |AB| |AC| ? AB| |AC|? ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6

1

二、填空题 7.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两

→ → → → 点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为__________________. → → → → → → → → → 8.已知平面上三点 A、B、 C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5.则AB·BC+BC·CA+CA·AB= ________________. → → → → → 9.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC 的 形状一定是__________. → 10.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且|OC → |=2,则OC=__________________. 三、解答题 11.在△ABC 中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A 的平分线的方程.

12.P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PFCE 为矩形.求证:PA=EF 且 PA⊥EF.

能力提升 → → → → → → → → 13.已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,PA·PB= → → → PB·PC=PC·PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心

2

14.求证:△ABC 的三条高线交于一点.

1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平 面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种 思路是建立坐标系, 求出题目中涉及到的向量的坐标. 这两种思路都是通过向量的计算获得 几何命题的证明. → 2 2 2.在直线 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0)上任取两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2(λ ∈R 且 λ ≠0)也是直线 l 的方向向量. 所以, 一条直线的方向向量有无数多个, 它们都共线. 同理, 2 2 与直线 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0)垂直的向量都叫直线 l 的法向量.一条直线的法向量也 有无数多个.熟知以下结论,在解题时可以直接应用. ①y=kx+b 的方向向量 v=(1,k),法向量为 n=(k,-1). 2 2 ②Ax+By+C=0(A +B ≠0)的方向向量 v=(B,-A),法向量 n=(A,B).

§2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 答案 知识梳理 1.(1)a=λ b x1y2-x2y1=0
2 2

(2)a·b=0

a·b x1x2+y1y2=0(3) |a||b|

x1x2+y1y2 2 2 x +y1 x2 2+y2
2 1

(4) x +y 2.(1)(1,k) (k,-1) (2)(B,-A) (A,B) 作业设计 ?3 ? → ? 5 ? 1.B [BC 中点为 D? ,6?,AD=?- ,5?, ?2 ? ? 2 ? 5 → ∴|AD|= 5.] 2 → → → → 2.D [∵OA·OB=OB·OC, → → → ∴(OA-OC)·OB=0. → → ∴OB·CA=0. ∴OB⊥AC.同理 OA⊥BC,OC⊥AB, ∴O 为垂心.] 3.B [设 l1、l2 的方向向量为 v1,v2,则 v1=(4,-3),v2=(1,-7), |v1·v2| 25 2 ∴|cos〈v1,v2〉|= = = . |v1|·|v2| 5×5 2 2 ∴l1 与 l2 的夹角为 45°.] → → → → → 4.B [∵|OB-OC|=|CB|=|AB-AC|,
3

→ → → → → |OB+OC-2OA|=|AB+AC|, → → → → ∴|AB-AC|=|AB+AC|, ∴四边形 ABDC 是矩形,且∠BAC=90°. ∴△ABC 是直角三角形.] 5.C

[如图所示,由题知∠ABC=30°,∠AEC=60°,CE=

3 |BC| → → ,∴ =3,∴BC=-3CE.] 3 |CE|

→ ? ? → AB AC ? → ? + 6.D [由 ·BC=0,得角 A 的平分线垂直于 BC.∴AB=AC. → ? ? |→ ? AB| |AC|?

AC 1 → → → → · =cos〈AB,AC〉= ,又〈AB,AC〉∈[0°,180°],∴∠BAC=60°. → → 2 |AB| |AC| 故△ABC 为正三角形,选 D.] 7.2 解析 ∵O 是 BC 的中点, m→ n→ → 1 → → ∴AO= (AB+AC)= AM+ AN, 2 2 2
而 → → → m → n→ ∴MO=AO-AM=( -1)AM+ AN. 2 2 → → → → → 又∵MN=AN-AM,MN∥MO,

AB





m -1=-λ , ? ? 2 → → ∴存在实数 λ ,使得MO=λ MN,即? n ? ?2=λ ,
化简得 m+n=2. 8.-25 3 4 解析 △ABC 中,B=90°,cos A= ,cos C= , 5 5 → → → → ? 4? ∴AB·BC=0,BC·CA=4×5×?- ?=-16, ? 5? → → ? 3? CA·AB=5×3×?- ?=-9. ? 5? → → → → → → ∴AB·BC+BC·CA+CA·AB=-25. 9.等腰三角形 → → → → → 解析 ∵(DB+DC-2DA)·(AB-AC) → → → → → → =[(DB-DA)+(DC-DA)]·(AB-AC) → → → → →2 →2 =(AB+AC)·(AB-AC)=AB -AC → 2 → 2 =|AB| -|AC| =0, → → ∴|AB|=|AC|,∴△ABC 是等腰三角形.

4

10.?- 解析

? ?

10 3 10? , ? 5 5 ?

已知 A(0,1),B(-3,4), 设 E(0,5),D(-3,9), ∴四边形 OBDE 为菱形. ∴∠AOB 的角平分线是菱形 OBDE 的对角线 OD. → 设 C(x1,y1),|OD|=3 10, 2 → → ∴OC= OD. 3 10 2 10 3 10? ? ∴(x1,y1)= ×(-3,9)=?- , ?, 5 ? ? 5 3 10 10 3 10? → ? 即OC=?- , ?. 5 ? ? 5 → → 11.解 AB=(3,4),AC=(-8,6), ∠A 的平分线的一个方向向量为: → → AB AC ?3 4? ? 4 3? ? 1 7? + =? , ?+?- , ?=?- , ?. → → ?5 5? ? 5 5? ? 5 5? |AB| |AC| ∵∠A 的平分线过点 A. 7 1 ∴所求直线方程为- (x-4)- (y-1)=0. 5 5 整理得:7x+y-29=0.

12.证明 以 D 为坐标原点,DC 所在直线为 x 轴,DA 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标 → 系如图所示,设正方形边长为 1,|DP|=λ ,则 A(0,1), 2λ ? ? 2 ? ? 2 ? 2λ ? P? , ?,E?1, λ ?,F? λ ,0?, 2 ? ? 2 ? ?2 ? 2 ? 2 2 ? → ? 2 2 ? → ? 于是PA=?- λ ,1- λ ?,EF=? λ -1,- λ ?. 2 2 2 2 ? ? ? ? → ∴|PA|= 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? λ -1? +?- λ ? = λ - 2λ +1, 2 2 ? ? ? ?

→ 2 同理|EF|= λ - 2λ +1, → → ∴|PA|=|EF|,∴PA=EF.

5

2 ? ? 2λ 2 ?? 2 ? ? ? → → ? ∴PA·EF=?- λ ?? -1?+?1- λ ??- λ ?=0, 2 ?? 2 ? ? 2 ?? 2 ? ? → → ∴PA⊥EF.∴PA⊥EF. 13.C

→ → → [如图,∵NA+NB+NC=0, → → → → → ∴NB+NC=-NA.依向量加法的平行四边形法则,知|N A |=2|ND|,故点 N 为△ABC 的重心. → → → → ∵PA·PB=PB·PC, → → → → → ∴(PA-PC)·PB=CA·PB=0. → → → → 同理AB·PC=0,BC·PA=0, ∴点 P 为△ABC 的垂心. → → → 由|OA|=|OB|=|OC|,知点 O 为△ABC 的外心.] 14.证明

如图所示,已知 AD,BE,CF 是△ABC 的三条高. 设 BE,CF 交于 H 点, → → → 令AB=b,AC=c,AH=h, → → → 则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b. → → → → ∵BH⊥AC,CH⊥AB, ∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b → → 整理得 h·(c-b)=0,∴AH·BC=0 → → ∴AH⊥BC,∴AH与AD共线. AD、BE、CF 相交于一点 H.

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